【高考輔導(dǎo)資料】2010年高考數(shù)學(xué)熱點：攻略數(shù)列

2010 屆高考數(shù)學(xué)熱點：攻略數(shù)列屆高考數(shù)學(xué)熱點：攻略數(shù)列 數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中地位非常重要，它是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，是高考數(shù)學(xué) 每年必考的重要內(nèi)容。內(nèi)容涉及到數(shù)列概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列通項及求和、數(shù)學(xué)歸納法 和數(shù)列極限等；它滲透了分類討論和類比、歸納等重要的數(shù)學(xué)思想。事實上，在數(shù)列的復(fù)習(xí) 中，既要重視公式的應(yīng)用，還要注意計算的合理性。在處理某些數(shù)列問題時，要滲透函數(shù)觀 點，借助函數(shù)思想幫助解決；同時要注意新情景下的數(shù)列問題研究，有意識建立與等差數(shù)列、 等比數(shù)列的聯(lián)系，探討通項和求和問題；數(shù)學(xué)思想如分類思想、特殊化思想等在數(shù)列中的考 查，也是同學(xué)們在復(fù)習(xí)中必須重視的問題。 我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 一題型穩(wěn)定：近幾年來高考數(shù)列試題一直穩(wěn)定在 1-2 個小題和 1 道大題上，分值約為 20 分左右， 占總分值的 12%左右，但是如果把數(shù)列與其他知識結(jié)合的綜合題目，分值會更大。 二在進行數(shù)列二輪復(fù)習(xí)時，建議可以具體從以下幾個方面著手: 1運用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問題； 2注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用； 3注意等差、等比數(shù)列的前 n 項和的特征在解題中的應(yīng)用； 4注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式； 5根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項或通項，主要需注 意從等差、等比、周期等方面進行歸納； 6掌握數(shù)列通項 an 與前 n 項和 Sn 之間的關(guān)系； 7根據(jù)遞推關(guān)系，運用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列； 8掌握一些數(shù)列求和的方法 (1)分解成特殊數(shù)列的和 (2)裂項求和 (3)“錯位相減”法求和 9以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù) 列與幾何等的綜合應(yīng)用 三方法總結(jié) 1. 求數(shù)列的通項通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項；一是根據(jù)遞 推關(guān)系式求通項。 2. 數(shù)列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通 常有化歸等比數(shù)列和可裂項的形式。 3. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多 個知識點交融的題，這應(yīng)是命題的一個方向。 四2010 年高考預(yù)測 1. 數(shù)列中 n S 與 n a 的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實 注意 n S 與 n a 的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在考試說明中的考試要求是：“了解遞推公式是給 出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項” 。但實際上，從近兩年各地高考 試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。 2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然 后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求. 3. 等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、 中等題，也有難題。 4. 求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題 應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和. 5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所 在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。 今后在這方面還會體現(xiàn)的更突出。 、數(shù)列與程序框圖的綜合題應(yīng)引起高度重視。 在近年高考中，對平面向量內(nèi)容的考查的主要知識點和題型有：在近年高考中，對平面向量內(nèi)容的考查的主要知識點和題型有： 等差數(shù)列的證明方法：等差數(shù)列的證明方法：1.1. 定義法：2等差中項：對于數(shù)列，若 n a 21 2 nnn aaa 等差數(shù)列的通項公式：等差數(shù)列的通項公式：-該公式整理后是關(guān)于 n 的一次函數(shù)dnaan) 1( 1 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前 n n 項和項和 1 2. 3. 2 )( 1n n aan S d nn naSn 2 ) 1( 1 BnAnSn 2 等差中項等差中項: : 如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。即：或aAbAab 2 ba A baA2 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì): : 1等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項， n an m am 且，公差為，則有nm ddmnaa mn )( 2 對于等差數(shù)列，若，則。也就是： n aqpmn qpmn aaaa ， 23121nnn aaaaaa 3若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前 n 項的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等差數(shù)列。如下圖所示： kk SS 23 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 4設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，：奇數(shù)項和，：偶數(shù)項和，是前 n 項和，則有如下 n a 奇 S 偶 S n S 性質(zhì)： 1。