線性系統(tǒng)理論試題.pdf

1 第第 2 章章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 一、狀態(tài)空間描述的建立一、狀態(tài)空間描述的建立 1 (由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述) 如圖電路，寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方 程。選擇狀態(tài)變量 x=uc，輸入變量 u =e(t)，輸出變量 y = uc。 解：如圖電路，寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。選擇狀態(tài)變量 x=uc，輸入變量 u =e(t)，輸出變量 y = uc。 解： 11 c c du euR C,xxu,yx dtRCRC =+= +=& 2(由輸入輸出描述建立狀態(tài)空間描述由輸入輸出描述建立狀態(tài)空間描述)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的狀態(tài)空 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的狀態(tài)空 間描述間描述 4126 5 )( 23 2 + + = sss ss sG 解：可控標(biāo)準(zhǔn)形，x115 1 0 0 x 6124 100 010 x= + =yu；&； 或可觀標(biāo)準(zhǔn)形，x100 1 1 5 x 610 1201 400 x= + =yu；& 3例例 2.3 給定單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的輸入輸出描述為 3 32 4160720 ( ) 16194640 ss G s sss + = + 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：解：此例中3mn=。由長除法得 32 3232 4160720646161840 ( )4 1619464016194640 ssss G s ssssss + =+ + 則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 e(t) R + - Cuc i 2 11 22 33 1 2 3 0100 0010 640194161 1840616644 xx xxu xx x yxu x =+ = + & & & 4例例 2.2：已知二階系統(tǒng)的微分方程 2 2yyyT uu+=+& 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：解：可控規(guī)范形實現(xiàn)為： 111 2 222 010 1 21 ccc ccc xxx uyT xxx =+= & & ； 則可觀測規(guī)范形實現(xiàn)為： 2 111 222 10 01 12 ooo ooo xxx uy xxxT =+= & & ； 二、傳遞函數(shù)矩陣的計算二、傳遞函數(shù)矩陣的計算 1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 G(s)， u 1 0 x 52 61 x + =&；x 02 10 =y 解： + + = + + = 12 1 76 1 1 0 52 61 02 10 )I()( 2 1 1s ss s s BAsCsG。 2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求系統(tǒng)的輸出變量和輸入變量之間的微分方程。 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求系統(tǒng)的輸出變量和輸入變量之間的微分方程。 160 xxu,01 x 251 y =+= & 解： 1 1 1656 1 I 252171 ss (sA) ss(s)(s) + = + ( ) 1 2 560 11 I01 2117167 s s g sc(sA) b s(s)(s)ss + + = + EMBED Equation.3( ) ( ) ( ) 2 1 67 67 y ss g syyyuu u sss + =+=+ + & 3 三、化對角線規(guī)范形三、化對角線規(guī)范形 1例例 2.9已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 0111 61162 61153 xxu = + & 求系統(tǒng)的對角線規(guī)范形。 解: 求系統(tǒng)特征值：系統(tǒng)的特征方程det()0sIA=，即 32 11 61166116(1)(2)(3)0 6115 s sssssss s +=+=+= 所以系統(tǒng)的 3 個特征值為： 123 1,2,3= = = ，特征值兩兩相異，可以化為 對角線規(guī)范形。 求 統(tǒng)特征向量：由 iii A=確定特征向量，與特征值 1 相對應(yīng)的特征 向量 1 由下式確定 11112131 1 111121112131 31112131 1110 ()06106061060 611661160 AIA += =+= += 上式有無窮多解， 設(shè) 21 0=， 從中可得 1131 pp=。 令 1131 1pp= ， 得， 同理可算出與特征根 2 、 3 相對應(yīng)的特征向量 2 、 3 為： 23 11 2 ,6 49 = 。 