方向?qū)?shù)與梯度(56).ppt

第八章,第七節(jié),一、方向?qū)?shù),二、梯度,方向?qū)?shù)與梯度,假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比,一、方向?qū)?shù) 1.問(wèn)題的提出,一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬受熱,在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)：,這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問(wèn)題1,問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：,應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即溫度的梯度相反方向）爬行.,問(wèn)題2,2.方向?qū)?shù)的定義,設(shè)l 是xOy 平面上以,是與l 同方向的,為始點(diǎn)的,定義8.8,單位向量.,函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)P0(x0 , y0 ) 的某個(gè)鄰域,一條射線，,內(nèi)有定義，,為l上另一點(diǎn)，且,射線l 的參數(shù)方程為,存在，,則稱此極限為函數(shù) f ( x, y)在點(diǎn)P0沿方向 l 的,方向?qū)?shù)，記作,即,1 方向?qū)?shù)的其他形式：,注,2 方向?qū)?shù)的幾何意義,過(guò)點(diǎn)P0 沿l 作垂直于xOy 面的平面，,與曲面 z = f (x, y)的交線在曲面上相應(yīng)點(diǎn)M 處的切線MTl(若存在)關(guān)于l 方向的斜率:,該平面,3. 方向?qū)?shù)的計(jì)算,則,本質(zhì)上，方向?qū)?shù)計(jì)算可歸結(jié)為一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算,(1) 用定義,例1,在點(diǎn) (1, 2) 處沿方向,的方向?qū)?shù).,解,當(dāng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn),可微時(shí),又有如下的計(jì)算,方向?qū)?shù)的辦法.,定理8.9,證 由函數(shù),且有,得,在點(diǎn) 可微 ,(2) 用公式,故,解,例2,方向?qū)?shù)概念可推廣到三元函數(shù)：,同樣有，當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)可微時(shí)，則函數(shù)在該點(diǎn),沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，且有,(1),方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,存在,4. 概念之間的關(guān)系,存在，且,證,P,l,x,y,o,P,l,P,？,即,但,存在,存在,反例：,（自己證）,(2),可微,可偏導(dǎo),沿任意方向的方向?qū)?shù)存在,反例1,反例2,不存在.,設(shè)從x軸正方向到射線 l的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù),的方向?qū)?shù).,并問(wèn): l是怎樣的方向時(shí)，此方向?qū)?shù),解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,例4,故,方向?qū)?shù)達(dá)到最小值,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值,二、梯度,從例4 看到,到最大值,函數(shù)在點(diǎn)P 沿哪一個(gè)方向增加的速度最快？,觀察向量：,恰好與,同方向，,最大.,這是巧合嗎？,不是！,1.定義8.9,設(shè)二元函數(shù),為函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P 處的梯度,記作,( gradient ),在點(diǎn),具有偏導(dǎo)數(shù)，,稱向量,(1),(2),可微函數(shù) z = f (x, y) 的梯度有下列性質(zhì)：,2. 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系,證 (1),(2),取得最大值:,注,1,沿梯度相反方向，,2,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),類似于二元函數(shù)，三元函數(shù)的梯度也有上述性質(zhì).,方向：是函數(shù)值增加最快的方向,模 : 等于函數(shù)的方向?qū)?shù)最大值,求函數(shù),在點(diǎn),處的梯度.,解,則,注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性,例5,稱為函數(shù),3. 梯度的幾何意義,(1) 等高線,z = f (x, y)的等高(值)線 .,z =c2,z =c1,(2) 等高線 f (x, y) = c 的法向量,(3) 等高線上的法向量與梯度的關(guān)系, 0,故 z = f (x, y) 在點(diǎn) P( x, y )的梯度恰為等高線 f (x, y) = c 在這點(diǎn)的一個(gè)法向量，其指向?yàn)椋簭?數(shù)值較低的等高線到數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)沿這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù),等高線,梯度為等高線上的一個(gè)法向量，其指向?yàn)椋簭臄?shù)值較低的等高線到數(shù)值較高的等高線.,函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面,指向函數(shù),同樣, 對(duì)應(yīng)三元函數(shù),有等值面(等量面),當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),等值面上,點(diǎn)P處的法向量為,增大的方向.,例6,解(方法1),恰為等高線 ( u = 0 ),內(nèi),(方法2),4. 梯度的基本運(yùn)算公式,例7,證,試證,內(nèi)容小結(jié),1. 方向?qū)?shù)計(jì)算公式, 三元函數(shù),在點(diǎn),沿方向 l (方向角,的方向?qū)?shù)為, 二元函數(shù),在點(diǎn),的方向?qū)?shù)為,沿方向 l (方向角為,可微時(shí)方可用