當(dāng) n 為偶數(shù)時， 2。當(dāng) n 為奇數(shù)時，則，d 2 n S 奇偶 S 中偶奇 aSS 偶 奇 S S n n1 等比數(shù)列的判定方法等比數(shù)列的判定方法: : 定義法：若 等比中項：若，則數(shù)列是等比數(shù)列。)0( 1 qq a a n n 2 12 nnn aaa n a 等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的通項公式: : 如果等比數(shù)列的首項是，公比是，則等比數(shù)列的通項為。 n a 1 aq 1 1 n n qaa 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前 n n 項和：項和：1 1。 2。 3。當(dāng)時，) 1( 1 )1 ( 1 q q qa S n n ) 1( 1 1 q q qaa S n n 1q 1 naSn 等比中項等比中項: : 如果使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項等比中項。那么。aGbGababG 2 等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì): : 1等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項， n an m am 且，公比為，則有nm q mn mn qaa 2對于等比數(shù)列，若，則也就是： n avumn vumn aaaa 。 23121nnn aaaaaa 3若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前 n 項的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等比數(shù)列。如下圖所示： kk SS 23 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 一、選擇題（每小題 5 分） 1.(2009 年廣東卷文)已知等比數(shù)列 n a的公比為正數(shù)，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，則 1 a= A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 解析：解析：設(shè)公比為q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因為等比數(shù)列 n a的公 比為正數(shù)，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,選 B 2.（2008 全國一 5）已知等差數(shù)列滿足，則它的前 10 項的和 n a 24 4aa 35 10aa （ ） 10 S A138B135C95D23 解析：解析：C. 由； 24351101 4,104,3,104595aaaaadSad 3.（2009 廣東卷 理）已知等比數(shù)列 n a滿足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ，則當(dāng)1n 時， 2123221 logloglog n aaa A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 解析：解析：由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，則 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，選 C. 4.（2008 北京卷 6）已知數(shù)列對任意的滿足，且，那 n a * pqN， p qpq aaa 2 6a 么等于（ ） 10 a ABCD165333021 解析：解析：由已知+ -12，+24,=+= -30 C C 4 a 2 a 2 a 8 a 4 a 4 a 10 a 8 a 2 a 5.（2009 安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 解析：解析： 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .選 B。 6.（2009 江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S.若 4 a是 37 aa與的等比中 項, 8 32S ,則 10 S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 解析：解析：由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adad ad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 Sad得 1 278ad則 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 Sad,.故選 C 7.（2008 四川卷 7）已知等比數(shù)列中，則其前 3 項的和的取值范圍是() n a 2 1a 3 S （） （） , 1 ,01, （） （）3, , 13, 解析：解析：D 由雙勾函數(shù)的圖象知，或，故本題選 3 1 1Sx x (0)x 1 yx x 1 2x x 1 2x x D本題主要考查等比數(shù)列的相關(guān)概念和雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)以上諸題，基本功扎實的 同學(xué)耗時不多 8.（2009 湖南卷文）設(shè) n S是等差數(shù)列 n a的前 n 項和，已知 2 3a ， 6 11a ，則 7 S等于 【 C 】 A13 B35 C49 D 63 解析：解析： 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故選 C. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故選 C. 9.（2009 福建卷理）等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 則公差 d 等于 A1 B 5 3 C.- 2 D 3 【答案】：C 解析：解析： 313 3 6() 2 Saa且 311 2 =4 d=2aad a.故選 C 10.（2008 江西卷 5）在數(shù)列中， ，則 ( ) n a 1 2a 1 1 ln(1) nn aa n n a A B C D2lnn2(1)lnnn2lnnn1lnnn 解析：解析：A ， 21 1 ln(1) 1 aa 32 1 ln(1) 2 aa 1 1 ln(1) 1 nn aa n 1 234 ln( )( )( )()2ln 1231 n n aan n 11.（2009 遼寧卷文）已知 n a為等差數(shù)列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,則公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 解析：解析：a72a4a34d2(a3d)2d1 d 1 2 【答案】B 12.