幾何直觀與教學(xué)啟示2014-9).ppt

幾何直觀思想及其對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示 西北師范大學(xué)教育學(xué)院 張定強 2014年10月21日,分享哲人的思想,如果誰不知道正方形的對角線同邊是不可通約的量，那他就不值得人的稱號。柏拉圖 感覺到數(shù)學(xué)的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實的美的感 覺。 龐加萊,摘要 第一部分 參與式研討 第二部分 總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟示 一、幾何直觀思想的基本含義 二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點啟示,第一部分 參與式研討 活動：探討幾何直觀思想的含義及價值 目標：閱讀材料，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)實分享對幾何直觀思想的認識；形成對幾何直觀思想的共識；總結(jié)出幾何直觀思想對教學(xué)啟示。 時間：90分鐘,過程： 、閱讀所發(fā)材料，作為引子（從錯誤處入手），各自獨立的在紙上寫出對幾何直觀思想的理解，并梳理出這種思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用與價值。 、組長負責(zé)，在小組內(nèi)交流各自的看法，相互探討，形成小組內(nèi)的看法（幾何直觀思想的含義、對教學(xué)的啟示），記錄員整理，發(fā)言人準備發(fā)言。 、展示匯報小組討論結(jié)果。,第二部分 總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟示 一、幾何直觀思想的基本含義 1、幾何學(xué)的本質(zhì)是什么？為什么要學(xué)習(xí)幾何學(xué)？ 幾何學(xué)是研究變換群體圖形的不變性質(zhì)和不變量的一門科學(xué)。 “圖形與幾何”的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換.教材突出用觀察、操作、想像、思考等多種方式探索圖形的性質(zhì)、圖形的運動、圖形的位置、圖形的度量等，使學(xué)生體驗更多的刻畫現(xiàn)實世界和認識圖形的角度和工具。 理解大千世界、訓(xùn)練推理能力與思維能力、建立普遍聯(lián)系。,2、空間觀念與幾何直觀 空間觀念是指對物體及其幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化建立起來的一種感知和認識，空間想象是建立空間觀念的重要途徑。 空間觀念也是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造。 標準從四個方面提出了要求： 根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體； 想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系； 描述圖形的運動和變化； 依據(jù)語言的描述畫出圖形等。,幾何直觀此次新增的核心概念 希爾伯特（Hilbert）在直觀幾何一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。 標準指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。” “圖形表示”和“圖形分析” 畫圖、變換、數(shù)形結(jié)合,幾何直觀中，“幾何”是指圖形；“直觀”不僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象。 幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。 （直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。 第一，幾何直觀是一種能力，與“跳得高”“跑得快”的運動能力一樣，是人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項本領(lǐng)；第二，這種能力是與空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力并列存在；可以通過引導(dǎo)學(xué)生看一看，剪一剪，折一折，擺一擺，測一測等來實現(xiàn)）。,幾何直觀思想的力量 （1）幫助刻畫問題，描述問題，當(dāng)能用圖形來描述這個問題時，對這個問題就有了較深的認識。 （2）幫助找到解決問題的思路。 （3）幫助記憶和掌握一些結(jié)論。如研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中度量關(guān)系主要有距離、角度等。我們用距離舉例：兩點有距離，一點和一直線有距離，一個平面和一點有距離，兩條平行線有距離，一個平面和一條平行直線有距離，兩個平行平面有距離，兩條一面直線也有距離。那么我們怎么來解決這些距離問題呢？ （4）實現(xiàn)各類問題之間的轉(zhuǎn)化。 （5）拓展知識面，養(yǎng)成合理的思維習(xí)慣。