對坐標(biāo)的曲面積分(5).pptVIP

第五節(jié),一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,對坐標(biāo)的曲面積分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分類,雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面,莫比烏斯帶,(單側(cè)曲面的典型),雙側(cè)（封閉)曲面 曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面的方向,雙側(cè)曲面有兩個側(cè)面， 任意規(guī)定一個側(cè)面為正側(cè)， 另一個側(cè)面便是負(fù)側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),曲面分上側(cè)和下側(cè),為封閉曲面:一般外側(cè)為正側(cè),內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè). 為非封閉曲面:由曲面上法向量的方向來確定正負(fù)側(cè). 這種取定了法向量也就確定了側(cè)的曲面叫有向曲面,有向曲面其方向用法向量指向表示 :,方向余弦, 0 為前側(cè) 0 為后側(cè),封閉曲面, 0 為右側(cè) 0 為左側(cè), 0 為上側(cè) 0 為下側(cè),外側(cè) 內(nèi)側(cè), 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定,其面元,在 xoy 面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),1. 引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為,求單位時間流過有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面積為A的平面,則流量,法向量:,流速為常向量:,對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的,速度場,分析可得, 則,被積函數(shù),定向積分曲面,類似可定義,以上三個曲面積分均稱為第二類（對坐標(biāo)）曲面積分.,（1）存在條件:,（2）組合形式:,（3）物理意義:,注：,若記 正側(cè)的單位法向量為,令,（4）向量形式：,（5）封閉曲面：,3、對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì),對第二類 曲面積分, 必須注意 曲面所取的側(cè),三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法,化成的投影區(qū)域上的二重積分,如何投影？,對坐標(biāo)的曲面積分的計算法,注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,一投影,二代入,三定號,一投影,二代入,三定號,一投影,二代入,三定號,解,例1,例2. 計算,其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長為 a 的正立方,體的整個表面的外側(cè).,解:,利用輪換對稱性.,原式, 的頂部,取上側(cè), 的底部,取下側(cè),例3,解:,注:如果積分曲面是由幾片有向光滑曲面組成的,必須分片計算積分,然后把結(jié)果相加.,四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,因?yàn)閷γ娣e的曲面積分為,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,向量形式,合一投影法,將三種類型的積分轉(zhuǎn)化為同一個坐標(biāo)面上的二重積分.,例1 設(shè),是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計算,解:,例2. 計算曲面積分,其中,解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè)., 原式 =,原式,內(nèi)容小結(jié),定義:,1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系,性質(zhì):,聯(lián)系:,思考:,的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?,兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與,2. 常用計算公式及方法,面積分,第一類 (對面積),第二類 (對坐標(biāo)),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時分片積分),(2) 積分元素投影,第一類： 面積投影,第二類： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.,轉(zhuǎn)化,當(dāng),時，,（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)