浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系講義含解析.docx

9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.會解決直線與圓的位置關(guān)系的問題.2.會判斷圓與圓的位置關(guān)系.考查直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的判斷；根據(jù)位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值、幾何量的大小等.題型以選擇、填空題為主，要求相對較低.1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.dr相離.(2)代數(shù)法：2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離dr1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無解概念方法微思考1.在求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時，應(yīng)注意什么？提示應(yīng)首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，切線為零條.2.用兩圓的方程組成的方程組有一解或無解時能否準(zhǔn)確判定兩圓的位置關(guān)系？提示不能，當(dāng)兩圓方程組成的方程組有一解時，兩圓有外切和內(nèi)切兩種可能情況，當(dāng)方程組無解時，兩圓有相離和內(nèi)含兩種可能情況.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()(2)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.()(3)過圓O：x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(4)過圓O：x2y2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()(5)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切.()題組二教材改編2.P128T4若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.3，1B.1，3C.3，1D.(，31，)答案C解析由題意可得，圓的圓心為(a，0)，半徑為，即|a1|2，解得3a1.3.P130練習(xí)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離答案B解析兩圓圓心分別為(2，0)，(2，1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32d2，點(diǎn)A(3，5)在圓外.顯然，當(dāng)切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x30，當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)所求切線方程為y5k(x3)，即kxy53k0.又圓心為(1，2)，半徑r2，而圓心到切線的距離d2，即|32k|2，k，故所求切線方程為5x12y450或x30.題型一直線與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1位置關(guān)系的判斷例1在ABC中，若asinAbsinBcsinC0，則圓C：x2y21與直線l：axbyc0的位置關(guān)系是()A.相切B.相交C.相離D.不確定答案A解析因?yàn)閍sinAbsinBcsinC0，所以由正弦定理得a2b2c20.故圓心C(0，0)到直線l：axbyc0的距離d1r，故圓C：x2y21與直線l：axbyc0相切，故選A.命題點(diǎn)2弦長問題例2若a2b22c2(c0)，則直線axbyc0被圓x2y21所截得的弦長為()A.B.1C.D.答案D解析因?yàn)閳A心(0，0)到直線axbyc0的距離d，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于，所以弦長為.命題點(diǎn)3切線問題例3已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程.(1)與直線l1：xy40平行；(2)與直線l2：x2y40垂直；(3)過切點(diǎn)A(4，1).解(1)設(shè)切線方程為xyb0，則，b12，切線方程為xy120.(2)設(shè)切線方程為2xym0，則，m5，切線方程為2xy50.(3)kAC，過切點(diǎn)A(4，1)的切線斜率為3，過切點(diǎn)A(4，1)的切線方程為y13(x4)，即3xy110.思維升華 (1)判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法幾何法：利用d與r的關(guān)系.代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.(2)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.(3)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知直線l：yaxb(a0)，圓C：x2y22x0，且a2b212ab，則直線l與圓C的位置關(guān)系是()A.相離B.不確定C.相切D.相交答案D解析聯(lián)立直線l的方程與圓的方程可得(a21)x2(2ab2)xb20，48ab4b2.12aba2b2，4a20.故直線l與圓C相交.(2)(2018浙江省臺州市適應(yīng)性考試)在直線l：ykx1截圓C：x2y22x30所得的弦中，最短弦的長度為_.答案2解析直線l是直線系，過定點(diǎn)(0，1)，定點(diǎn)(0，1)在圓C內(nèi)，要使直線l：ykx1截圓C：(x1)2y24所得的弦最短，必須使圓心(1，0)和定點(diǎn)(0，1)的連線與弦所在直線垂直，此時定點(diǎn)和圓心的連線，圓心和弦的一個端點(diǎn)的連線與弦的一半圍成一個直角三角形，因?yàn)閳A心與定點(diǎn)之間的距離為，半徑為2，所以最短弦的長度為22.(3)過點(diǎn)P(2，4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_.答案x2或4x3y40解析當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即d1，解得k，所求切線方程為xy420，即4x3y40.綜上，切線方程為x2或4x3y40.題型二圓與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1位置關(guān)系的判斷例4分別求當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切.解將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，則圓C1的圓心為C1(2，3)，半徑r11；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑r2，k50.從而|C1C2|5.當(dāng)|1|51，即46，即14k34時，兩圓相交.當(dāng)15，即k34時，兩圓外切；當(dāng)|1|5，即k14時，兩圓內(nèi)切.所以當(dāng)k14或k34時，兩圓相切.