蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.4直線與圓的位置關(guān)系.pptVIP

能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系/能根據(jù)給定兩個圓 的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系/利用直線和圓的方程解決一些簡單問題/初步 了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想 【命題預(yù)測】 這部分知識是歷年高考的一個熱點，主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān) 系、軌跡問題及與圓有關(guān)的最值問題,第4課時 直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系,【應(yīng)試對策】 1代數(shù)法和幾何法是判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法，在使用這兩種方法時要正確進行選擇如果是直線和圓相切的問題，通?？梢岳脠A心到直線的距離和半徑的關(guān)系進行判斷；但是直線和圓相交的問題通常使用代數(shù)法進行解決，在求出弦長之后再結(jié)合實際圖形來解決，特別是利用相關(guān)的直角三角形可以降低運算量研究直線與圓的位置關(guān)系時，要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系這一知識點，這個過程充分體現(xiàn)并運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學(xué)思想方法運用數(shù)形結(jié)合的思想解題時要注意作圖的準(zhǔn)確性，分類討論時要做到不重、不漏在對含有參數(shù)的直線和圓的方程進行判斷時，還可以通過分析直線與圓是否過定點進行判斷，從而達到簡化運算的目的 .,2判定兩圓位置關(guān)系的難點在于求圓心距及兩圓半徑，一般把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出兩圓圓心，代入兩點之間的距離公式即可得出圓心距，然后比較與兩圓半徑的和與差的大小即可有時候也可以根據(jù)兩圓的實際圖形及圓的弦所具有的性質(zhì)進行判定，但是無論如何最好先把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再進行下一步的分析對于求兩圓的切線問題通常是根據(jù)實際圖形，利用代數(shù)與幾何知識相結(jié)合的方法進行求解判斷兩圓的位置關(guān)系時，應(yīng)先求圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再求兩圓的圓心距，最后比較圓心距和兩圓半徑和、差的絕對值的大小關(guān)系兩圓相交弦所在直線的方程是由兩個圓的方程聯(lián)立組成的方程組確定的，消去二次項后所得的二元一次方程就是兩圓公共弦所在的直線方程,3過圓外一點的切線必有兩條，無論用幾何法還是代數(shù)法，當(dāng)求得的值只有一個時，則另一條的切線斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合法求出確定兩圓的公切線的條數(shù)，首先應(yīng)判斷兩圓的位置關(guān)系，從而防止漏解一般地，當(dāng)兩圓內(nèi)切時有一條公切線，外切時有三條公切線，相交時有兩條公切線，外離時有四條公切線，內(nèi)含時無公切線切點與圓心的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì)在解題中有著廣泛的運用掌握圓心距和兩圓半徑的關(guān)系以及圓的平面幾何性質(zhì)對于解決圓的問題起到很重要的作用涉及與圓的弦有關(guān)的問題時，為簡化運算，常利用半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進行解題,與圓有關(guān)的最值問題 解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路： (1)代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最 值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、 二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識和方法 (2)幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的 位置變化情況，找到最大、最小取值點,【知識拓展】,例如：已知實數(shù)x、y滿足方程x2y22，求 的最大值此題條件方程“x2y22”的幾何意義是點P(x，y)為圓x2y22 上的點，則 就表示過點P(x，y)和點M(2，2)的直線的斜率顯然當(dāng)直線MP與圓x2y22相切時，kMP取最值如果要求xy的最值，令xyb，則yxb，那么b表示斜率為1的直線與圓x2y22相交或相切時直線的縱截距，只要作出圖象即可求出最值,1直線與圓的位置關(guān)系,0,2,2.圓與圓的位置關(guān)系,1(2010栟茶高級中學(xué)學(xué)情分析)不論k為何實數(shù)，直線ykx1與曲線x2 y22axa22a40恒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_ 答案：1a3,2若直線5x12yc0與圓(x1)2(y1)29相切，則c的值為 _ 解析：由題意可得 3，c22或c56. 答案：22或56,3經(jīng)過兩圓x2y22x2y70和x2y24x4y80的兩個交點的直線的方程是_ 解析：兩圓的方程相減得6x6y10，即6x6y10. 