可測(cè)函數(shù)的收斂性(2).pptVIP

第二節(jié) 可測(cè)函數(shù)列的收斂性,第三章 Lebesgue可測(cè)函數(shù),f 和fn是定義在可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)和可測(cè)函數(shù)列,函數(shù)列的幾種收斂定義,一致收斂:,點(diǎn)點(diǎn)收斂: 記作,例：函數(shù)列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上處處收斂到 f(x)=0,但不一致收斂， 但去掉一小測(cè)度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂,幾乎處處收斂: 記作 (almost everywhere）,即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂,即：去掉某個(gè)小（任意?。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂,定義2.2: (近一致收斂)幾乎一致收斂:記作 (almost uniformly),fn不幾乎一致收斂于f,幾乎一致收斂:記作 (almost uniformly),即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂,即：去掉 測(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂,任意 （ ）,適當(dāng)小,小,fn不幾乎一致收斂于f的例子,即：去掉任意?。ㄟm當(dāng)小）測(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂,定義2.3:依測(cè)度收斂: 記作,注：從定義可看出， 幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂（除一零測(cè)度集外） 依測(cè)度收斂并不指出函數(shù)列在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂，其要點(diǎn)在于誤差超過(guò)的點(diǎn)所成的集的測(cè)度應(yīng)隨n趨于無(wú)窮而趨于零，而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何,不依測(cè)度收斂,依測(cè)度收斂,例：函數(shù)列fn(x)=xn 在(0,1)上處處收斂到 f(x)=0,但不一致收斂， 但去掉一小測(cè)度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂, 即幾乎一致收斂.,2.幾乎處處收斂與幾乎一致收斂的聯(lián)系（葉果洛夫定理）,即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂,設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)，,（即：可測(cè)函數(shù)列的收斂 “基本上”是一致收斂）,定理2.2 葉果洛夫(Egoroff)定理,引理：設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)，,證明：由于 為零測(cè)度集， 故不妨令 fn ，f在E上處處有限，從而有：,葉果洛夫定理的證明,對(duì)引理、葉果洛夫 定理及Lebesgue定理的證明的說(shuō)明,下證明 由(3)推出(2),對(duì)引理、葉果洛夫 定理及Lebesgue定理的證明的說(shuō)明,下證明 由(4)推出(3),對(duì)引理、葉果洛夫定理及Lebesgue定理的證明的說(shuō)明,注：葉果洛夫定理的逆定理成立,注a: 葉果洛夫定理中條件mE+不可少,不幾乎一致收斂:去掉任意?。ㄟm當(dāng)小）測(cè)度集，在留下的集合上任不一致收斂,幾乎一致收斂:去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂,注b：葉果洛夫定理中的 結(jié)論me不能加強(qiáng)到me=0,去掉一小測(cè)度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂， 但去掉任意零測(cè)度集， 在留下的集合上仍不 一致收斂。,例：函數(shù)列fn(x)=xn n=1,2,在(0,1)上 處處收斂到f(x)=0, 但不一致收斂；,注b：葉果洛夫定理中結(jié)論me不能加強(qiáng)到me=0,設(shè)fn(x)= x n , x(0,1）,則fn(x) 處處收斂于f(x)=0，但fn(x)不一致收斂于f(x) ，即使去掉任意一零測(cè)度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收斂于f(x) 。,說(shuō)明：去掉任意一個(gè)零測(cè)度集e，留下的集合 (0,1)-e仍然以1為聚點(diǎn)從而可找到E-e中一點(diǎn)列 xn, 使得 收斂到1，故：,從而E-e 上fn(x)不一致收斂于f(x),3.葉果洛夫定理的逆定理成立，無(wú)論mE+或mE=+，,幾乎一致收斂: 去掉某個(gè)小（任意?。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂,另外顯然 fn(x) 在 上點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x) 所以 fn(x) 在E上a.e.收斂于f(x),證明：由條件知 ,存在可測(cè)集 使 且 fn(x) 在 En上一致收斂于f(x) ，當(dāng)然fn(x) 在En 上點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x),定理2.3: 葉果洛夫定理的逆定理,收斂間的關(guān)系,4.幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂（Lebesgue定理）,定理2.4設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)，,注（1） : 葉果洛夫逆定理中條件mE+不可少 處處收斂但不依測(cè)度收斂,說(shuō)明：當(dāng)n越大，取1的點(diǎn)越多，故fn(x)在R+上處處收斂于1,在R+上處處收斂于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依測(cè)度收斂于1.,（2）依測(cè)度收斂但處處不收斂,依測(cè)度收斂但處處不收斂,取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,說(shuō)明：對(duì)任何x(0,1 , fn(x)有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1， 一個(gè)恒為0，所以fn(x)在(0,1上處處不收斂；,5.定理2.5 Riesz(黎斯)定理,令mE+，則 對(duì)fn 的任意子列 fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得,Riesz定理的必要性證明,證明,對(duì)Riesz定理證明 的說(shuō)明：其實(shí)從 證明中的(*)式我們可看出,從而可取得n1 n2 n3 nk，使得,故對(duì)任意0， ,有,6.依測(cè)度收斂的性質(zhì),定理2.6：令mE+ ， 則,證明見(jiàn)板書(shū),這與（*）式矛盾，所以,證明：假設(shè) 不成立，則,補(bǔ)充,條件mE+不可少,注：令 ，則 gn不依測(cè)度收斂于g,注：上述結(jié)果的證明也可通過(guò)依測(cè)度收斂