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對面積的曲面積分,一、對面積的曲面積分的概念和性質(zhì),前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分，對第一類曲線積分,其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量，在此質(zhì)量問題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小段曲線的弧長改為小塊曲面的面積，相應(yīng)地得和式,抽象概括得到對面積的曲面積分的概念,實例,所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.,1.定義,其物理背景是面密度為 f ( x , y , z ) 的曲面塊的質(zhì)量,2.對面積的曲面積分的性質(zhì),由上述定義可知 其性質(zhì)與對弧長的曲線積分的性質(zhì)完全類似,）線性性,）可加性,）存在性,二、對面積的曲線積分的計算法,按照曲面的不同情況分為以下三種：,則,則,則,這就是把對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式,簡述為：一代、二換、三投影,代：將曲面的方程代入被積函數(shù),換：換面積元,投影：將曲面投影到坐標面得投影區(qū)域,注：,（1）這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)，否則 可利用可加性，分塊計算，結(jié)果相加,（2）把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程 即方程的表達形式,（3）將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是 把被積函數(shù)化為二元函數(shù),（4）切記任何時候都要換面積元,例1,解,例2 計算,與平面 z = 1 所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面,解,在 xoy 內(nèi)的投影區(qū)域,o,x,y,z,例3 計算,z = 0 與 z = H 之間的圓柱面,解,由對稱性 有,例4,解,依對稱性知：,注,對面積的曲面積分有類似與三重積分的對稱性,對稱于xoy （或yoz ，或 zox ）坐標面,若 f（x , y , z ) 關(guān)于z（或 x ，或 y ）是奇函數(shù),若 f（x , y , z ) 關(guān)于z（或 x ，或 y ）是偶函數(shù),完全類似于三重積分的對稱性,例5 計算,解,例6,解,（左右兩片投影相同）,例7,解,例8 求均勻曲面,的重心坐標,解,由對稱性,故 重心坐標為,例9,解,例10 計算,解,由奇偶對稱性,上半球面,下半球面,另解,由曲面形心公式,注,對面積的曲面積分的應(yīng)用,面積,質(zhì)量,重心,轉(zhuǎn)動慣量,三、小結(jié),1、 對面積的曲面積分的概念;,2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.,（按照曲面的不同情況分為三種）,思考題,在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中, 有因子 , 試說明這個因子的

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