此方程表示的曲線過兩個圓的交點因此，6x6y10為所求直線方程 答案：6x6y10,4若兩圓x2y24與x2y22axa210相內(nèi)切，則a_. 解析：圓x2y22axa210可寫成(xa)2y21. 兩圓的半徑分別為2,1，兩圓的圓心距為|a|.兩圓內(nèi)切， |a|21，a 1. 答案：1,5直線 x y2 0截圓x2y24所得劣弧對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 _ 解析：圓心到直線 xy2 0的距離為|OH| ， 由|OA|2，得cosAOH .AOH30，AOB60. 答案：60,直線l：AxByC0(A、B不同時為零)與圓(xa)2(yb)2r2(r0)的位 置關(guān)系的判斷方法有：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線AxByC0的距 離d ， dr直線與圓相離 (2)代數(shù)方法：由 消元，得到的一元二次方程的判別式 為，則0直線與圓相交；0直線與圓相切；0直線與圓相 離,【例1】 已知圓C：(x1)2(y2)225及直線l：(2m1)x(m1)y7m 4(mR) (1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交； (2)求直線l被圓C截得的弦長最短長度及此時的直線方程 思路點撥：問題(1)若按常規(guī)思路只需圓心C(1,2)到直線l的距離恒小于半徑 即可，但注意到直線l的方程寫成xy4m(2xy7)0后，發(fā)現(xiàn)直線l過 直線xy40與直線2xy70的交點(3,1)若該定點在圓內(nèi)部，則問 題(1)得證,(1)證明：由(2m1)x(m1)y7m4(mR)， 得：m(2xy7)(xy4)0， 解 直線l恒過定點(3,1)， (31)2(12)2525，點(3,1)在圓內(nèi)部 不論m為何實數(shù)，直線l與圓恒相交,(2)解：從(1)的結(jié)論知直線l過定點M(3,1)且與此點的圓C的半徑垂直時，l被 圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理知|AB|2 2 4 . 此時 ，從 ，得m ，代入得直線l的 方程為2xy50.,變式1：m為何值時，直線2xym0與圓x2y25滿足以下條件 (1)無公共點；(2)截得的弦長為2；(3)交點處兩條半徑互相垂直 解：(1)由已知，圓心為O(0,0)，半徑r ， 圓心到直線2xym0的距離d ， 直線與圓無公共點，dr，即 ，m5或m5. 故當(dāng)m5或m5時，直線與圓無公共點,(2)如右圖所示，由平面幾何垂徑定理知r2d212， 即5 1.得m2 ，當(dāng)m2 時，直線被圓截 得的弦長為2. (3)如右圖所示，由于交點處兩條半徑互相垂直， 弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形 故當(dāng)m 時，直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直,1判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑的和與差 之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法 2若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x2，y2項即可得到,【例2】 已知圓M：x2y22mx2nym210與圓N：x2y22x2y 20交于A、B兩點，且這兩點平分圓N的圓周，求圓M的圓心的軌跡方 程，并求其中半徑最小時圓M的方程 思路點撥：先由兩圓方程求出直線AB的方程，則由題意知AB過N的圓 心，半徑最小可轉(zhuǎn)化為圓心到AB的距離最小,解：由圓M的方程知圓心M(m，n)又由方程組 得直線AB的方程為2(m1)x2(n1)ym210.又AB平分圓N的圓周， 所以圓N的圓心N(1，1)在直線AB上， 2(m1)(1)2(n1)(1)m210. m22m2n50，即(m1)22(n2)(*) (x1)22(y2)即為點M的軌跡方程.,又由題意可知當(dāng)圓M的半徑最小時，點M到AB的距離最小，此時|MN|也最小 d . 由(*)可知n2，d1.即最小值為1，此時m1，n2.故此時圓M 的方程為(x1)2(y2)25.,變式2：(2010江蘇省海門中學(xué)調(diào)研)當(dāng)且僅當(dāng)mrn時，兩圓x2y249 與x2y26x8y25r20(r0)有公共點，則nm的值為_ 答案：10,1求圓的切線一般有兩種方法，第一種方法是利用圓心到直線的距離等于半徑來求切線，這種方法較常用，第二種方法是利用判別式法 2處理圓的弦長的問題常用弦心距、半弦長、半徑之間的關(guān)系來求，也可以利用公式：弦長 |x1x2|(其中k為弦所在直線的斜率，x1，x2為弦的端點的橫坐標(biāo))來求,【例3】 求與圓C：x2y22x0外切，與直線xy0相切于點(3， ) 的圓的方程 思路點撥：采用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解：圓C可化為(x1)2y21，設(shè)所求圓的圓心為A(a，b)，半徑為r(r 0)， 則點A滿足在過點(3， )且與x y0垂直的直線上， 即y = (x3)，,化簡得r2|a3|，當(dāng)a3時，r2(a3)，代入解得a4，則b0，r2， 所求圓的方程為(x4)2y24，當(dāng)a3時，r2(3a)， 代入解得a0，則b4 ，r6，所求圓的方程為x2(y4 )236， 所以，所求圓的方程為(x4)2y24或x2(y4 )236.,變式3：已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0. (1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？ (3)求m45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長 解：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261 m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為 和 .,(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑 小于兩圓圓心間距離5，故只有 5， 解得m2510 . (3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2y22x6y1)(x2y210x12y 45)0，即4x3y230， 公共弦長為 2 .,1根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求弦長，一般不用判別式，而是用圓心到直線 的距離與半徑大小關(guān)系求解 2要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的直徑必平分 弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”“兩圓相切時，切點與兩圓圓心 三點共線”等等，尋找解題途徑，減少運算量,【規(guī)律方法總結(jié)】,3圓與直線l相切的情形圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點的連線垂 直于l. 4圓與直線l相交的情形圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直 線平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點的直線垂直于弦；過圓內(nèi)一點 的所有弦中，最短的是垂直于過此點的直徑的那條弦，最長的是過這點的 直徑 在解有關(guān)圓的解析幾何題時，主動地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇 的思路，避免冗長的計算,【高考真題】 【例4】 (2009天津卷)若圓x2y24與圓x2y22ay60( a0)的公共弦 的長為2 ，則a_. 分析：求出兩圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長 公式列方程求解,規(guī)范解答：兩個圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y ，則圓心(0,0)到直線的距離d ，根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，可得22 ，又a0，解得a1.故填1. 答案：1,本題給出兩個圓的公共弦長，說明第二個圓也是定圓，通過這樣的設(shè)計考查圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的基本知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，是一道知識考查與能力考查并重的試題這類題目也是對教材題目的適當(dāng)改造，本題設(shè)置了參數(shù)，問題實質(zhì)沒有變化解決這類問題的一個基本方法就是求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式解決,【課本探源】,【全解密】,兩個圓的位置關(guān)系兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，圓心距|O1O2|d，則兩圓外離dr1r2；兩圓外切dr1r2；兩圓相交|r1r2|dr1r2；兩圓內(nèi)切d|r1r2|；兩圓內(nèi)含0d|r1r2|；兩圓是同心圓d0.,【知識鏈接】,當(dāng)兩個圓相交時，這兩個圓的方程消掉二次項后所得到的二元一次方程就是這兩個圓的公共弦所在的直線方程，這在解決兩個圓的相交問題時是一個非常重要的方法這個方法還可以用來解決圓的切點弦所在的直線方程，即從圓C外一點A向圓引兩條切線，切點分別是M、N，求M、N所在直線的方程問題，方法是：根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與圓的性質(zhì)，點A、M、C、N四點在以AC為直徑的圓上，直線MN就是這個圓與已知圓C的公共弦所在的直線，寫出這個圓的方程，和已知圓C的方程聯(lián)立，消掉二次項即得所求的直線方程，這條直線方程就叫做兩圓的切點弦所在的直線方程，簡稱切點弦方程,【方法探究】,本題可以通過直接求解兩圓交點的坐標(biāo)解決，也可以根據(jù)幾何關(guān)系解決用幾何關(guān)系的解法如下：根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，首先得到圓x2y24的圓心到公共弦的距離d1 1，設(shè)圓x2y22ay60(a0)的圓心到公共弦的距離為d2，則d2 ，兩個圓的圓心距等于a，而兩圓的圓心距要么等于d1d2，要么等于|d1d2|，顯然本題中兩個圓的圓心距等于d2d1，即 1a，解得a1. 本題容易忽視限制條件得到a1，或是出現(xiàn)計算上的錯誤等.,【發(fā)散思維】,1判斷圓C1：x2y22x6y260與圓C2：x2y24x2y40的公 切線條數(shù) 分析：兩圓的公切線條數(shù)是由兩圓的位置關(guān)系決定的，所以，解決此類題 目的關(guān)鍵是判斷兩圓的位置關(guān)系,解：將圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x1)2(y3)236，得圓心坐標(biāo)C1(1,3)，半徑r16. 將圓C2化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x2)2(y1)21，得圓心坐標(biāo)C2(2，1)，半徑r21. |C1C2| 5，又|C1C2|r1r2|5，即兩圓內(nèi)切 圓C1與圓C2有一條公切線,2某河上有一座圓拱橋，其跨度為30 m，