（2009 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S ，若 6 3 S S =3 ，則 6 9 S S = （A） 2 （B） 7 3 （C） 8 3 （D）3 解析：解析：設(shè)公比為 q ,則 3 63 33 (1)Sq S SS 1q33 q32 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq 【答案】B 13.（2009 寧夏海南卷理）等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s，且 4 1 a，2 2 a， 3 a成等差數(shù)列。 若 1 a=1，則 4 s= （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解析：解析：4 1 a，2 2 a， 3 a成等差數(shù)列， 22 1321114 44,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,選 C. 14.（2009 四川卷文）等差數(shù)列 n a的公差不為零，首項 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中 項，則數(shù)列的前 10 項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案答案】B】B 解析：解析：設(shè)公差為d，則)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 15.（2009 湖北卷文）設(shè),Rx記不超過x的最大整數(shù)為x,令x=x-x，則 2 15 ， 2 15 , 2 15 A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 【答案】B 解析：解析：可分別求得 5151 22 ， 51 1 2 .則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù) 列. 16.（2009 湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： . 他們研究過圖 1 中的 1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù); 類似地，稱圖 2 中的 1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正 方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 解析：解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(1) 2 n n an ，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列 通項 2 n bn ，則由 2 n bn ()nN 可排除 A、D，又由(1) 2 n n an 知 n a必為奇數(shù)，故 選 C. 17.（2009 寧夏海南卷文）等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,則m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 【答案】C 解析：解析：因為 n a是等差數(shù)列，所以， 11 2 mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得：2 m a 2 m a0，所以， m a2，又 21 38 m S ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1） 238，解得 m10，故選.C。 18.（2009 重慶卷文）設(shè) n a是公差不為 0 的等差數(shù)列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比數(shù)列，則 n a的前n項和 n S=（ ） A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 【答案】A 解析：解析：設(shè)數(shù)列 n a的公差為d，則根據(jù)題意得(22 )22 (25 )dd，解得 1 2 d 或 0d （舍去） ，所以數(shù)列 n a的前n項和 2 (1)17 2 2244 n n nnn Sn 19.（2009 安徽卷理）已知 n a為等差數(shù)列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n S表示 n a的前n項和，則使得 n S達到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：解析：由 1 a+ 3 a+ 5 a=105 得 3 3105,a 即 3 35a ，由 246 aaa=99 得 4 399a 即 4 33a ，2d ， 4 (4) ( 2)41 2 n aann ，由 1 0 0 n n a a 得20n ，選 B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.（2009 江西卷理）數(shù)列 n a的通項 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n項和為 n S，則 30 S為 A470 B490 C495 D510 答案：A 解析：解析：由于 22 cossin 33 nn 以 3 為周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故選 A 21.（2009 四川卷文）等差數(shù)列 n a的公差不為零，首項 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中 項，則數(shù)列的前 10 項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案答案】B】B 解析：解析：設(shè)公差為d，則)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 二、填空題（每小題 5 分） 22.（2009 全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，若 9 72S ,則 249 aaa= 。 解析：解析： n a是等差數(shù)列,由 9 72S ,得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 23.（2008 四川卷 16）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大 n an n S 45 10,15SS 4 a 值為_。 