,二、幾何直觀思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示 1、教學(xué)理念上的啟示 （理念的思考）對數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)中碰到的問題作直觀化處理，充分認識幾何直觀思想的教學(xué)價值。 2、教學(xué)設(shè)計上的啟示 （設(shè)計的名言：把教育學(xué)一般理論比喻為建筑學(xué)理論，那么數(shù)學(xué)教學(xué)則是一項建筑工程。一堂優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課，正如一座美輪美奐的大廈，即要符合科學(xué)原理，又能賞心悅目。眾所周知，工程需要設(shè)計，同樣，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要設(shè)計）。 “數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)”。 把直觀思想滲透到教學(xué)設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)中。 確立目標、分析任務(wù)、了解學(xué)生、設(shè)計活動、評價結(jié)果等五個環(huán)節(jié)。,認識面積,3、教學(xué)實施上的啟示 日常的教學(xué)工作中高度重視直觀化思想的滲透，降低難度，突破思維的限制，取得十分顯著的效果。,學(xué)生的方法有道理嗎,學(xué)生方法1：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這4個 部分怎樣求？,價值分析： 學(xué)生沒有選擇長方形、平行四邊形和梯形，而是選擇了正方形，已經(jīng)意識到圓應(yīng)該和一個邊長相等的圖形最接近。,學(xué)生的方法有道理嗎,學(xué)生方法2：可以在圓上畫方塊，如果不足一個方塊可以用其他 地方的方塊來補，但我們不知道怎樣補最合適？,學(xué)生的方法有道理嗎,價值分析：學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累與后續(xù)學(xué)習(xí)的積淀,學(xué)生的方法有道理嗎,4、教學(xué)評價上的啟示 直觀有利于檢測思維水平，有利于深化認識，有利于共同進步。 如：若干個相同的立方體擺在一起，前、后、左、右的視圖都是 問這堆立方體最少有多少？,2019/7/7,20,題目,如果將下圖中的繩子拉直，它的長度大約為（ ）厘米,A4 B5 C6 D7,得分率,5、教學(xué)研究上的啟示 如研究作業(yè)問題： 人教版第二冊，我們在教學(xué)“100以內(nèi)數(shù)的認識”時遇到這樣的作業(yè)反饋。在人教版配套作業(yè)本及課時特訓(xùn)中出現(xiàn)了這樣的習(xí)題。 作業(yè)本P24 86后面的連續(xù)五個數(shù)是： 62前面的連續(xù)五個數(shù)是： 2 課時特訓(xùn) P27 100以內(nèi)數(shù)的認識 我的前面是80，我是（ ） 我的后面是69，我是（ ）,習(xí)題 解答方法 小計 正確解釋 說不清 其他錯誤 86后面的 連續(xù)五 個數(shù) 87、88、89、90、91 64% 50.8% 16.9% 數(shù)字寫錯或書寫 不規(guī)范引起的錯誤。 85、84、83、82、81 36% 分析思考，原因，對策,如何培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”。,使學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣,鼓勵用圖形表達問題，讓“用圖思考問題成為學(xué)生的一種習(xí)慣”。 可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。,氣象組12人, 攝影組是氣象組的13，航模是攝影34,關(guān)于學(xué)生自己的圖一些分析,學(xué)生的某些圖與線段圖“結(jié)構(gòu)”是一樣的 學(xué)生的圖更加直觀 線段圖更加簡潔 不同的學(xué)生可能會選擇不同的圖,借助模型辨析錯例,錯誤1412=108,利用“矩形模型”將乘法運算可視化,案例2：認識三角形的高（蘇教版四下） 設(shè)計1： 1.出示一幅三角形“人字梁”的圖，向?qū)W生介紹它的名稱、作用。 2提問：你能量出圖中“人字梁”的高度嗎？學(xué)生在作業(yè)紙上測量。匯報測量結(jié)果。 3.借助多媒體課件抽取“人字梁”的形狀，并在剛才測量高度的部位畫上一條線斷。向?qū)W生指出：這條線段就是三角形的高。 4組織學(xué)生討論：怎樣的一條線段叫做三角形的高？讓學(xué)生用自己的話進行描述。 5揭示三角形高的定義，并引出相對應(yīng)的底。 6完成“試一試”：測量一些三角形的底和高的長度。,設(shè)計： 出示兩個“人字形”屋架圖（一個是書上的三角形屋架，另外補充一個稍微矮一些的）。老師簡要介紹名稱后，讓學(xué)生觀察，比一比哪個屋架高一些。 思考：你是怎么比出來的？你能從圖上量出這兩個屋架的具體高度嗎？讓學(xué)生匯報測量的結(jié)果。 利用課件把上述兩個屋架的實物圖分別抽象成兩個三角形，并在剛才測量的部位分別畫上一條線段。讓學(xué)生說一說這條線段有什么特點，并進一步向