積分變換1.1Fourier積分.ppt

(3),(4),(5),積分變換,工程數(shù)學(xué),（第四版）,第一章 Fourier變換,1 Fourier積分,2 Fourier變換,3 Fourier變換的性質(zhì),4 卷積與相關(guān)函數(shù),5 Fourier變換的應(yīng)用,1.1 Fourier積分,定理 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系,證:,正交 ,上的積分等于 0 .,即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在,上的積分不等于 0 .,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在,同理可證 :,研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上：,1, 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 2, 只有有限個(gè)極值點(diǎn) 這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù)。也就,是在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)可以展開成三角形式。,第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)的區(qū)別:,第二類間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn),不滿足狄氏條件的例:,而在工程上所應(yīng)用的函數(shù), 尤其是物理量的變化函數(shù), 全部滿足狄氏條件. 實(shí)際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在的, 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù), 使得思維簡(jiǎn)單一些.,存在第二類間斷點(diǎn),在靠近0處存在著無限多個(gè)極值點(diǎn)。,因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù) fT (t), 可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下:,(1) 為求出a0，兩邊同時(shí)積分，得,即,即,(2) 為求an，先兩邊同乘 ，然后兩邊同時(shí)積分,即,最后可得:,其中,為了今后應(yīng)用上的方便，下面把Fourier級(jí)數(shù)的,三角形式轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)形式。由Euler公式，,則有,如果令,則可以合寫為一個(gè)式子，,若令,則上式可以寫為,這就是Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，或者寫為,接下來討論非周期函數(shù)的展開問題。 任何一個(gè)非周期函數(shù) f (t) 都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù) fT(t) 當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來的。 作周期為T 的函數(shù) fT (t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于 f (t), 在-T/2,T/2之外按周期T 延拓到整個(gè)數(shù)軸上, 則T 越大, fT (t)與 f (t) 相等的范圍也越大, 這就說明當(dāng)T時(shí), 周期函數(shù) fT(t) 便可轉(zhuǎn)化為 f (t), 即有,由公式,可知,當(dāng)n 取一切整數(shù)時(shí)，,數(shù)軸上，兩個(gè)相鄰的點(diǎn)的距離為,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便均勻分布在整個(gè),如圖,O w1 w2 w3 wn-1wn,w,所以 f (t)又可寫為,則有,當(dāng),當(dāng) t 固定時(shí)， 是參數(shù) 的函數(shù)，,記為 ，即,此公式稱為函數(shù) f (t)的Fourier積分公式。應(yīng)該指出，上式只是從右端從形式上推出來的，是不嚴(yán)格的。至于一個(gè)非周期函數(shù)f(t)在什么條件下，可以用Fourier積分公式來表示，有接下來的收斂定理。,又,最后可得,Fourier積分定理,若 f (t) 在(-, +)上滿足條件:,1. f (t)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;,成立，而左端的 f (t) 在它的間斷點(diǎn) t 處，應(yīng)以,來代替。,在,絕對(duì)可積是指,收斂。,2. f (t)在無限區(qū)間(-, +)上絕對(duì)可積, 則有,(1.4)式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式,是的偶函數(shù)，可得,又,因,是的奇函數(shù)，所以,當(dāng) f (t) 為奇函數(shù)時(shí)，利用三角函數(shù)的和差公式，,在實(shí)際應(yīng)用中，常常要考慮奇函數(shù)和偶函數(shù)的,分別是關(guān)于 的奇函數(shù)和偶函數(shù)。因此,又 f (t) 是奇函數(shù)，則 和,Fourier積分公式。,上面式子可以寫為,當(dāng) f (t) 為偶函數(shù)時(shí)，同理可得,它們分別稱為Fourier正弦積分公式和Fourier余弦積分公式。,特別，若 f (t) 僅在 上有定義，且滿足Fourier 積分存在定理的條件，我們可以采用類似于Fourier 級(jí)數(shù)中的奇延拓或偶延拓的方法，得到 f (t)相應(yīng)的Fourier正弦積分展開式或Fourier余弦積分展開式,例 求函數(shù) 的Fourier積分表達(dá)式。,解 根據(jù)Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式，有,例 求函數(shù) 的Fourier積分表達(dá)式。,解 根據(jù)Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式，有,當(dāng) 時(shí)，f (t) 應(yīng)以 代替 .,例 求函數(shù) 的Fourier積分表達(dá)式。,也可以根據(jù) f (t) 的奇偶性來計(jì)算。因?yàn)?f (t) 為偶函數(shù)，,所以由Fourier余弦積分公式，可得，,函數(shù)的圖形為,1,-1,o,t,f(t),1,可得,這就是著名的Dirichlet積分。,所以,因此可知當(dāng) t =0 時(shí)，有,