解析：解析：由題意，即，4 1 1 4 3 410 2 54 515 2 ad ad 1 1 4610 51015 ad ad 1 1 235 23 ad ad 41 3aad 這是加了包裝的線性規(guī)劃，有意思建立平面直角坐標(biāo)系，畫出可行域 1 a od （圖略） ，畫出目標(biāo)函數(shù)即直線，由圖知，當(dāng)直線過可行域內(nèi) 1 1 235 23 ad ad 41 3aad 41 3aad 點時截距最大，此時目標(biāo)函數(shù)取最大值本題明為數(shù)列，實為線性規(guī)劃，著力考查(1,1) 4 4a 了轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合思想掌握線性規(guī)劃問題畫移求答四步曲，理解線性規(guī)劃 解題程序的實質(zhì)是根本這是本題的命題意圖 因約束條件只有兩個，本題也可走不等式路線設(shè)， 11121 3(23 )(2 )adadad 由解得， 12 12 21 323 1 2 1 3 ， 111 3(23 )3(2 )adadad 由不等式的性質(zhì)得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1 235 23 ad ad 1 1 (23 )5 3(2 )9 ad ad ，即 11 (23 )3(2 )4adad ，的最大值是 4 41 34aad 4 a 24.（2009 浙江理）設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q ，前n項和為 n S，則 4 4 S a 答案：15 解析：解析：對于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 25. （20082008 安徽卷 1414）在數(shù)列在中， n a 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn ,其中為常數(shù)，則的值是 * nN, a blim nn nn n ab ab 解析：解析：1 從而。, 2 5 4 nan, 2 3 1 a 2 2 2 ) 2 5 4 2 3 ( 2 n n nn Sn a=2，則 2 1 b 1 2() 2 lim1 1 2() 2 nn n nn 26.（2009 浙江文）設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q ，前n項和為 n S，則 4 4 S a 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考 查充分體現(xiàn)了通項公式和前n項和的知識聯(lián)系 解析：解析：對于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 27.（2009 浙江文）設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，則 4 S， 84 SS， 128 SS， 1612 SS成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 n b的前n項積為 n T，則 4 T， ， ， 16 12 T T 成等比數(shù)列 答案： 812 48 , TT TT 【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差 數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力. 解析：解析：對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列 n b的前n項積為 n T，則 4 T， 812 48 , TT TT ， 16 12 T T 成等比數(shù)列 28. （2008 湖北卷 14）已知函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若( )2xf x x a2 ,則 .6 246810 ()4f aaaaa 212310 log ()() ()()f af af af a 解析：解析：依題意，所以 246810 2aaaaa 13579 25 28aaaaa 1210 6 12310 ()()()()22 aaa f af af af a 212310 log ()()()()6f af af af a 29.（2009 北京文）若數(shù)列 n a滿足： 11 1,2() nn aaa nN ，則 5 a ；前 8 項的和 8 S .（用數(shù)字作答） 解析：解析：本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 S ，應(yīng)填 255. 30. （2008 湖北卷 15）觀察下列等式： 2 1 11 , 22 n i inn 232 1 111 , 326 n i innn 3432 1 111 , 424 n i innn 4543 1 1111 , 52330 n i innnn 56542 1 1151 , 621212 n i innnn 67653 1 11111 , 722642 n i innnnn 212 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na 可以推測，當(dāng)2（）時， x * kN 11 11 , 12 kkk aaa k 12 k .，0 2k a 解析：解析：由觀察可知當(dāng)，每一個式子的第三項的系數(shù)是成等差數(shù)列的，所以，2k 時 1 12 k k a 第四項均為零，所以。 2 0 k a 31.（2009 北京理）已知數(shù)列 n a滿足： 43412 1,0,N , nnnn aaaa n 則 2009 a_； 2014 a=_. 【答案答案】1，0 解析：解析：本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 依題意，得 20094 503 3 1aa ， 20142 100710074 252 1 0aaaa . 應(yīng)填 1，0. 32.（2009 江蘇卷）設(shè) n a是公比為q的等比數(shù)列，| 1q ，令1(1,2,) nn ban，若 數(shù)列 n b有連續(xù)四項在集合53, 23,19,37,82中，則6q= . 解析：解析： 考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。 n a有連續(xù)四項在集合54, 24,18,36,81，四項24,36, 54,81成等比數(shù)列，公比為 3 2 q ，6q= -9-9 33.(2009 山東卷文)在等差數(shù)列 n a中,6 , 7 253 aaa,則_ 6 a. 解析：解析：:設(shè)等差數(shù)列 n a的公差為d,則由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d ,所以 61 513aad. 答案:13. 【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算. 34.（2009 全國卷文）設(shè)等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s。若 361 4, 1ssa，則 4 a= 答案：答案：3 3 解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由 361 4, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 35.(2009 湖北卷理)已知數(shù)列 n a滿足： 1 am（m 為正整數(shù)） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 當(dāng)為偶數(shù)時， 當(dāng)為奇數(shù)時。 若 6 a 1，則 m 所有可能的取值為_。. 