2020版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教B版選修.docx

2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo).3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題知識點(diǎn)一拋物線的定義1平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)為M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于11)知識點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于拋物線焦點(diǎn)位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)現(xiàn)將這四種拋物線對應(yīng)的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線()2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離()3拋物線的方程都是二次函數(shù)()4拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定()題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；(2)焦點(diǎn)為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解(1)因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p(3)，解得p；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p(1)，解得p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y.(2)對于直線方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，3)時(shí)，3，所以p6，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，4，所以p8，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.反思感悟用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟注意：當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2mx(m0)或x2ny(n0)，這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù)跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解(1)易知拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且，則p，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)方程為x22my(m0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y.題型二拋物線定義的應(yīng)用命題角度1利用拋物線定義求軌跡(方程)例2已知?jiǎng)訄AM與直線y2相切，且與定圓C：x2(y3)21外切，求動圓圓心M的軌跡方程考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，3)的距離與到直線y3的距離相等由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C(0，3)為焦點(diǎn)，以y3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x212y.反思感悟解決軌跡為拋物線問題的方法拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解后者的關(guān)鍵是找到滿足動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離且定點(diǎn)不在定直線上的條件，有時(shí)需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件跟蹤訓(xùn)練2已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)，且與直線l：x3相切，求動圓圓心M的軌跡方程考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，M與直線l：x3的切點(diǎn)為N，則|MA|MN|，即動點(diǎn)M到定點(diǎn)A(3,0)和定直線l：x3的距離相等，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點(diǎn)，以直線l：x3為準(zhǔn)線，3，p6，故動圓圓心M的軌跡方程是y212x.命題角度2利用拋物線定義求最值例3如圖，已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)求拋物線的最值問題題點(diǎn)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值解將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d.由圖可知，當(dāng)PAl時(shí)，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2.點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)引申探究若將本例中的點(diǎn)A(3,2)改為點(diǎn)(0,2)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值解由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離由圖可知，P點(diǎn)，A點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以最小距離d.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3已知P是拋物線y24x上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A.B.C2D.1考點(diǎn)求拋物線的最值問題題點(diǎn)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值答案D解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為，所以d|PF|1的最小值為1.拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題典例河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開始不能通航？考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開始不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航素養(yǎng)評析首先確定與實(shí)際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題，操作步驟為：(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)計(jì)算：通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求解：求出需要求出的量(5)還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題1拋物線y2x的準(zhǔn)線方程為()AxBxCyDy答案B解析拋物線y2x的開口向右，且p，所以準(zhǔn)線方程為x.2已知拋物線y2px2過點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B.C.D(0,1)考點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程題點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)答案C解析由拋物線y2px2過點(diǎn)(1,4)，可得p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選C.3已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A4B2C4或4D12或2答案C解析由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故24，p4，x28y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x28y，得m4.4若拋物線y22px(p0)上的動點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p_.答案2解析因?yàn)閽佄锞€上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為動點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以拋物線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即1，p2.5若拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)，則p_.答案2解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程是x，因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)F1(，0)，所以，解得p2.1焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2mx(m0)，此時(shí)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2my(m0)，此時(shí)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為y.2設(shè)M是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑若M(x0，y0)在拋物線y22px(p0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|x0.一、選擇題1關(guān)于拋物線x4y2，下列描述正確的是()A開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)B開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為C開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)D開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為答案D解析由x4y2得y2x，開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，由題設(shè)知1，即p2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.3已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A.B1C2D4答案C解析拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，它與圓相切，所以必有34，p2.4若動點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,1)和直線l：3xy40的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線D直線答案D解析方法一設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)則.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以動點(diǎn)P的軌跡為直線方法二顯然定點(diǎn)F(1,1)在直線l：3xy40上，則與定點(diǎn)F和直線l距離相等的動點(diǎn)P的軌跡是過F點(diǎn)且與直線l垂直的一條直線5若點(diǎn)P在拋物線y2x上，點(diǎn)Q在圓(x3)2y21上，則|PQ|的最小值是()A.1B.1C2D.1答案D解析設(shè)圓(x3)2y21的圓心為O(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PO|的最小值設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(y，y0)，則|PO|，|PO|的最小值為，從而|PQ|的最小值為1.6拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.B.C.D0答案B解析拋物線方程化為x2y，準(zhǔn)線為y，由于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，所以M到準(zhǔn)線的距離也為1，所以M點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于1.7已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A.B.C.D25答案A解析拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y(x2)由得B點(diǎn)的坐標(biāo)為.|AB|AF|BF|282.AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.8已知點(diǎn)P是拋物線x24y上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|PQ|的最小值為()A7B8C9D10考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義與其它知識結(jié)合的應(yīng)用答案C解析拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，則|PA|PQ|的最小值為9.二、填空題9已知拋物線y22x上一點(diǎn)P(m,2)，則m_，點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為_答案2解析將(m,2)代入拋物線中得42m，得m2，由拋物線的定義可知點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為2.10設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_答案解析如圖所示，由已知，得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)為，即B.將其代入y22px，得12p，解得p，故點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為p.11設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|_.答案8解析如圖所示，直線AF的方程為y(x2)，與準(zhǔn)線方程x2聯(lián)立得A(2,4)設(shè)P(x,4)，代入拋物線方程y28x，得8x48，x6，|PF|x28.三、解答題12已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值，拋物線方程和準(zhǔn)線方程解設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)為F.M(m，3)在拋物線上，且|MF|5，解得m2，拋物線方程為x28y，準(zhǔn)線方程為y2.13平面上動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動點(diǎn)P的軌跡方