線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應沖激響應和階躍響應卷積積分.ppt

線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應 沖激響應和階躍響應 卷積積分,第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析,2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應,2.1.1 系統(tǒng)的描述 描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學模型的基本依據(jù)有如下兩方面。 1. 元件約束VAR 在電流、電壓取關聯(lián)參考方向條件下： (1)電阻R，uR(t)=RiR(t)；,(2)電感L， (3)電容C， (4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關系等。,2. 結構約束KCL與KVL 下面舉例說明。 例21 圖2.1所示電路，輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應變量的方程式。,對上式求導，考慮到,根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t),整理上式后，可得,從上面例子可得到兩點結論： (1)解得的數(shù)學模型，即求得的微分方程的階數(shù)與動態(tài)電路的階數(shù)(即獨立動態(tài)元件的個數(shù))是一致的。 (2)輸出響應無論是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，還是其它別的變量，它們的齊次方程都相同。 這表明，同一系統(tǒng)當它的元件參數(shù)確定不變時，它的自由頻率是唯一的。,2.1.2 微分方程的經典解 我們將上面兩個例子推廣到一般，如果單輸入、單輸出線性非時變的激勵為f(t)，其全響應為y(t)，則描述線性非時變系統(tǒng)的激勵f(t)與響應y(t)之間關系的是n階常系數(shù)線性微分方程，它可寫為 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) 式中an-1，a1，a0和bm， bm-1，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用yh(t)表示。非齊次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t),1.齊次解 齊次解滿足齊次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等數(shù)學經典理論知，該齊次微分方程的特征方程為 n+a n-1n-1+a1+a0=0,(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解 (2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其余(n-)個根+1，+2，n都是單根，則微分方程的齊次解,(3)特征根有一對單復根。即1, 2=ajb，則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4)特征根有一對m重復根。即共有m重1,2=ajb的復根，則微分方程的齊次解,2.特解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。下表列出了幾種類型的激勵函數(shù)f(t)及其所對應的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。,激勵函數(shù)及所對應的解,3.完全解 根據(jù)上節(jié)所講，完全解是齊次解與特解之和，如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為,當特征根中1為重根，而其余(n-)個根均為單根時，方程的全解為,如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為上式，將給定的初始條件分別代入到式上及其各階導數(shù)，可得方程組 y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-1 1c1+ n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0),2.1.3 零輸入響應和零狀態(tài)響應 線性非時變系統(tǒng)的完全響應也可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)所引起的響應，用yx(t)表示；零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時，僅由輸入信號所引起的響應，用yf(t)表示。這樣，線性非時變系統(tǒng)的全響應將是零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t),在零輸入條件下，式(27)等式右端均為零，化為齊次方程。若其特征根全為單根，則其零輸入響應 式中cxi為待定常數(shù)。 若系統(tǒng)的初始儲能為零，亦即初始狀態(tài)為零，這時式(27)仍為非齊次方程。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應,式中cfi為待定常數(shù)。 系統(tǒng)的完全響應即可分解為自由響應和強迫響應，也可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應，它們的關系為：,式中,在電路分析中，為確定初始條件，常常利用系統(tǒng)內部儲能的連續(xù)性，即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性。這就是動態(tài)電路中的換路定理。若換路發(fā)生在t=t0時刻，有,2.2 沖激響應和階躍響應,2.2.1 沖激響應 一線性非時變系統(tǒng)，當其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位沖激信號(t)所引起的響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用h(t)表示。亦即，沖激響應是激勵為單位沖激信號(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。其示意圖如下圖所示。,沖激響應示意圖,1.沖激平衡法 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應的動態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應h(t)。 例： 已知某線性非時變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為,試求系統(tǒng)的沖激響應h(t)。,解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應h(t)的定義，當f(t)=(t)時，即為h(t)，即原動態(tài)方程式為 由于動態(tài)方程式右側存在沖激信號(t)，為了保持動態(tài)方程式的左右平衡，等式左側也必須含有(t)。這樣沖激響應h(t)必為Aetu(t)的形式?？紤]到該動態(tài)方程的特征方程為,特征根1=-3，因此可設h(t)=Ae-3tu(t)，式中A為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有,即,解得A=2，因此，系統(tǒng)的沖激響應為,求導后，對含有(t)的項利用沖激信號(t)的取 樣特性進行化簡，即,2.等效初始條件法 系統(tǒng)沖激響應h(t)的求解還有另一種方法，稱為等效初始條件法。沖激響應h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，受單位沖激信號(t)激勵所產生的響應，它屬于零狀態(tài)響應。 例： 已知某線性非時變(LTI)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應h(t)。 解 沖激響應h(t)滿足動態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0,由于動態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設 h(t)=A(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 將h(t)與h(t)分別代入原動態(tài)方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2，B=-6,3.