【答案】4 5 32 解析：解析：（1）若 1 am為偶數(shù)，則 1 2 a 為偶, 故 2 23 a 224 amm a 當(dāng) 4 m 仍為偶數(shù)時， 46 832 mm aa 故132 32 m m 當(dāng) 4 m 為奇數(shù)時， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 （2）若 1 am為奇數(shù)，則 21 3131aam 為偶數(shù)，故 3 31 2 m a 必為偶數(shù) 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 36.（2009 全國卷理）設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，若 53 5aa則 9 5 S S 9 . 解析：解析： n a為等差數(shù)列， 95 53 9 9 5 Sa Sa 37.（2009 遼寧卷理）等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，且 53 655,SS則 4 a 解析解析：Snna1 1 2 n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 【答案】 3 1 三解答題 38.(2009 湖北卷理)（本小題滿分 13 分） （注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效） 已知數(shù)列 n a的前 n 項和 1 1 ( )2 2 n nn Sa （n 為正整數(shù)） 。 （）令2n nn ba，求證數(shù)列 n b是等差數(shù)列，并求數(shù)列 n a的通項公式； （）令 1 nn n ca n ， 12 nn Tccc試比較 n T與 5 21 n n 的大小，并予以證明。 解析解析：（：（I）在 1 1 ( )2 2 n nn Sa 中，令 n=1，可得 11 12 n Saa ，即 1 1 2 a 當(dāng)2n 時， 21 1111 11 ( )2( ) 22 nn nnnnnnn SaaSSaa ， 11 n11 1 2a( ),21 2 nn nnn aaa n 即2. 11 2,1,n21 n nnnnn babbb n 即當(dāng)時，b. 又 11 21,ba 數(shù)列 n b是首項和公差均為 1 的等差數(shù)列. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是1 (1) 12, 2 n nnn n n bnnaa . (II)由（I）得 11 (1)( ) 2 n nn n can n ，所以 23 1111 23 ( )4 ( )(1)( ) 2222 n n Tn K 2341 11111 2 ( )3 ( )4 ( )(1)( ) 22222 n n Tn K 由-得 231 11111 1 ( )( )( )(1)( ) 22222 nn n Tn K 1 1 1 11 1 ( ) 133 42 1(1)( ) 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T 535(3)(221) 3 212212 (21) n n nn nnnnn T nnn 于是確定 5 21 n n T n 與的大小關(guān)系等價于比較221 n n與的大小w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 2345 22 1 1;22 2 1;22 3 1;22 4 1;22 5; K 可猜想當(dāng)3221. n nn時，證明如下： 證法 1：（1）當(dāng) n=3 時，由上驗算顯示成立。 （2）假設(shè)1nk時 1 22 22(21)422(1) 1 (21)2(1) 1 kk kkkkk g 所以當(dāng)1nk時猜想也成立 綜合（1） （2）可知 ，對一切3n 的正整數(shù)，都有221. n n 證法 2：當(dāng)3n 時 0121011 2(1 1)2221 nnnnnn nnnnnnnnn CCCCCCCCCnn K 綜上所述，當(dāng)1,2n 時 5 21 n n T n ，當(dāng)3n 時 5 21 n n T n 39.（2009 四川卷文） （本小題滿分 14 分） 設(shè)數(shù)列 n a的前n項和為 n S，對任意的正整數(shù)n，都有51 nn aS成立，記 * 4 () 1 n n n a bnN a 。 （I）求數(shù)列 n a與數(shù)列 n b的通項公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）設(shè)數(shù)列 n b的前n項和為 n R，是否存在正整數(shù)k，使得4 n Rk成立？若存在，找出 一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由； （III）記 * 221( ) nnn cbbnN ，設(shè)數(shù)列 n c的前n項和為 n T，求證：對任意正整數(shù)n都 有 3 2 n T ； 【解析解析】 （I）當(dāng)1n時， 111 1 51, 4 aSa 又 11 51,51 nnnn aSaS 1 11 1 5, 4 即 n nnn n a aaa a 數(shù)列 n a是首項為 1 1 4 a，公比為 1 4 q的等比數(shù)列， 1 () 4 n n a， * 1 4() 4 () 1 1 () 4 n n n bnN （II）不存在正整數(shù)k，使得4 n Rk成立。 證明：由（I）知 1 4() 5 4 4 1 ( 4)1 1 () 4 n n n n b 212 212 5552015 1640 8888. ( 4)1( 4)1161164(161)(164) k kk kkkkkk bb 當(dāng) n 為偶數(shù)時，設(shè)2 ()nm mN 1234212 ()()()84 nmm Rbbbbbbmn 當(dāng) n 為奇數(shù)時，設(shè)21()nmmN 1234232221 ()()()8(1)4844 nmmm Rbbbbbbbmmn 對于一切的正整數(shù) n，都有4 n Rk 不存在正整數(shù)k，使得4 n Rk成立。 （III）由 5 4 ( 4)1 n n b 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 212 22122 5515 1615 1615 1615 4141(161)(164)(16 )3 164(16 )16 nnn nnn nnnnnnnn cbb 又 122 134 3, 33 bbc， 當(dāng)1n時， 1 3 2 T ， 當(dāng)2n 時， 2 2 23 2 11 1 () 41114 1616 25 ()25 1 31616163 1 16 1 4693 16 25 1 3482 1 16 n n n T 14 分 40. （2008 全國一 22） 設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )lnf xxxx n a 1 01a 1 () nn af a （）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；( )f x(01)， （）證明：； 1 1 nn aa （）設(shè)，整數(shù)證明： 1 (1)ba， 1 1ln ab k ab 1k ab 解析：解析：（）證明：，( )lnf xxxx ln ,0,1ln0