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圖像的無(wú)約束恢復(fù),第1頁(yè),在這一節(jié)我們要利用線性代數(shù)的方法,根據(jù)退化模型 ,在假定具備關(guān)于g、 H和n的某些知識(shí)的情況下,尋求估計(jì)原圖像f的某些方法。這種方法應(yīng)在預(yù)先選定的最佳準(zhǔn)則下,具有最優(yōu)的性質(zhì)。,由退化模型g=Hf+n,其中f,g為堆疊向量。如果關(guān)于n我們一無(wú)所知,那么我們尋找f的一個(gè)估計(jì)值 ,使 在最小二乘意義上近似于g。在無(wú)約束條件下,就是n無(wú)條件的小。這一問(wèn)題等效地看為求準(zhǔn)則函數(shù): 為最小,(注:若a(x),b(x) 為m維列向量,X為n維列向量,那么: 注: ) 那么: 若H已知,則可根據(jù)上式求出 。,可以證明,對(duì) 兩邊分別取傅立葉變換,可以得出: 這就是逆濾波法。所以逆濾波法是無(wú)約束最小二乘法的頻域解。 對(duì) 取傅立葉反變換,就可求出恢復(fù)后的圖像。,(根據(jù)圖像退化模型: 兩邊取傅立葉變換,有 由此可得: 在噪聲未知和不可分離的情況下,可近似取 ),對(duì) ,若H(u,v)在uv平面上取零或很小,就會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難。 另一方面,噪聲還會(huì)帶來(lái)更嚴(yán)重的問(wèn)題。,若H(u,v)在uv平面上取零或很小,N(u,v)/H(u,v)就會(huì)使恢復(fù)結(jié)果與原圖像有較大的差距。實(shí)際中,H(u,v)隨u,v與原點(diǎn)距離的增加而迅速減小,而噪聲N(u,v)卻一般變化緩慢。在這種情況下,恢復(fù)只能在與原點(diǎn)較近(接近頻域中心)的范圍內(nèi)進(jìn)行。即H(u,v)具有低通濾波的性質(zhì):,換句話說(shuō),一般情況下,逆濾波器并不正好是1/H(u,v),而是u和v的某個(gè)函數(shù),可記為P(u,v)。P(u,v)常稱為恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)。,使用逆濾波法時(shí)的注意事項(xiàng): (1)在 H(u,v)=0 的點(diǎn)不做計(jì)算,即 (2)當(dāng)H(u,v)非常小時(shí),N(u,v)/H(u,v) 對(duì)復(fù)原結(jié)果起主導(dǎo)作用,而多數(shù)實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中,|H(u,v)|離開(kāi)原點(diǎn)衰減很快,故復(fù)原應(yīng)局限于離原點(diǎn)不太遠(yuǎn)的有限區(qū)域進(jìn)行。 (3)為避免振鈴影響,一種改進(jìn)的方法是取恢復(fù)的反向?yàn)V波器P(u,v)為: 其中k和d均為小于1的常數(shù),且d選得較小為好。,5.3 圖像的無(wú)約束恢復(fù)-反向?yàn)V波法,H1(u,v)表示理想低通濾波器,缺點(diǎn)是會(huì)出現(xiàn)振鈴效應(yīng)。,5.3 圖像的無(wú)約束恢復(fù)-反向?yàn)V波法,圖5.3.1 不同濾波半徑下反向?yàn)V波的結(jié)果比較,(a)直接由反向?yàn)V波恢復(fù)的圖像; (b)、(c)、(d)分別為半徑30、50、70的二階Butterworth濾波器(代替理想低通濾波器)作用后的結(jié)果。,可以看到,逆濾波的結(jié)果還是不能令人滿意。,3.有約束恢復(fù)方法,恢復(fù)問(wèn)題的病態(tài)性與奇異性 由退化模型 可知,影響圖像恢復(fù)的因素包括噪聲干擾n,成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H,后者包含了圖像傳感器中光學(xué)和電子學(xué)的影響。先拋開(kāi)噪聲,要恢復(fù)原圖像f,需要對(duì)矩陣H求逆,即: 數(shù)學(xué)上要求這個(gè)逆陣存在并且唯一。如果H1不存在,但還存在和f十分近似的解,這稱為恢復(fù)問(wèn)題的奇異性。,事實(shí)上,由于在模糊圖像上存在非常小的擾動(dòng)時(shí),在恢復(fù)結(jié)果的圖像中,都會(huì)產(chǎn)生不可忽視的強(qiáng)擾動(dòng)。用公式表示為: 為任意小的擾動(dòng),。無(wú)論是成像系統(tǒng)還是數(shù)字化器,對(duì)采集到的圖像產(chǎn)生一些擾動(dòng),幾乎是不可避免的。這就是恢復(fù)問(wèn)題的病態(tài)性。至于噪聲,由于其隨機(jī)性,造成模糊圖像g有無(wú)限的可能情況,也導(dǎo)致了恢復(fù)問(wèn)題的病態(tài)性。,為克服恢復(fù)問(wèn)題的病態(tài)性質(zhì),常常需要在恢復(fù)過(guò)程中對(duì)運(yùn)算施加某種約束,從而在一族可能結(jié)果中選擇一種,這就是有約束的恢復(fù)。 