2.4波的多解問題（教師）

2.4 波的多解問題1造成波動問題多解的主要因素(1)周期性：時間周期性：時間間隔t與周期T的關系不明確。空間周期性：波傳播距離x與波長的關系不明確。(2)雙向性：傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。振動方向雙向性：質點振動方向不確定。如：a.質點達到最大位移處，則有正向和負向最大位移兩種可能。b質點由平衡位置開始振動，則起振方向有向上、向下(或向左、向右)兩種可能。c只告訴波速不指明波的傳播方向，應考慮沿兩個方向傳播的可能，即沿x軸正方向或沿x軸負方向傳播。d只給出兩時刻的波形，則有多次重復出現的可能。(3)波形的隱含性形成多解：在波動問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個特殊點，而其余信息均處于隱含狀態(tài)。這樣，波形就有多種情況，形成波動問題的多解性。2解決波的多解問題的思路一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內滿足條件的關系t或x，若此關系為時間，則tnTt(n0，1,2)；若此關系為距離，則xnx(n0,1，2)。1.時間的多解問題例1一列簡諧橫波在x軸上傳播，如圖4所示，實線是這列波在t10.1 s時刻的波形，虛線是這列波在t20.2 s時刻的波形，求：圖4(1)如果此波沿x軸正方向傳播，波速的最小值；(2)如果此波沿x軸負方向傳播，波速的可能值答案(1)30 m/s(2)v(80k50) m/s(k0,1,2，3)解析(1)由波形圖知波長8 m波沿x軸正方向傳播時，傳播距離x滿足xk(k0,1,2,3)由v知，當k0時波速取最小值解得最小波速vmin30 m/s(2)波沿x軸負方向傳播時，傳播距離xk(k0,1,2,3)由v得v(80k50) m/s(k0,1,2,3)1.一列簡諧橫波在x軸上傳播，在t10和t20.05 s時刻，其波形圖分別如圖中的實線和虛線所示，求：(1)該波的振幅和波長；(2)若這列波向右傳播，波速是多少？若這列波向左傳播，波速是多少？解析：(1)由圖可知：A2 cm，8 m(2)若波向右傳播，則x1n28n(n0,1,2，)v140160n(n0,1,2，)若波向左傳播，則 x2n68n(n0,1,2，)v2120160n(n0,1,2，)答案：(1)2 cm8 m(2)40160n(n0,1,2，)，120160n(n0,1,2，)2如圖所示，實線是某時刻的波形圖，虛線是0.2 s后的波形圖(1)若波向左傳播，求它的可能周期和最大周期；(2)若波向右傳播，求它的可能傳播速度；(3)若波速是45 m/s，求波的傳播方向答案(1) s(n0,1,2，)0.27 s(2)5(4n1) m/s(n0,1,2，)(3)向右解析(1)波向左傳播，傳播的時間為tTnT(n0,1,2，)，所以T4 s s(n0,1,2，)，最大周期為Tmax s0.27 s.(2)波向右傳播，tnT(n0,1,2，)所以T s(n0,1,2，)，而4 m所以v5(4n1) m/s(n0,1,2，)（3）波速是45 m/s，設波向右傳播，由上問求得的向右傳播的波速公式得：45 m/s5(4n1) m/s，解得n2.故假設成立，因此波向右傳播例2如圖5所示，圖中的實線是一列簡諧橫波在t0時刻的波形圖，虛線對應的是t0.5 s時的波形圖求：圖5(1)如果波沿x軸負方向傳播，且周期T0.5 s，則波的速度多大？(2)如果波沿x軸正方向傳播，且周期T滿足0.3 sT0.5 s，則波的速度又是多少？答案(1)0.12 m/s(2)0.84 m/s解析(1)如果波沿x軸負方向傳播，且周期T0.5 s，則波向左傳播的距離x24 cm6 cm波速v0.12 m/s(2)如果波是沿x軸正方向傳播的，且周期T滿足0.3 sT0.5 s，則波向右傳播了1個波長多，所以波傳播的距離為x24 cm42 cm波速v0.84 m/s.1.如圖所示實線是一列簡諧橫波在t10時刻的波形，虛線是這列波在t20.5 s時刻的波形，這列波的周期T符合：3Tt2t14T，問：(1)若波速向右，波速多大？