可分離變量的微分方程(6).ppt

12.2 可分離變量的方程,Separable Differential Equations,一階微分方程,一般形式：,特殊一點的形式：,如,如,的幾何意義：方向場（斜率場）,例如，,微分方程,表示：,曲線 y = f(x) 在點(x, y)處的切線斜率為 2xy,方向場與積分曲線,方向場與積分曲線 （大范圍）,方向場與積分曲線 （局部）,一階微分方程,的解的存在性及唯一性,設(shè)函數(shù) f(x, y) 在矩形區(qū)域,內(nèi)連續(xù)，則初值問題,在 x0 的某個鄰域內(nèi)至少有一個解：y = y(x),設(shè)偏導(dǎo)數(shù),在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)， 則這個解是唯一的。,了解,存在性,唯一性,即便是一階微分方程,也沒有一種統(tǒng)一求解的方法。 微分方程必須根據(jù)不同的類型， 用不同的方法求解。 所以判別微分方程的類型十分重要。 下面幾節(jié)將討論幾種常見類型的方程的解法。,最簡單的微分方程：,通解：,例如,可分離變量的微分方程,分離變量：,積分：,通解：,隱式解,驗：,原方程,可分離變量的微分方程,分離變量：,例 1,求通解：,解,分離變量：,積分：,通解,方向場與積分曲線,方向場與積分曲線,例,求初值問題：,解,整理：,分離變量：,積分：,通解：,通解：,將 x = 0, y = 1 代入：,2 = C,特解：,微分方程的解是局部存在，唯一的,雙曲線,with(DEtools): wffc:=y(x)*(1+x2)*diff(y(x),x)=x*(1+(y(x)2):DEplot(wffc,y(x),x=-22, y=-24,y(0)=-1,y(0)=1,y(0)=3,y(0)=2,linecolor=blue,red,blue,blue, color=blue,stepsize=0.01,scaling=constrained);,一族雙曲線,對一些不能分離變量的微分方程，可以作變量替換將其化為可分離變量的方程。,例,解方程：,解,方程不能分離變量,令,原方程化為：,可分離變量,分離變量：,積分：,通解：,將 x = 0, y = 1 代入通解：,特解：,可分離變量的微分方程的應(yīng)用,指數(shù)模型,設(shè)某一物質(zhì)（人口、細菌、放射性元素）的總量 x 是時間的函數(shù)： x = x(t) (未知) 已知：該物質(zhì)的增長（減少）速度與該物質(zhì)的總量成正比，且已知在時刻 t = 0 時，x(0) = x0 求總量函數(shù) x = x(t),x 的增長（減少）速度：,已知：該物質(zhì)的增長（減少）速度與該物質(zhì)的總量成正比，且已知在時刻 t = 0 時，x(0) = x0,建立微 分方程：,增長模型,減少模型,同理,The Law of Natural Growth,The Law of Natural Decay,增長模型,這是一個可分離變量的微分方程,通解,將 t = 0, x = x0 代入：x0 = C,特解：,指數(shù)增長 Exponential Growth,同理,指數(shù)減少 Exponential Decay, plot(3*exp(0.3*x),x=06,thickness=3,view=06,018,ytickmarks=4);,指數(shù)增長 Exponential Growth,plot(3*exp(-0.3*x),x=010,thickness=3,view=010,04,ytickmarks=4);,指數(shù)減少 Exponential Decay,例 2,鈾的衰減,指數(shù)減少模型,自學(xué),例 3,降落傘的運動,降落傘所受外力：F = mg kv 由牛頓第二定律：F = ma 建立微分方程：,外力分析： 重力：mg,阻力：kv,分離變量：,積分：,初始條件：v(0)=0,初始條件：v(0)=0,通