有約束的最小二乘方復(fù)原 能量約束恢復(fù) 平滑約束恢復(fù) 均方誤差最小濾波(維納濾波),約束復(fù)原方法,處理過(guò)程,拉各朗日系數(shù),=1/,維納濾波復(fù)原法,圖像恢復(fù)準(zhǔn)則:f(x,y)和 的之間的均方誤差e2達(dá)到最小,即 尋找點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hw(x,y),使得,最小二乘方濾波,由Andrews和Hunt推導(dǎo)滿足這一要求的傳遞函數(shù)為:,Sf(u,v):為 fx,y的功率普,Sh(u,v)為 nx,y的功率普,討論一下上式的幾種情況,(1)如果s=1,方括號(hào)中的項(xiàng)就是維納濾波器 (2)如果s是變量,就稱為參數(shù)維納濾波器 (3)當(dāng)沒(méi)有噪聲時(shí),Sn(u,v)=0,維納濾波器就退化為理想的逆濾波器 (4)當(dāng)Sn(u,v)和Sf(u,v)未知時(shí),用常數(shù)K可代替,因此必須調(diào)節(jié)s以滿足,f = (HTH + sQTQ)1 HTg,結(jié)果分析 (1) =1時(shí),該濾波器稱為標(biāo)準(zhǔn)維納濾波器,但不能說(shuō)可以利用上式在約束條件下得到最佳估計(jì); =變量時(shí),稱為變參數(shù)維納濾波器。 (2)無(wú)噪聲時(shí),即 ,即變?yōu)槟鏋V波器,即 因此,反向?yàn)V波器可看作是維納濾波器的一種特殊情況。 (3)在有噪聲存在的情況下,相比于反向?yàn)V波器來(lái)說(shuō),維納濾波器中由于存在 項(xiàng),會(huì)對(duì)噪聲的放大具有自動(dòng)抑制作用,同時(shí)也不會(huì)在H(u,v)為0時(shí)出現(xiàn)被0除的情形。,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),(4)在實(shí)際應(yīng)用中, 和 經(jīng)常是未知的,但可用一常數(shù)k來(lái)表示噪聲和信號(hào)的功率譜密度比,則:,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),該式可以使退化圖像得到一定程度的恢復(fù),但不一定是最佳恢復(fù)。實(shí)際應(yīng)用中,k可通過(guò)已知的信噪比來(lái)獲得。,維納濾波復(fù)原法,采用維納濾波器的復(fù)原過(guò)程步驟如下: (1)計(jì)算圖像g(x,y)的二維離散傅立葉變換得到G(u,v)。 (2)計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hw(x,y)的二維離散傅立葉變換。同逆濾波一樣,為了避免混疊效應(yīng)引起的誤差,應(yīng)將尺寸延拓。 (3)估算圖像的功率譜密度Pf和噪聲的譜密度Pn。 (4) 計(jì)算圖像的估計(jì)值 。 (5)計(jì)算 的逆付氏變換,得到恢復(fù)后的圖像 。,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),(a)被高斯噪聲污染的圖像; (b)逆濾波恢復(fù)圖像;(c)維納濾波恢復(fù)的圖像; (d)(f)為相應(yīng)的由噪聲方差比(a)小1個(gè)數(shù)量級(jí)的降質(zhì)圖像得到的結(jié)果; (g)(i)為相應(yīng)的噪聲方差小5個(gè)數(shù)量級(jí)的圖像得到的結(jié)果。,圖5.4.1 維納濾波法和反向?yàn)V波法恢復(fù)圖像的效果比較,由于反向?yàn)V波器的病態(tài)性質(zhì),會(huì)導(dǎo)致在H(u,v)的零值附近恢復(fù)濾波器 的數(shù)值變化劇烈,使恢復(fù)后的圖像產(chǎn)生多余的噪聲和虛假邊緣。而這些噪聲的強(qiáng)弱和虛假邊緣的多少可用圖像的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。通過(guò)選擇合理的Q,并對(duì) 進(jìn)行優(yōu)化,可將這些噪聲和虛假邊緣降至最小,也就是讓該二階導(dǎo)數(shù)降為最小,即使,稱為L(zhǎng)aplacian算子。,在離散情況下, 可用下面的差分運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),約束最小平方濾波法,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),上述運(yùn)算可用f(m,n)與下面的模板(掩模矩陣)進(jìn)行卷積來(lái)求解。,在離散卷積的過(guò)程中,為避免交疊誤差,可將p(m,n)延拓為pe(m,n)再卷積。,若f(m,n)的大小為 ,則延拓后的M、N應(yīng)為:,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),可以寫成分塊循環(huán)矩陣:,C中的任一元素Cj是由pe(m,n)的第j行組成的 循環(huán)矩陣,即,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),令Q=C,則有約束恢復(fù)的結(jié)果就變?yōu)?,同樣可用W矩陣使C對(duì)角化,即:,式中P(u,v)是pe(m,n)的傅立葉變換。