(2)若波速向左，波速多大？(3)若波速大小為74 m/s，波速方向如何？解析(1)波向右傳播時，傳播距離x滿足xk(k0,1,2,3)由t知傳播時間滿足tkTT(k0,1,2,3)由于3Tt2t14T因此k取3故t3TT由波形圖知8 m波速v解得v54 m/s(2)波向左傳播時，傳播距離x滿足xk(k0,1,2,3，)傳播時間滿足tkTT(k0,1,2,3)由3Tt2t14T可知k取3故t3TT波速v解得v58 m/s(3)波速大小為74 m/s時，波在t時間內傳播的距離為xvt740.5 m37 m(45) m所以波向左傳播答案(1)54 m/s(2)58 m/s(3)波向左傳播2.(2019綿陽三診)如圖所示，一簡諧橫波在t0時的波形是圖中實線，在t10.2 s時的波形是圖中虛線，P為介質中x4 m處的質點，則()A該波一定沿x軸正方向傳播B該波的傳播速度可能為5 m/sC從t0開始，質點P經過0.2 s沿x軸正方向運動1 mDt0.4 s時，質點P的位置y4 cm解析當波向左傳播時，傳播的距離xn4n3,0.2nTT，波速v20n15(m/s)，T，n0、1、2、3當波向右傳播時，傳播的距離xn4n1,0.2nTT，波速v20n5(m/s)，T，n0、1、2、3由于波傳播方向的不定性，所以據波形圖與時間無法判斷該波的傳播方向，故A錯誤。據以上分析可知，當波向右傳播時，該波的波速可能為5 m/s，故B正確。據波傳播特點可知，各質點并不隨波遷移，而是在平衡位置附近做簡諧運動，故C錯誤。根據波的圖像和以上分析可知，t0.4 s時，質點P的位置不可能y4 cm，故D錯誤。答案B2. 空間的多解問題例3如圖所示是一列簡諧橫波上A、B兩點的振動圖像，A、B兩點相距8 m。求：(1)這列波可能的波長；(2)這列波可能的波速。解析：若波由A傳向B時，由圖有：xABn8 m (n0,1,2,3，)解得： m (n0,1,2,3，)此時的波速v m/s(n0,1,2,3，)當波由B向A傳播時有：n8 m(n0,1,2,3，)得波長 m (n0,1,2,3，)此時的波速v m/s (n0,1,2,3，)答案：(1) m(n0,1,2,3，)或者 m(n0,1,2,3，)(2)v m/s(n0,1,2,3，)或者波速v m/s(n0,1,2,3，)1.一列橫波在x軸上傳播，a、b是x軸上相距sab6 m的兩質點，t0時，b點正好到達最高點，且b點到x軸的距離為4 cm，而此時a點恰好經過平衡位置向上運動。已知這列波的頻率為25 Hz。(1)求經過時間1 s，a質點運動的路程；(2)質點a、b在x軸上的距離大于一個波長，求該波的波速。解析：(1)質點a一個周期運動的路程s04A0.16 m1 s內的周期數是n251 s內a質點運動的路程sns04 m(2)波由a傳向b，sab(n)vf m/s(n1,2,3)波由b傳向a，sab(n)vf m/s(n1,2,3)答案：(1)4 m(2)見解析2.一列橫波在x軸上傳播，a、b是x軸上相距xab8m的兩質點，t0時，b正好到達正方向最大位移處，且b到x軸的距離為8 cm，而此時a恰好經過平衡位置向上運動。已知這列波的頻率為25 Hz。(1)求經過時間1 s，a運動的路程；(2)若a、b在x軸上的距離大于一個波長，求該波的波速。解析：(1)a在一個周期內運動的路程s04A0.32 m1 s內的周期數是n251 s內運動的路程sns08 m。(2)由題意可知，若波由a傳向b，xab(n1,2,3，)vfm/s(n1,2,3，)若波由b傳向a，xab(n1,2,3，)vf m/s(n1,2,3，)。答案：(1)8 m(2)見解析3.一簡諧橫波在均勻介質中沿水平方向直線傳播，A、B為介質中的兩個質點，其振動圖像分別如圖9甲和乙所示，AB間的水平距離x2 m，求：圖9(1)該簡諧橫波傳播速度的可能值；(2)若改變波源的振動頻率，使A、B兩質點的振動同步，求頻率的可能值答案(1)vm/s(n0,1,2，)(2)f Hz(n0,1,2，m1,2,3，)解析(1)由圖像可知，該簡諧波的周期T4 sx(2n1)(n0,1,2，)設傳播速度為v，則有v解得該簡諧橫波傳播速度的可能值v m/s(n0,1,2，)(2)設波源振動頻率為f，則有xm(m1,2,3，)vf解得頻率的可能值f Hz(n0,1,2，m1,2,3，)4.