命題點(diǎn)2公共弦問題例5已知圓C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.(1)證明由題意將圓C1和圓C2一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)216，則圓C1的圓心C1(1，3)，半徑r1，圓C2的圓心C2(5，6)，半徑r24，兩圓圓心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|d0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離答案B解析圓M：x2(ya)2a2(a0)，圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線xy0的距離d，由幾何知識得2()2a2，解得a2.M(0，2)，r12.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1，1)，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|11，兩圓外離，故選A.4.(2018金華模擬)過點(diǎn)P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A.yB.yC.yD.y答案B解析圓(x1)2y21的圓心為(1，0)，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y.5.(2019臺州調(diào)研)若點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(4，0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條答案C解析如圖，分別以A，B為圓心，1，2為半徑作圓. 由題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線).6.直線x2ym0(m0)與O：x2y25交于A，B兩點(diǎn)，若|2|，則m的取值范圍是()A.(，2) B.(2，5) C.(，5) D.(2，)答案B解析直線x2ym0與O：x2y25交于相異兩點(diǎn)A，B，O點(diǎn)到直線x2ym0的距離d2|，2d2|，即d|2，解得d2.又d，2d，即20，解得m(2，5).7.(2018浙江省杭州市七校聯(lián)考)過F(1，0)作直線l與圓(x4)2y24交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓心到直線l的距離為_，直線l的方程為_.答案1y(x1)解析易知直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l：yk(x1)，得圓心(4，0)到直線l的距離d，又由圓的弦、半徑、弦心距三者間的關(guān)系得d1，得1，即k，故直線l的方程為y(x1).8.(2018寧波模擬)已知直線l：mxy1.若直線l與直線xmy10平行，則m的值為_；動直線l被圓x22xy2240截得的弦長的最小值為_.答案12解析由直線mxy1與直線xmy10平行得m210，且，解得m1.圓x22xy2240化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y225，直線mxy1過定點(diǎn)(0，1)，因?yàn)辄c(diǎn)(0，1)在圓(x1)2y225內(nèi)，則當(dāng)直線l垂直于點(diǎn)(0，1)與圓心(1，0)連線所在的直線時，直線被圓截得的弦長最短，此時圓心到直線mxy1的距離即為點(diǎn)(0，1)與圓心(1，0)連線的長度，即為，則直線被圓截得的弦長的最小值為22.9.已知圓E：x2y22x0，若A為直線l：xym0上的點(diǎn)，過點(diǎn)A可作兩條直線與圓E分別切于點(diǎn)B，C，且ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.答案21，21解析設(shè)圓E的圓心為E，半徑為r，圓E：x2y22x0，即(x1)2y21，則圓心E(1，0)，半徑r為1，由題意知直線l上存在點(diǎn)A，使得sin30，即|AE|2r.又因?yàn)閨AE|d(d為圓心到直線l的距離)，故要使點(diǎn)A存在，只需d2r2，可得2，解得m21，21.10.已知圓C1：x2y22aya240和圓C2：x2y22bx1b20外切，若aR，bR且ab0，則的最小值為_.答案解析x2y22aya240，即x2(ya)24，x2y22bx1b20，即(xb)2y21.依題意可得213，即a2b29，故1.所以，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號.11.已知圓C：x2y22x4y10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動到(1，3)處，求此時切線l的方程；(2)求滿足條件|PM|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程.解把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)24，圓心為C(1，2)，半徑r2.(1)當(dāng)l的斜率不存在時，此時l的方程為x1，C到l的距離d2r，滿足條件.當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，得l的方程為y3k(x1)，即kxy3k0，則2，解得k.l的方程為y3(x1)，即3x4y150.綜上，滿足條件的切線l的方程為x1或3x4y150.(2)設(shè)P(x，y)，則|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，點(diǎn)P的軌跡方程為2x4y10.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|OA|，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設(shè)l的方程為y2xm，即2xym0.又|BC|OA|2.由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2.即2，解得m5或m15.直線l的方程為y2x5或y2x15.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的取值范圍為22，22.13.已知直線l：(m2)x(m1)y44m0上總存在點(diǎn)M，使得過M點(diǎn)作的圓C：x2y22x4y30的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m1或m2B.2m8C.2m10D.m2或m8答案C解析如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B.連接AC，BC，MC，由AMBMACMBC90及|MA|MB|知，四邊形MACB為正方形，故|MC|2，若直線l上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直，只需圓心(1，2)到直線l的距離d2，即m28m200，2m10，故選C.14.若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長是_.答案4解析O1與O在A處的切線互相垂直，如圖，可知兩切線分別過另一圓的圓心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B關(guān)于OO1所在直線對稱，AB長為RtOAO1斜邊上的高的2倍，|AB|24.15.已知圓O：x