2018_2019學年高中數學第3章數系的擴充與復數的引入3.1數系的擴充講義含解析蘇教版.docx

31數系的擴充復數的概念及代數表示法問題1：方程2x23x10.試求方程的整數解？方程的實數解？提示：方程的整數解為1，方程的實數解為1和.問題2：方程x210在實數范圍內有解嗎？提示：沒有解問題3：若有一個新數i滿足i21，試想方程x210有解嗎？提示：有解，xi.問題4：實數a與實數b和i相乘的結果相加，結果記作abi，這一新數集形式如何表示？提示：Cabi|a，bR 1虛數單位i我們引入一個新數i，叫做虛數單位，并規(guī)定：(1)i21.(2)實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立2復數的概念形如abi(a，bR)的數叫做復數全體復數所組成的集合叫做復數集，記作C.3復數的代數形式復數通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a與b分別叫做復數z的實部與虛部.復數的分類問題1：復數zabi(a，bR)，當b0時，z是什么數？提示：當b0時，za為實數問題2：復數zabi(a，bR)，當a0時，z是什么數？提示：當ab0時，z0為實數；當a0，b0，zbi為純虛數1復數zabi2兩個復數相等的充要條件是它們的實部和虛部分別相等1注意復數的代數形式zabi中a，bR這一條件，否則a，b就不一定是復數的實部與虛部2復數集是實數集的擴充，兩個實數可以比較大小，但若兩個復數不全為實數，則不能比較大小在復數集里， 一般沒有大小之分，但卻有相等與不相等之分復數的概念例1實數m為何值時，復數z(m22m3)i是(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？思路點撥分清復數的分類，根據實部與虛部的取值情況進行判斷精解詳析(1)要使z是實數，m需滿足m22m30，且有意義，即m10，解得m3.(2)要使z是虛數，m需滿足m22m30，且有意義，即m10，解得m1且m3.(3)要使z是純虛數，m需滿足0，且m22m30，解得m0或m2.一點通zabi(a，bR)是復數的基本定義，由a，b的取值來確定z是實數、虛數、純虛數還是零在解題時，關鍵是確定復數的實部和虛部1若復數z(x21)(x1)i為純虛數，則實數x的值為_解析：z(x21)(x1)i是純虛數，x1.答案：12已知復數2，i,0i,5i8，i(1)，i2，其中純虛數的個數為_解析：0i0，i21，純虛數有i，i.答案：23當實數m為何值時，復數z(m22m)i為(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？解：(1)當即m2時，復數z是實數；(2)當m22m0，即m0.且m2時，復數z是虛數；(3)當即m3時，復數z是純虛數復數相等的充要條件例2已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求實數m的值思路點撥因為MPP，所以MP，從而可建立關于m的關系式，進而求得m的值精解詳析M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，且MPP.MP，即(m22m)(m2m2)i1，或(m22m)(m2m2)i4i.或m1或m2.一點通(1)一般地，兩個復數只能相等或不相等，不能比較大小(2)復數相等的充要條件是求復數及解方程的主要依據，是復數問題實數化的橋梁紐帶(3)必須在代數形式下確定實部、虛部后才可應用4當關于x的方程x2(12i)x3mi0有實根，則實數m_.解析：設實根為x0，則xx02x0i3mi0.即xx03m(2x01)i0.m.答案：5已知2x1(y1)ixy(xy)i，求實數x、y的值解：x，y為實數，2x1，y1，xy，xy均為實數，由復數相等的定義，知6已知m是實數，n是純虛數，且2mn4(3m)i，求m，n的值解：設nbi(bR且b0)由2mn4(3m)i得2mbi4(3m)i，m的值為2，n的值為i.復數概念的綜合應用例3若不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立，求實數m的值思路點撥.精解詳析m2(m23m)i2x2(y21)i，(x，yR)，8已知復數zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求實數k.解：z0，zR.k25k60.k2或k3.但當k3時，z0不符合題意k2時，z20(a，bR).一、填空題1下列命題中，若aR，則(a1)i是純虛數；若a，bR且ab，則aibi；若(x21)(x23x2)i是純虛數，則實數x1；兩個虛數不能比較大小其中正確的命題是_解析：若a1，則(a1)i0，錯；復數中的虛數只能說相等或不相等，不能比較大小錯；中x1則x23x20，x1不適合，錯；是正確的答案：2若43aa2ia24ai，則實數a的值為_解析：由復數相等的充要條件可知解得a4.答案：43復數(a2a2)(|a1|1)i(aR)是純虛數，則a的取值為_解析：復數(a2a2)(|a1|1)i是純虛數，解之得a1.答案：14已知M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，MN3，則實數a_.解析：MN3，(a23a1)(a25a6)i3，即解之得a1.答案：15已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，則a的值為_解析：z1z2，即故a0.答案：0二、解答題6已知復數(2k23k2)(k2k)i，實部小于零，虛部大于零，求實數k的取值范圍解：由題意得即即解得k0或1k2.7求適合方程xy(x2y2)i25i的實數x，y的值解：由復數相等的條件可知：解得或或或8設復數zlg(m22m14)(m24m3)i，試求實數m的