2018_2019學年高中數(shù)學第1部分第2章圓錐曲線與方程2.3雙曲線2.3.1雙曲線的標準方程講義含解析.docx

23.1雙曲線的標準方程在平面直角坐標系中A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)問題1：若動點M滿足|MAMB|4，設M的坐標為(x，y)，則x，y滿足什么關系？提示：1.問題2：若動點M滿足|MCMD|4，設M的坐標為(x，y)，則x，y滿足什么關系？提示：1. 雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點坐標(c,0)(0，c)a，b，c的關系c2a2b21雙曲線的標準方程與橢圓不同，左邊是含x，y項的平方差，右邊是1.2在雙曲線中，a0且b0，但a與b的大小關系不確定3在雙曲線中a、b、c滿足c2a2b2，與橢圓不同用待定系數(shù)法求雙曲線方程例1已知雙曲線過點P(，)，Q兩點，求雙曲線的標準方程思路點撥解答本題可分情況設出雙曲線的標準方程，再構造關于a、b、c的方程組求解，從而得出雙曲線的標準方程也可以設雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，P(，)，Q兩點在雙曲線上解得即a21，b23，所求雙曲線的標準方程為x21.當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線方程為1(a0，b0)，P(，)，Q 兩點在雙曲線上，解得(不符合題意，舍去)綜上：所求雙曲線的標準方程為x21.法二：設雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，因為雙曲線過兩點P(，)，Q，得解得所以所求雙曲線的標準方程為x21.一點通用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)已知雙曲線與橢圓1有共同的焦點，且過點(，4)，求雙曲線的方程；(2)c，經(jīng)過點(5,2)，焦點在x軸上解：(1)橢圓1的焦點坐標為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設雙曲線的方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.(2)焦點在x軸上，c，設所求雙曲線方程為1(其中05.所以實數(shù)m的取值范圍是(5，)一點通給出方程1(mn0)，當mn0時，方程表示雙曲線，當時，表示焦點在x軸上的雙曲線；當時，表示焦點在y軸上的雙曲線3k9是方程1表示雙曲線的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：1表示雙曲線的充要條件是(9k)(k4)0，即k9或k4.因為k9是k9或k4的充分不必要條件即k9是方程1表示雙曲線的充分不必要條件答案：充分不必要4若方程1表示焦點在x軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是_；若該方程表示雙曲線，則m的取值范圍是_解析：若表示焦點在x軸上的雙曲線，則3m2.若該方程表示雙曲線，則(2m)(|m|3)0.解得3m3.答案：(3,2)(3,2)(3，)雙曲線的定義及其標準方程的應用例3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個焦點，P是雙曲線左支上的點，且PF1PF232，試求F1PF2的面積思路點撥本題是有關雙曲線的焦點三角形問題，解答本題的關鍵是求得F1PF2的大小由余弦定理，根據(jù)已知條件，結合雙曲線的定義即可求得結果精解詳析雙曲線的標準方程為1，可知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|PF2PF1|2a6，將此式兩邊平方，得PFPF2PF1PF236，PFPF362PF1PF236232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F(xiàn)1PF290，SF1PF2PF1PF23216.一點通在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時，首先要考慮定義|PF1PF2|2a，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立關于PF1、PF2、F1F2的方程，解方程組可求得PF1、PF2或PF1PF2，再解決相關問題5已知雙曲線1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上一點，且PF與圓x2y216相切于點N，M為線段PF的中點，O為坐標原點，則MNMO_.解析：如圖，設F是雙曲線的右焦點，連接PF，因為M，O分別是FP，F(xiàn)F的中點，所以MOPF，又FN5，由雙曲線的定義知PFPF8，故MNMOPFMFFN(PFPF)FN851.答案：16如圖所示，已知定圓F1：x2y210x240，定圓F2：x2y210x90，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程解：圓F1：(x5)2y21，圓F2：(x5)2y242，F(xiàn)1(5,0)，半徑r11；F2(5,0)，半徑r24.設動圓M的半徑為R，則MF1R1，MF2R4，MF2MF13F1F210.動圓圓心M的軌跡是以F1、F2為焦點的雙曲線左支，且a，c5.b225.動圓圓心M的軌跡方程為1(x)1用定義法求雙曲線的標準方程時，要注意是一支還是兩支2用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設出標準方程后，由條件列出a，b，c的方程組對應課時跟蹤訓練(十) 1雙曲線1上的點P到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為_解析：設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，不妨設PF111，根據(jù)雙曲線的定義知|PF1PF2|2a10，PF21或PF221，而F1F214，當PF21時，11114(舍去)，PF221.答案：212已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，I是PF1F2的內(nèi)心，且SIPF 2SIPF1SIF1F2，則_.解析：設PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則由SIPF 2SIPF 1SIF 1F 2PF2rPF1rF1F2r PF1PF2F1F2，根據(jù)雙曲線的標準方程知2a2c，.答案：3若方程1(kR)表示雙曲線，則k的范圍是_解析：依題意可知：(k3)(k3)0，求得3k3.答案：3k0，且焦點在x軸上，根據(jù)題意知4a2a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)故實數(shù)a1.答案：15已知雙曲線的兩個焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，M是此雙曲線上的一點，且滿足0，|2，則該雙曲線的方程是_解析：0，.|2|240.(|)2|22|2402236.|62a，a3.又c，b2c2a21，雙曲線方程為y21.答案：y216求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)以橢圓1的長軸端點為焦點，且經(jīng)過點P(5，)；(2)過點P1(3，4 )，P2(，5)解：(1)因為橢圓1的長軸端點為A1(5,0)，A2(5,0)，所以所求雙曲線的焦點為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)由雙曲線的定義知，|PF1PF2| 8，即2a8，則a4.又c5，所以b2c2a29.故所求雙曲線的標準方程為1.(2)設雙曲線的方程為Ax2By21(AB0)，分別將點P1(3，4 )，P2(，5)代入，得解得故所求雙曲線的標準方程為1.7設F1，F(xiàn)2為雙曲線y21的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足F1PF2120.求F1PF2的面積解：由已知得a2，b1；c ，由余弦定理得：F1FPFPF2PF1PF2cos 120即(2 )2(PF1PF2)23PF1PF2|PF1PF2|4.PF1PF2.SF1PF2PF1PF2sin 120.8. 如圖，在ABC中，已知|AB|4 ，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當?shù)淖鴺讼?，求頂點C的軌跡方程解： 以AB邊