其它方法 系統(tǒng)的沖激響應h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內部結構和元件參數(shù)有關，而與系統(tǒng)的外部激勵無關。但系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以由沖激信號(t)作用于系統(tǒng)而求得。在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應h(t)的過程中，都是已知系統(tǒng)的動態(tài)方程。,2.2.2 階躍響應 一線性非時變系統(tǒng)，當其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，用g(t)表示。階躍響應是激勵為單位階躍函數(shù)u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，如圖2.17所示。,階躍響應示意圖,如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) ， 將f(t)=u(t)代入，可求得其特解 上的特征根i(i=1，2，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應的一般形式(nm)為,2.3 卷積積分,2.3.1 信號分解為沖激信號序列 在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?，從而將復雜問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例。,信號分解為沖激序列,從上圖可見，將任意信號f(t)分解成許多小矩形，間隔為，各矩形的高度就是信號f(t)在該點的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)積分原理，當很小時，可以用這些小矩形的頂端構成階梯信號來近似表示信號f(t)；而當0時，可以用這些小矩形來精確表達信號f(t)。即,上式只是近似表示信號f(t),且越小，其誤差越小。當0時，可以用上式精確地表示信號f(t)。由于當0時，k，d，且,故式在0時，有,2.3.2 卷積積分法求解零狀態(tài)響應 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)時，將任意信號f(t)都分解為沖激信號序列，然后充分利用線性非時變系統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)在任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應yf(t)。 由上式可得,上式表明,任意信號f(t)可以分解為無限多個沖激序列的疊加。不同的信號f(t)只是沖激信號(t-k)前的系數(shù)f(k)不同(系數(shù)亦即是該沖激信號的強度)。這樣，任一信號f(t)作用于系統(tǒng)產生的響應yf(t)可由諸(t-k)產生的響應疊加而成。對于線性非時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，則有下列關系式成立。,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為輸入激勵f(t)與系統(tǒng)的沖激響應h(t)的卷積積分，為,2.3.3卷積積分的性質 1.卷積積分的代數(shù)性質 卷積積分是一種線性運算，它具有以下基本特征。 1)交換律,由上式說明兩信號的卷積積分與次序無關。即系統(tǒng)輸入信號f(t)與系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以互相調換，其零狀態(tài)響應不變。,系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律,2) 分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 上式的實際意義如下圖所示，表明兩個信號f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。,卷積分配律示意圖,3)結合律 設有u(t)，v(t)，w(t)三函數(shù)，則有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) 由于,此時積分變量為,此時積分變量為，而從上式來看，對變量而言，無異于一常數(shù)。可引入新積分變量x=+，則有=x-,d=dx。將這些關系代入上式右邊括號內，則有,交換積分次序，并根據(jù)卷積定義，即可得,4)卷積的微分特性 設 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),證明,5) 卷積的積分特性 設 y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分別表示y(t)，f(t)及h(t)對時間t的一次積分。,6) 卷積的等效特性 設 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) 證明卷積微分特性，有 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 將上式對時間t積分，即可證明式 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t),上式說明，通過激勵信號f(t)的導數(shù)與沖激響應h(t)的積分的卷積，或激勵信號f(t)的積分與沖激響應h(t)的導數(shù)的卷積，同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。這一關系為計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應提供了一條新途徑。 上述性質4)、5)、6)可以進一步推廣，其一般形式如下： 設 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t),7) 卷積的延時特性 若 f(t)*h(t)=y(t) 則有 f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2),2. 奇異信號的卷積特性 含奇異信號的卷積積分具有以下特性。 1)延時特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0),理想延時器及其沖激響應,同理，如果一個系統(tǒng)的沖激響應h(t)為(t)，則此系統(tǒng)稱為理想放大器，其中k稱為放大器的增益或放大系數(shù)，如圖所示。當信號f(t)通過該放大器時，其輸出為 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即輸出是輸入信號f(t)的k倍。,理想放大器及其沖激響應,2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) 即，任意信號f(t)與沖激偶信號(t)卷積，其結果為信號f(t)的一階導數(shù)。 如果一個系統(tǒng)的沖激響應為沖激偶信號(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如下圖所示。,微分器及其沖激響應,3) 積分特性 即，任意信號f(t)與階躍信號u(t)卷積，其結果為信號f(t)本身對時間的積分。如果一個系統(tǒng)的沖激響應為階躍信號u(t)，則此系統(tǒng)稱為積分器，如下圖所示。,積分器及其沖激響應,2.3.4 卷積積分的計算 1.解析計算 參與卷積的兩個信號f1(t)與f2(t)都可以用解析函數(shù)式表達，可以直接按照卷積的積分定義進行計算。 例： 已知f1(t)=e-3t u(t)， f2(t)=e-5t u(t)，試計算兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。 解 根據(jù)卷積積分的定義，可得,在利用卷積的定義通過信號的函數(shù)解析式進行卷積時，對于一些基本信號可以通過查卷積積分表直接得到，避免卷積積分過程中重復與繁雜的計算。卷積積分表如下表所示。當然，在利用解析式進行求解信號卷積時，可以利用卷積的一些特性來簡化運算。,卷積積分常用公式表,2. 圖解計算 對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來計算。而且，熟練掌握圖解卷積的方法，對理解卷積的運算過程是有幫助的。下面通過例題來介紹圖解卷積的具體步驟。,例： 已知 分別如下圖(a)，(b)所示。試用圖解法求兩信號的卷積y(t)=f(t)*h(t)。,