二元函數(shù)z=f（x,y）的分析性質(zhì)及其相互關(guān)系.docVIP

二元函數(shù)z=f（x,y）的分析性質(zhì)及其相互關(guān)系專題研究二元函數(shù)-f(x,y)的分析性質(zhì)及其相互關(guān)系張懷德(定西師范高等?？茖W校743000)【摘要】函數(shù)的分析性質(zhì)包括連續(xù)性,可微性,可積性等.二元函數(shù)廠(,y)分析性質(zhì)存在的條件和相互關(guān)系是:連續(xù)不一定存在偏導數(shù),偏導數(shù)存在也不一定連續(xù);偏導數(shù)存在不一定可微,偏導數(shù)存在且連續(xù)則可微,可微則偏導數(shù)一定存在,但偏導數(shù)不一定連續(xù);連續(xù)不一定可微,可微則一定連續(xù);連續(xù)必可積,可積未必連續(xù).【關(guān)鍵詞】二元函數(shù)八,y);連續(xù);偏導數(shù);全微分;二重積分相對于函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,周期性等代數(shù)性質(zhì),將函數(shù)的連續(xù)性,可微性,可積性稱為分析性質(zhì).一元函數(shù)y=廠()的圖像是平面上的曲線,可導與可微是等價的;連續(xù)不一定可導(可微),可導(可微)一定連續(xù);連續(xù)一定可積,可積不一定連續(xù)(如圖1).連續(xù)可微=可積否圖1二元函數(shù)=廠(,y)的圖像是空間上的曲面,連續(xù),可微,可積三者之間有何關(guān)系呢?一,二元函數(shù)f(,y)的連續(xù)1._廠(,y)的極限若二元函數(shù)_廠(,y)滿足vs>0,j6>0,v(,y)d:l一0l<6,1ybl<占,且(,y)(0,6),有if(,y)一al<s,稱a是二元雨數(shù)l廠(,y)在點p(n,b)的極限(二重極限),記為lim_廠(,y)=a.二重極限也稱全面極限,動點(,y)在區(qū)域d內(nèi)沿著不同的路徑(直線或曲線)和不同的方式(連續(xù)或離散),從四面八方趨近于點p(n,b)的極限都是a.反之,當動點(,y)沿著兩條不同的曲線(或點列)趨近于點p(n,b)時,f(,y)有著不同的極限,則f(,y)在點p(.,6)不存在極限.例1證明:函數(shù)_廠(,):in專ysj,o【0,xy:0.(,y)(0,0)在(0,0)的極限是0.證明vs>0,當xy=0時,v占>0,v(,y)(0,0):li<6與iyl<6,有if(,y)一0i=0<oo.當xy0時,j6=>0,v(,y):ii<6與lyi<6,有l(wèi)l廠(,y)一0l=n+ysinllsinj+-yisinl+iy<26=8.若o時(y看作常數(shù)),函數(shù)l廠(,y)存在極限limf(,y)=(y).yb時,(y)也存在極限lira(y)=limlimf(,y)=b,稱曰是_廠(,y)在點p(n,6)的累次極限(先n,后y一6).同樣可定義另一個不同次序的累次極5limlimf(,y)=c(先y一6,后一0).二重極限與累次極限是分別獨立定義的,一般來說它們之間沒有蘊涵關(guān)系.兩個累次極限都存在且相等,二重極限可能不存在;二重極限存在,兩個累次極限可能都不存在.例2證明:函數(shù),(,y)二元函數(shù)ifx+y),z,+y0,在原點(o,.)不【0.x2y2=0存在極限.證明當動點p(,y)沿著軸(y=0)和直線y=趨近于(0,0)時,分別有l(wèi)imf(,0)=0與limf(,)=圖2lim=.所以_廠(,y)在原點(0,0)不存在二重極限(函數(shù)圖像位于第一,三,六,八卦限過,y軸,關(guān)于,y,z軸對稱,第一卦限的部分如圖2).在例2巾,卻有l(wèi)imlim=limliiti=0._+0y0+y_0+v又女口lxim*0(nin)=0,y_0而lim1imfn+ysin1與uy,y,li.+m.lim(in+ysin)都不存在.當累次極限存在時,一般不能用累次極限計算二重極限.由于累次極限是連續(xù)兩次一元函數(shù)的極限,可以將計算二重極限化成累次極限,但需要一定的條件:若函數(shù),(,y)在點p(.,b)的二重極限與累次極限都存在,則二者相等.若兩個累次極限都存在但不相等(或一個存在,另一個不存在),則二重極限必不存在.2._廠(,y)的連續(xù)_廠(,y)在點p.(n,6)連續(xù),等價于lim,(,y)=l,yjl0,0_廠(o,b).即二元函數(shù)的連續(xù)就是其極限(二重極限)與函數(shù)值相等.若函數(shù)_廠(,y)在區(qū)域d任意點p(,y)都連續(xù),稱函數(shù)_廠(,y)在區(qū)域d連續(xù).當,(,y)在點p(,y)分別對每個自變數(shù)或y(另一個看作常數(shù))都連續(xù)時,可能二元函數(shù)_廠(,y)在點p(,y)不連續(xù).如例2,vyr與ver,分別有l(wèi)im=0=,(0,+yy)與li=0=八,0),即廠(,y)在原點(o,0)分別對y與y都連續(xù);但f(,y)在原點(0,0)不存在極限,當然不誶續(xù).