2018_2019學年高中數(shù)學第一章推理與證明4數(shù)學歸納法教案（含解析）北師大版.docx

4 數(shù)學歸納法在學校，我們經(jīng)常會看到這樣一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個同學不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下問題1：試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？提示：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導致后一輛倒下問題2：這種現(xiàn)象對你有何啟發(fā)？提示：這種現(xiàn)象使我們想到一些與正整數(shù)n有關的數(shù)學問題數(shù)學歸納法及其基本步驟數(shù)學歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種方法，它的基本步驟是：(1)驗證：當n取第一個值n0(如n01或2等)時，命題成立；(2)在假設當nk(kN，kn0)時命題成立的前提下，推出當nk1時，命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立1數(shù)學歸納法僅適用于與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的證明2應用數(shù)學歸納法時應注意：(1)驗證是證明的基礎，遞推是證明的關鍵，二者缺一不可；(2)在證明nk1命題成立時，必須使用歸納假設的結論，否則就不是數(shù)學歸納法 用數(shù)學歸納法證明等式例1用數(shù)學歸納法證明：1(nN)思路點撥運用數(shù)學歸納法由nk到nk1，等式左邊增加了兩項結合等式右邊的結構特點，進一步確定所需要的項及多余項，最后湊成所需要的結構形式即可精解詳析(1)當n1時，左邊1，右邊.左邊右邊，等式成立(2)假設當nk(k1)時等式成立，即1，則當nk1時，.即當nk1時，等式也成立綜合(1)和(2)可知，對一切正整數(shù)n等式都成立一點通用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式命題，關鍵在于“看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項，增加了怎樣的項1用數(shù)學歸納法證明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中nN)證明：(1)當n1時，左邊144，右邊1224，左邊右邊，等式成立(2)假設當nk(kN)時等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，當nk1時，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即當nk1時等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何nN都成立2用數(shù)學歸納法證明：當nN時，132333n3.證明：(1)當n1時，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設當nk(kN)時，等式成立，即132333k3.那么，當nk1時，有132333k3(k1)3(k1)3(k1)2(k1)2.即當nk1時，等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知對任何nN等式都成立.用數(shù)學歸納法證明不等式例2求證：(n2，nN)思路點撥在由nk到nk1的推證過程中可考慮使用“放縮法”，使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式的常用方法之一精解詳析(1)當n2時，左邊，不等式成立(2)假設當nk(k2，kN)時不等式成立，即，則當nk1時，所以當nk1時不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對一切n2，nN均成立一點通用數(shù)學歸納法證明不等式問題的四個關鍵點關鍵點一驗證第1個n的取值時，要注意 n0不一定為1，若條件為nk，則n0k1關鍵點二證明不等式的第二步中，從 nk到nk1 的推導過程中，一定要應用歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少“歸納遞推”關鍵點三應用歸納假設后，若證明方法不明確，可采用分析法證明nk1 時也成立，這樣既易于找到證明的突破口，又完整表達了證明過程關鍵點四證明nk1成立時，應加強目標意識，即要證明的不等式是什么，目標明確了，要根據(jù)不等號的方向適當放縮，但不可“放得過大”或“縮得過小”3已知nN，n2，求證：1 .證明：(1)當n3時，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立(2)假設當nk(kN，k3)時，不等式成立，即1.當nk1時，1 .因為 ，所以1 .所以當nk1時，不等式也成立由(1)、(2)知對一切nN，n2，不等式恒成立4用數(shù)學歸納法證明：當nN時，12232nn(n1)n.證明：(1)當n1時，左邊1，右邊2,12，不等式成立(2)假設當nk(kN)時不等式成立，即12233kk(k1)k，那么，當nk1時，左邊122233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右邊，即左邊n2對從n0開始的所有正整數(shù)都成立”時，第一步驗證的n0()A1 B3C5 D7解析：選Cn的取值與2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增長速度要遠大于n2的增長速度，故當n4，即n5時，恒有2nn2.3設平面內有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，設k條直線的交點個數(shù)為f(k)，則f(k1)與f(k)的關系是()Af(k1)f(k)k1 Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k Df(k1)f(k)k2解析：選C當nk1時，任取其中1條直線記為l，則除l外的其他k條直線的交點的個數(shù)為f(k)，因為已知任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內其他k條直線都相交(有k個交點)；又因為任何三條直線不過同一點，所以上面的k個交點兩兩不相同，且與平面內其他的f(k)個交點也兩兩不相同，從而nk1時交點的個數(shù)是f(k)kf(k1)4用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由nk到nk1時，不等式左邊的變化情況為()A增加B增加C增加，減少D增加，減少解析：選C當nk時，不等式的左邊，當nk1時，不等式的左邊，又，所以由nk到nk1時，不等式的左邊增加，減少.5用數(shù)學歸納法證明12222n12n1(nN)的過程如下：當n1時，左邊1，右邊2111，等式成立假設當nk時，等式成立，即12222k12k1，則當nk1時，12222k12k2k11，所以，當nk1時等式成立由此可知，對任何nN，等式都成立上述證明的錯誤是_解析：當nk1時正確的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假設答案：沒有用上歸納假設進行遞推6用數(shù)學歸納法證明，推證當nk1時等式也成立時，只需證明等式_成立即可解析：當nk1時，故只需證明即可答案：7數(shù)列an滿足an0(nN)，Sn為數(shù)列an的前n項和，并且滿足Sn，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法證明解：由an0，得Sn0，由a1S1，整理得a1，取正根得a11，所以S11.由S2及a2S2S1S21，得S2，整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用數(shù)學歸納法證明如下：(1)當n1時，上面已求出S11，結論成立(2)假設當nk(kN)時，結論成立，即Sk.那么，當nk1時，Sk1.整理得Sk1，取正根得Sk1.即當nk1時，結論也成立由(1)(2)可知，對任意nN，Sn都成立8用數(shù)學歸納法證明11n(nN)解：(1)當n1時，左式1，右式1，且1，命題成立(2)假設當nk(nN)時，命題成立，即11k，則當nk1時，112k1.又1k2k(k1)，即當nk1時，命題成立由(1)和(2)可知，命題對所有的nN都成立一、歸納和類比1歸納推理和類比推理是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理2從推理形式上看，歸納是由部分到整體、由個別到一般的推理；類比是兩類事物特征間的推理，是由特殊到特殊的推理二、直接證明和間接證明1直接證明包括綜合法和分析法(1)綜合法證明數(shù)學問題是“由因導果”，而分析法則是“執(zhí)果索因”，二者一正一反，各有特點綜合法的特點是表述簡單、條理清楚，分析法則便于解題思路的探尋(2)分析法與綜合法往往結合起來使用，即用分析法探尋解題思路，而用綜合法書寫過程，即“兩頭湊”，可使問題便于解決2間接證明主要是反證法反證法：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立反證法主要適用于以下兩種情形：(1)要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進行分