層次分析法數(shù)學(xué)建模.ppt

,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,層次分析法,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,在人類社會生活的各個領(lǐng)域以及日常生活中，我們 經(jīng)常遇到一些決策問題，例如購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價格、 外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選 擇某種飯菜。 過去人們處理這些問題往往是憑經(jīng)驗(yàn)，靠主觀定性 的去分析，隨意性較大并且缺少應(yīng)有的科學(xué)性，因而常 常造成重大的失誤。 層次分析法是將定性問題定量化處理的一種有效手 段。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價、 最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用 數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七 十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這 是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析 方法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng) 計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的 因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù) 據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法， 而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,層次分析法的基本思路： 選擇鋼筆 質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用 鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4 （1）質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 （2）將各個鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn) 行排序 （3）經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆。 與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,在層次劃分及因素選取時，我們要注意三點(diǎn)： （1）上層對下層有支配作用； （2）同一層因素不存在支配關(guān)系（相互獨(dú)立）； （3）每層因素一般不要超過9個。 （心理學(xué)家通過實(shí)驗(yàn)認(rèn)為，人對許多東西優(yōu)劣及優(yōu)劣 程度判斷能力，最多大致在9個以內(nèi)，超過這個范圍就 會判斷失真。例如，人們在面對琳瑯滿目的商品常常會 眼花繚亂，難以抉擇。）,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,步驟2 構(gòu)造成對比較陣,面對的決策問題：要比較 個因素 對目標(biāo) 的影響。我們要確定它們在 中所占的比重（權(quán)重）， 即這 個因素對目標(biāo) 的相對重要性。我們用兩兩比 較的方法將各因素的重要性量化。（兩個東西進(jìn)行比 較，最能比較出它們的優(yōu)劣及優(yōu)劣程度。）,每次取兩個因素 和 ，用正數(shù) 表示 與 的 重要性之比。全部比較結(jié)果得到的矩陣 稱 為成對比較陣（也稱為正互反矩陣）。顯然有,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,如何選取 呢？薩迪提出了一種方法：用數(shù)字 及其倒數(shù) 作為標(biāo)度，其意義是,在每兩個等級之間有一個中間狀態(tài)， 可分別 取值 。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,但一般來說，我們是沒有辦法使之完全一致的。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,由于客觀事物的復(fù)雜性以及人們認(rèn)識的多樣性，特別是人 的思維活動不可避免地帶有主觀性和片面性，構(gòu)造出的成對比 較陣 常常不是一致陣。若不一致性達(dá)到很嚴(yán)重的程度，我們 建立起來的評價系統(tǒng)將會是很不準(zhǔn)確的。因此我們就要討論一 下我們建立的比較陣的不一致性是否在一個允許的范圍內(nèi)！,那么如何檢驗(yàn)矩陣 的一致性呢？顯然對 中的每個元素 用 來討論是很麻煩的，而且容易出現(xiàn)混亂。我們利 用矩陣?yán)碚摽梢宰C明： 階成對比較矩陣 是一致陣，當(dāng)且僅 當(dāng) 的最大特征值 。因此計算 的最大特征值就可判 斷 是否是一致陣。如果 不是一致陣，我們還可以證明 而且 越大，不一致程度越嚴(yán)重。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,可以看出矩陣 的不一致性是不可避免的，但只要它的不 一致性不是很嚴(yán)重，我們還是可以接受的。薩迪給出了一個 衡量可接受的指標(biāo)以及尋求該指標(biāo)的方法。共分三步：,（1）計算一致性指標(biāo)CI（consistency index)用來衡量 的不一致程度。,（2）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI（random index）。,例如,其實(shí)比較陣就是由,作為元素的矩陣，我們可以用排列組合的方法 將所有的可能矩陣全部找到。 它們這些三階陣構(gòu)成一個樣本空間（集合）。 算出每個矩陣的最大特征值，再取平均值，得 到 。再計算 我們認(rèn)為若 就說 的不一致程度是可接受的。,步驟3 一致性檢驗(yàn),數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,但是對于階數(shù)比較高的矩陣集，求出其全部樣本點(diǎn)工作 量是非常大的，我們只要在這個集合中取機(jī)抽取出足夠多的 樣本點(diǎn)（如500個），用這些樣本點(diǎn)來計算出 的一個近似 值來代替 ?？梢宰C明當(dāng)抽取出的樣本點(diǎn)的個數(shù)足夠大時， 兩者的值是非常接近的。 所以平均一致性指標(biāo)是這樣得到的：對于固定的 ，隨機(jī) 構(gòu)造成對比較陣 。從中取充分大的子樣得到 ,并 定義,下面給出隨機(jī)一致性指標(biāo)表：（隨機(jī)取500個),大家完全可以把這個結(jié)果像數(shù)學(xué)用表那樣去查，這就省去 了我們求子樣中成對比較矩陣的最大特征值的平均值了。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,步驟4 計算權(quán)重向量,當(dāng)我們構(gòu)造出了可接受的成對比較陣 ，我們就可以 計算此層中 個因素在目標(biāo) 中所占的比重，將這些比重寫成 向量并歸一化即得權(quán)向量 。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,步驟5 層次總排序即求各方案的綜合得分,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,層次分析法建模舉例,第一步 建立層次結(jié)構(gòu),數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,與此類似，我們可以求出方案層中各方案的成對比較矩陣。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,對 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：發(fā)現(xiàn)全部通過。,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,層次分析法的不足： （1）它只能從現(xiàn)有的方案中選擇出較優(yōu)的一個，并不能提供 出一個新的或是更好的方案來。 （2）該方法中的比較，判斷以及結(jié)果都是比較粗的，并不適 合精確的計算。 （3）建立層次結(jié)構(gòu)及成對比較矩陣，人的主觀因素起很大作 用，這是一個無法克服的缺點(diǎn)。（但我們可以讓多個專家來 做出判斷，或者以問卷調(diào)查方式得出比較陣。）,數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,習(xí)題： 1.試建立一個評價教學(xué)效果的層次分析模型，為教師提高教學(xué) 效果提供一些參考。 2.社會實(shí)踐勤工儉學(xué)有：技術(shù)開發(fā)、群眾服務(wù)、家教和貿(mào)易活 動等內(nèi)容；要考慮的因素有