(多選)(2019天津7)一列簡諧橫波沿直線傳播，該直線上平衡位置相距9 m的a、b兩質點的振動圖象如圖7所示，下列描述該波的圖象可能正確的是()圖7答案AC解析由振動圖象可知，在t0時，質點a處在波峰位置，質點b處在平衡位置且向下運動若簡諧橫波沿直線由a向b傳播，有n9 m，解得波長的表達式： m(n0,1,2,3,4，)，其波長可能值為12 m，5.14 m，選項C正確；若簡諧橫波沿直線由b向a傳播，有n9 m，解得波長的表達式： m(n0,1,2,3,4，)，其波長可能值為36 m,7.2 m,4 m，選項A正確課后鞏固題組一 時間的多解問題1一列簡諧橫波在t0時刻的波形如圖5中的實線所示，t0.02 s 時刻的波形如圖中虛線所示若該波的周期T大于0.02 s，則該波的傳播速度可能是()圖5A2 m/s B3 m/sC4 m/s D5 m/s答案B解析因tT，故：若波向右傳播，則波傳播的距離x10.02 m，則波速v1 m/s1 m/s；若波向左傳播，則波傳播的距離x20.06 m，則波速v2 m/s3 m/s，故正確選項為B.2(多選)(2019衡水冀州中學模擬)如圖所示，實線和虛線分別為一列沿x軸傳播的簡諧橫波在t10、t20.02 s兩個時刻的波形圖像，已知t2t1(T為該波的周期)，下列說法正確的是()A波沿著x軸負方向傳播B波的傳播速度是100 m/sC在t2t10.02 s時間內，x24 m的質點運動的路程為5 cmD在t0.4 s時刻，x4 m的質點的速度最大E在t1.6 s時刻，x64 m的質點加速度為零解析：選BCE由題圖知波長為16 m，由t2t10.04 s，由波形平移的距離易知，波沿x軸正方向傳播，故A錯誤；由題意知0.02 sT，所以T0.16 s，波速v m/s100 m/s，故B正確；T0.16 s，0.02 sT，則x24 m的質點運動的路程為sA5 cm，故C正確；t0.4 s2.5T，x4 m的質點在波谷，速度為零，D錯誤；t1.6 s10T，x64 m的質點在平衡位置，質點加速度為零，E正確。3.一列橫波在x軸上傳播，t10和t20.005 s時的波形如圖2中的實線和虛線所示圖2(1)設周期大于(t2t1)，求波速；(2)設周期小于(t2t1)，并且波速為6 000 m/s.求波的傳播方向解析當波傳播時間小于周期時，波沿傳播方向前進的距離小于一個波長；當波傳播的時間大于周期時，波沿傳播方向前進的距離大于波長這時從波形的變化上看出的傳播距離加上n個波長才是波實際傳播的距離(1)因tt2t1T，所以波傳播的距離可以直接由圖讀出若波向右傳播，則在0.005 s內傳播了2 m，故波速為v400 m/s.若波向左傳播，則在0.005 s內傳播了6 m，故波速為v1 200 m/s.(2)因tt2t1T，所以波傳播的距離大于一個波長，在0.005 s內傳播的距離為xvt6 0000.005 m30 m，3，即x3.因此，可得波的傳播方向沿x軸負方向答案(1)波向右傳播時v400 m/s波向左傳播時，v1 200 m/s(2)x軸負方向4一列簡諧橫波t1時刻的波形如圖中實線所示，t2時刻的波形如圖中虛線所示，已知tt2t10.5 s問：(1)這列波的傳播速度是多少？(2)若波向左傳播，且3Tt4T，波速是多大？(3)若波速等于68 m/s，則波向哪個方向傳播？解析(1)有兩組解：若波向右傳播，傳播距離s，又有v右 m/s(16n4) m/s(n0,1,2，)；若波向左傳播，傳播距離s，又有v左 m/s(16n12) m/s(n0,1,2，)(2)因波向左傳播，且3Tt4T，則必有3s4，故n3，v左(16n12) m/s60 m/s.