無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計(jì).ppt

第三章 無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR） 濾波器設(shè)計(jì),概述: 許多信息處理過程，如信號(hào)的過濾，檢測(cè)、預(yù)測(cè)等都要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。 數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號(hào)處理硬件和計(jì)算機(jī)軟件。 數(shù)字濾波器線性時(shí)不變系統(tǒng)。,數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)描述： 1)差分方程,2)系統(tǒng)函數(shù),分類: 遞歸系統(tǒng) IIR 非遞歸系統(tǒng) FIR 高通 低通 帶通 帶阻,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟： 1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。 2）用一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 H(z) 或 h(n) 去逼近這個(gè)性能要求，即求 h(n) 的表達(dá)式 確定系數(shù) 、 或零極點(diǎn) 、 ，以使濾波器滿足給定的性能要求第三章、四章討論 3）用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。 包括 選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)：如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻率 采樣型以及快速卷積（FFT）型等; 選擇合適的字長(zhǎng)和有效數(shù)字的處理方法等(第五章)。,設(shè)計(jì)方法： 1）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟模擬濾波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來方便、準(zhǔn)確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。,2）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法 分兩步： a) 確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，如最小均方誤差準(zhǔn)則，即使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性 （與所要求的理想頻率響應(yīng) 的均方誤差最小， 此外還有其他多種誤差最小準(zhǔn)則， b) 在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù) 和 通過不斷地迭代運(yùn)算，改變 、 ，直到 滿足要求為止。,以上兩種設(shè)計(jì)方法中，著重講第一種，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸增多。,3.1 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器,利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字渡波器傳遞函數(shù)H（z），這歸根到底是一個(gè)由S平面到Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則： 1）H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓上。 2）Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（z）后保持不變，即S平面的左半平面 ReS0 應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|1。,下面討論兩種常用的映射變換方法： 一、脈沖響應(yīng)不變法 利用模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。 脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期。 如以 Ha(s) 及 H（z）分別表示 ha(t) 的拉氏變換及 h(n) 的 Z 變換，即 Ha(s)=Lha(t) , H(z)=Zh(n),計(jì)算 H(Z) : 脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)傳遞函數(shù)，模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù) NM，則可表達(dá)為部分分式形式； 其拉氏反變換為： 單位階躍 對(duì)ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列,再對(duì)h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和，要收斂的話， 必有 所以有,比較看到： S平面上的極點(diǎn) S=Si 變換到Z平面上是極點(diǎn) ,而Ha(s)與H(Z)中部分分式所對(duì)應(yīng)的系數(shù)不變，但要注意，這種Ha(s)到H(Z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達(dá)為部分分式形式才成立。 穩(wěn)定性： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn) Si 都在S左半平 面，即 Resi0 , 那么變換后H(Z)的極點(diǎn) 也都在單 位圓以內(nèi)，即 ,因此數(shù)字濾波 器保持穩(wěn)定。,根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系。 理想采樣 的拉氏變換 與模擬信號(hào) 的拉氏變換 之間的關(guān)系。 理想采樣 的拉氏變換 與采樣序列 的 Z 變換 之間存在的 S 平面與Z平面的映射關(guān)系.,s平面與z平面的映射關(guān)系,以上表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是以前所討論的拉氏變換到Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì) Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 Z 平面上。,映射關(guān)系 ： S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個(gè)平面上: 每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周。,因?yàn)閑以2拍為周期,S 平面,Z 平面,應(yīng)指出，Z=esT的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延拓與 H（Z）的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H（Z）的關(guān)系，因此，使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從Ha(s)到H(z)并沒有一個(gè)由S平面到Z平面的一一對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個(gè)S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。 混迭： 由式，還可看到，數(shù)字濾波器的頻響并不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓： 周期為,正如第一章的采樣定律中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率S/2 以內(nèi)， 即,這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率S/2以內(nèi)） 但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。,脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混淆,雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證S平面與Z平面的極點(diǎn)位置有一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但這并不是說整個(gè)S平面與Z平面就存在這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置與S平面上的零點(diǎn)沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是隨著Ha(s)的極點(diǎn) Si 與系數(shù) Ai 的不同而不同。,例,將一個(gè)具有如下傳遞出數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。 解：,模擬濾波器的頻率響應(yīng)為: 示于P77圖a,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為: 顯然 與采樣間隔T有關(guān),如P77圖b, T越小,衰減越大,混疊越小,當(dāng) fs=24Hz ,混疊可忽略不計(jì),為什么混迭呢?,小結(jié), 1)脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，與是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。,3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。 4)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如