則恢復(fù)結(jié)果變?yōu)椋?(5.4.23),(5.4.26),5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),上式中的各元素可寫成如下形式(設(shè)M=N):,該濾波器就稱為約束最小平方濾波器 。,(5.4.26),約束最小平方濾波法與維納濾波法比較 它與維納濾波法相同的是,兩者都屬于約束恢復(fù),頻域的恢復(fù)公式類似,但也有本質(zhì)區(qū)別。用約束最小平方濾波器恢復(fù)圖像時(shí),不需要知道圖像和噪聲的自相關(guān)矩陣Rf 和Rn 。,。,約束最小平方濾波法的恢復(fù)效果如下圖5.4.2所示,將其與維納濾波恢復(fù)法的結(jié)果相比較,可以看出,帶有平滑約束的恢復(fù)法能得到更加符合人眼視覺(jué)效果的平滑圖像,并且在噪聲較大的情況下比維納濾波法的效果明顯要好。,5.4 圖像的有約束最小二乘恢復(fù),(a)、(b)和(c)是分別由圖5.4.1中(a)、(d)和(g)得到的約束最小平方濾波結(jié)果,與維納濾波法恢復(fù)結(jié)果(d,e,f)比較。,5.5 幾何畸變圖形的恢復(fù),(c),(b),(a),幾何失真舉例,(d),圖5.5.1 幾何失真舉例 (a)原圖像;(b)比例變換(縮?。?;(c)旋轉(zhuǎn);(d)扭曲。,5.5 圖像的幾何校正,例: 從太空中宇航器拍攝的地球上的等距平行線,圖像會(huì)變?yōu)橥嵝被虿坏染?;用光學(xué)和電子掃描儀攝取的圖像常會(huì)有桶形畸變和枕形畸變;用普通的光學(xué)攝影與測(cè)試?yán)走_(dá)拍攝的同一地區(qū)的景物二者在幾何形狀上有較大的差異。 以一副圖像為基準(zhǔn),去校正另一種方式攝入的圖像,以校正其幾何畸變,就叫做圖像的幾何畸變復(fù)原或者幾何畸變校正。,幾何校正就是一種幾何變換,是圖像的幾何畸變的反運(yùn)算,與幾何變換類似,幾何校正是由輸出圖像像素坐標(biāo)反算輸入圖像坐標(biāo),然后通過(guò)灰度再采樣求出輸出像素灰度值。 圖像幾何校正的兩個(gè)步驟 (1)空間變換:對(duì)圖像平面上的像素進(jìn)行重新排列以 恢復(fù)原空間關(guān)系 (2)灰度插值:對(duì)空間變換后的像素賦予相應(yīng)的灰度 值以恢復(fù)原位置的灰度值,5.5 圖像的幾何校正,幾何畸變的描述,幾何基準(zhǔn)圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用(x, y)來(lái)表示 需要校正的圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用(x, y)表示,設(shè)兩個(gè)圖像坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系用解析式表示,通常h1(x,y)和h2(x,y)用多項(xiàng)式來(lái)表示:,通常用線性畸變來(lái)近似較小的幾何畸變 更精確一些可以用二次型來(lái)近似 若基準(zhǔn)圖像為f(x,y),畸變圖像為g(x,y),對(duì)于景物上的同一個(gè)點(diǎn),假定其灰度不變,則,5.5.2 幾何校正,5.5.2 幾何校正,幾何變換 通常用已知的多對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)來(lái)確定系數(shù)a, b 線性畸變 可由基準(zhǔn)圖找出三個(gè)點(diǎn)(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)與畸變圖像上三 個(gè)點(diǎn)(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)一一對(duì)應(yīng)。,5.5.2 幾何校正,將對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入,有: 解聯(lián)立方程組,得出6個(gè)系數(shù)。,二次畸變,有12個(gè)未知量,需要6對(duì)已知對(duì)應(yīng)點(diǎn),5.5.2 幾何校正,5.5.2 幾何校正,代入上式 記作矩陣形式 同樣有 解方程組,得到ai,bi 12個(gè)系數(shù)。,f(x,y),g(x, y),5.5.2 幾何校正,內(nèi)插法確定像素的灰度值 幾何變換是由輸出圖像像素坐標(biāo)反算出輸入圖像坐標(biāo),但該坐標(biāo)并非整數(shù),需要進(jìn)行灰度再采樣。 例:,最近鄰插值 雙線性插值 Nearest Neighbor Bilinear,再采樣是通過(guò)灰度插值來(lái)完成的,5.5.2 幾何校正,(i-1,j-1),(i-1,j+2),(i+2,j-1),(i+2,j+2),(x,y),u,v,3三次內(nèi)插法 該方法利用三
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