數(shù)學學習與研究2011女氣,_二,二元函數(shù)f(.y)的偏導數(shù)函數(shù)f(,y)在區(qū)域d有定義,p(.,b)是d的內(nèi)點,稱極限li掣是,()在p(a,b)關(guān)于的偏導數(shù),記為(o,b).類似地有(.,b)=1i.若,()圖2在區(qū)域d對任意點(,y)都存在偏導數(shù),稱_廠(,y)在區(qū)域d存在偏導函數(shù),也簡稱偏導數(shù),表為(,y),/:(,y).設二元函數(shù)=_廠(,y)的圖像是曲面5(如圖3),f(,y)在點p.(n,b)關(guān)于的偏導數(shù)(o,b)就是一元函數(shù)=_廠(,b)在0的導數(shù),是平面y:b上曲線c:,y),在點ly=op(o,b,)(=f(.,b)的切線斜率tana.同樣,偏導數(shù)(,6)是平面:.上曲線c:_,(,y在點尸(口,6,l一.)的切線斜率ta.若(,y)與(,y)仍存在關(guān)于(或y)的偏導數(shù),稱他們是_廠(,y)的二階偏導(函)數(shù).二階及以上偏導數(shù)稱為高階(rt階)偏導數(shù),至多有2個.其中二階混合偏導數(shù)(,y)(先對后對y)與(,y)(先對y后對)不一定相等,當混合偏導數(shù)皆存在且連續(xù)時,二者才相等.如函數(shù)r2一2,(,y):jyyu在原點(o,o)存在(0,0):【0,xy=01,(0,0)=1.三,二元函數(shù)_廠(.y)的全微分若z=_廠(,y)在點(n,b)的全改變量az=,(0+ax,b+y)一_廠(0,b)可表為az=aax+bay+o(p),其中p=/()+(),稱_廠(,y)在(.,b)可微.aax+bay是_廠(,y)在(口,b)的全微分,表為=aax+bay或dz=(.,b)+(.,b).可微的幾何意義是空間曲面=i廠(,y)在點(n,b,)(=,(n,b)存在切平面.四,二元函數(shù)f(,y)的二重積分若,(,y)在有界閉區(qū)域r的積分和,(,叩)存在極限,=1jm_廠(,)atr,(1lll=maxd(,),i1ii_+d(r),d(r),稱函數(shù),(,y)在r可積,是二元函數(shù)八,y)在的二重積分,表為,=j,(,y)dxdy.連續(xù)必可積.可積未必連續(xù).五,二元函數(shù)f(,y)分析性質(zhì)之間的相互關(guān)系1.連續(xù)與偏導數(shù)連續(xù)=_+偏導數(shù)存在.如函數(shù),(,y):y在點(0,0)連續(xù),但它在點(0,0)的兩個偏導數(shù)都不存在,因為極限axz=m0=i,ax>0,.不存在,同樣極限也不存在.偏導數(shù)存在連嬙.女)=有l(wèi)lv:ij(0,o)=i_=o和4o,0)=o.bp廠(,y)在(o,o)存在偏導數(shù).但沿著直線y=o與y=(o),有l(wèi)i啦廠(,0)=limx=0與limf(,)=1,即,(,y)在(0,0)不存在極限,就在(0,0)不連續(xù).#幫霸專題研究一2.偏導數(shù)與可微偏導數(shù)存在,可微.如函數(shù),占=ixyl在點(0,0)存在偏導數(shù)(0,o):lim!2二!2:aaxlim.0-q-=0與(0,0)=o.特取a:y,有az=l?j=ll,p=,:i缸l,lip+up0.所以函數(shù)=lyj在(0,0)不2微(=ixyi圖像位于xy面上方過軸,關(guān)于軸,面與yz面對稱,第一卦限圖4的部分如圖4).加強條件可使_廠(,y)在點(.,b)可微,有定理:若函數(shù)_廠(,y)在點(n,b)的鄰域g存在兩個偏導數(shù),且兩個偏導數(shù)在(o,b)連續(xù),則_廠(,y)在(.,b)可微.偏導數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,而不是必要條件.,f(+y)sint,+y0,例3函數(shù)_廠(,y)=jy【0.+y2:0在(0,0)可微,但兩個偏導數(shù)(,y)與(,y)在(0,0)間斷.證明易得(0,0)=0(0,0)=0.有df=(0,0)+/=(0,o)ay=o.而af=(ax)+(y)sin(ax)+()psin(p=)_limp=圳口pp州ppf(,y)在(0,0)可微.v(,y):y0,有(,y)=2xsin去一cos南.當y=時li(,)不存在,即十x十y十y廠(,y)在(0,0)間斷;同理廠(,y)在(0,0)間斷.可微一偏導數(shù)存在.有定理:若f(,y)在點pn(o,b)可微,則,y)在點p.(.,b)存在兩個偏導數(shù),且在全微分表達式中,有a=廠(.,b)與b=廠(o,6).3.連續(xù)與可微可微一連續(xù).若二元函數(shù)f(,y)在點(n,b)可微,由全微分的定義.1imaz=limlaax+bay+o(p)=0,則函數(shù)f(,y)在點(.,b)連續(xù).連續(xù)_二_+可微.如錐面=否偏導數(shù)存在:=二=可微圖5v/_在頂點(o,0,0)連續(xù),但在頂點(o,0,o)不存在切平面,因此二元函數(shù)=胃在點(0,0)不可微.綜合可知,二元函數(shù)分析性質(zhì)之