(3)因波速v68 m/s，所以svt680.5 m34 m，故波向右傳播答案(1)若波向右傳播，v右(16n4) m/s(n0,1,2，)；若波向左傳播，v左(16n12) m/s(n0,1,2，)(2)60 m/s(3)向右歸納總結造成波動問題多解的主要因素(1)周期性時間周期性：時間間隔t與周期T的關系不明確空間周期性：波傳播距離x與波長的關系不明確(2)雙向性傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定振動方向雙向性：質點振動方向不確定5(2019哈爾濱第三中學模擬)一列橫波在x軸上傳播，在t10時刻波形如圖中實線所示，t20.05 s時刻，波形如圖中虛線所示。若周期大于(t1t2)，則最小波速和最大波速分別是多少？傳播方向如何？解析：由題圖可知，8 m。當波沿x軸正方向傳播時，有tnT，且n0或1，當波沿x軸負方向傳播時，有tnT，且n0或1，由波速公式v可知，當速度最小時，周期最大，當速度最大時，周期最小。分析上面兩類情況可知當周期最大時，波沿x軸正方向傳播，且在tnT中取n0，即t，則T大0.2 s，最小速度v小40 m/s，方向為沿x軸正方向。當v最大時，波沿x軸負方向傳播，且在tnT中取n1，即tT，則T小 s，最大速度v大280 m/s，方向為沿x軸負方向。答案：最小波速40 m/s，方向為沿x軸正方向；最大波速280 m/s，方向為沿x軸負方向題組二 空間的多解問題1一列簡諧橫波沿直線由A向B傳播，A、B相距0.45 m，如圖5所示是A處質點的振動圖像當A處質點運動到波峰位置時，B處質點剛好到達平衡位置且向y軸正方向運動，這列波的波速可能是()圖5A4.5 m/s B3 m/s C1.5 m/s D0.7 m/s解析從圖中可知周期為0.4 s由題可知質點A、B間最簡單波形如圖所示，A、B間距和波長的關系為x(n)，再由公式v得v(n0,1,2，)，代入數據可知波速v可為4.5 m/s，選項A正確答案A2(多選)一列波長大于3 m的橫波沿著x軸正方向傳播，處在x11.5 m和x24.5 m的兩質點A、B的振動圖像如圖所示由此可知()A1 s末A、B兩質點的位移相同B2 s末A點的振動速度大于B點振動速度C波長為4 mD波速為1 m/s答案BCD解析從A、B兩點的振動圖像可以看出，1 s末質點A的位移為2 cm，質點B的位移為0，選項A錯誤；2 s末A點處于平衡位置，速度最大，B點處于負向最大位移處，速度為零，選項B正確；從A、B兩點的振動圖像可以看出，A、B兩點間的距離為(n)個波長(n0,1,2，)，結合題給條件可得：(n)x2x1，代入數據解得波長為： m(n0,1,2，)，由題意知波長大于3 m，則n0，波長為：4 m，選項C正確；從振動圖像可以看出周期為：T4 s，則波速為：v1 m/s，選項D正確3一列橫波在t0時刻的波形如圖中實線所示，在t1 s時的波形如圖中虛線所示由此可以判定此波的()A波長一定是4 cmB周期一定是4 sC波長一定是2 cmD傳播速度一定是1 cm/s答案A解析直接從題圖上讀出波長是4 cm，故A選項正確，C選項錯誤；1 s時間與周期的關系是nTT1 s(n0,1,2,3，)，是不確定解，因此B選項錯同理，傳播速度v也不確定，D選項也錯4.一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，已知x軸上相距d3.6 m的兩個質點M、N的振動圖像分別如圖甲和乙所示，已知質點M比N質點先起振，則該波()A波長可能為4.8 mB頻率可能為0.2 HzC傳播速度可能為3.6 m/sD質點M在波谷時，質點N在波峰解析據題質點M比N質點先起振，波從M傳到N.由振動圖像可知t0時刻M點位于波峰時，N通過平衡位置向下，則有：d(n)，(n0,1,2)，波長為 m m，當n0時，4.8 m，故A正確；由圖讀出周期T4 s，則頻率為f0.25 Hz，故B錯誤；波速為vf m/s，因為n是整數，v不可能為3.6 m/s，故C錯誤；由上面分析知，d(n)，則質點M在波谷時，N通過平衡位置，故D錯誤答案A5如圖所示，一列簡諧波沿一直線向左傳播，當直線上某質點a向上運動到達最大位移時，a點右方相距0.15 m的b點剛好向下運動到最大位移處，則這列波的波長可能是() A0.6 m B0.3 mC0.2 m D0.1 m