構(gòu)造變換矩陣P 并求逆： 1 123 5 32 111 2 026 ,343 1493 11 2 PP = 計算變換后系數(shù)矩陣 1 2 2 1 bP b = 定出對角線規(guī)范形狀態(tài)方程 4 11 22 33 1002 0202 0031 xx xxu xx =+ & & & 2例例 2.10 將下列系統(tǒng)狀態(tài)方程化為對角線規(guī)范形 1010 0100 0021 xxu =+ & 解： （解： （1）計算系統(tǒng)特征值）計算系統(tǒng)特征值 2 101 det()010(1) (2)0 002 s sIAsss s = 則系統(tǒng)特征值為 1 1 = （ 1 的代數(shù)重數(shù) 1 2 =） ， 2 2 =（ 2 的代數(shù)重數(shù) 2 1 = ） 。 （2）有重特征值，判斷是否可以化為對角規(guī)范形）有重特征值，判斷是否可以化為對角規(guī)范形 對于 2 重特征值 1 1 = ，它所對應(yīng)的特征矩陣 1122 1,1= ，得到 2 個屬于二重特征值 1 1 = 的特征向量 12 10 0 ,1 00 = 。 對于單特征值 2 2 =，由 iii A=有特征向量 3 1 0 1 = 。 （4）構(gòu)造變換矩陣、求逆并計算系數(shù)矩陣）構(gòu)造變換矩陣、求逆并計算系數(shù)矩陣 1 101101 010 ,010 001001 PP = ， 11 1 22 2 33 70000 05040 00175 xx u xx u xx =+ & & & 解：由于對角規(guī)范型中B 包含元素全為零的行，故系統(tǒng)不完全能控。 3 （約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用）判斷下面系統(tǒng)的能控性和能觀性 （約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用）判斷下面系統(tǒng)的能控性和能觀性 110001 010011 1000 001010 000210 xxuyx =+= & 5 解：能控。不能觀。 4例例 4.15（約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用） ：（約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用） ：判斷下述系統(tǒng)的能控性 uxx + = 20 10 02 200 020 001 . 解：解： 1 11 20 r B=b不是全為零的行， 21 22 2 01 02 r r B = b b ，行線性相關(guān)。 所以，系統(tǒng)不完全能控。 5例例 4.12：確定使下列系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的待定參數(shù)的：確定使下列系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的待定參數(shù)的 a，b，c 取值范圍 （ 取值范圍 （ 1 ） D Equation.3 0100 01 000 xabxu c = + &（ 2 ） 2010 4160 12618 a xxb u c =+ & 解： （）n = 3，能控性判別陣為 22 01 1 00 b SBABA Bbba c = 系統(tǒng)完全能控必有det0S 成立（此時3rankS =） ，即 2 01 det10 00 b Sbbaac c = 系統(tǒng)完全可控時參數(shù)取值范圍：0ac ，b任意。 （2） 若應(yīng)用秩判據(jù)， 通過計算det0S 來求， 理論上可行， 但此題很難從det0S 中解出a,b,c 的取值范圍，計算很困難，故考慮使用PBH 秩判據(jù)。根據(jù)狀態(tài)方程可寫 出： 令det()0sIA=求特征值得 6 3 2010 det()4160(18) (20)(16)4(18)0 12618 s sIAsssss s =+= 故特征值為：。 當(dāng)時，有 210 4203 1260 a rank sIABrankb c = 因為第 1 列與第 2 列線性相關(guān)， 第 3 列為 0， 故不管 a,b,c 取何值，rank sIAB 最大為 2，所以：a,b,c 為任何值都不能控。 6已已知知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 1 05 ab yc = xxx& 且且狀態(tài)完全能觀，求狀態(tài)完全能觀，求cba,。 解： 1 2 5 o cc rankQrank cAabc = ，det50 o Qbcac= 9例例 4.25：已：已知知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 32 ( ) 7148 sa G s sss + = + 設(shè)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控且且完全可觀完全可觀, 試試求求 a 的范圍。的范圍。 解：解：這種題型的解題思路：可先寫出系統(tǒng)的能控（或能觀測）規(guī)范形實現(xiàn)，再通 過判據(jù)確定使系統(tǒng)完全能觀測（或能控）的參數(shù)范圍即可。 寫出可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)，然后檢查可觀性： 0100 0010 81471 xxu =+ &； 10 yax= 能控規(guī)范形系統(tǒng)完全可控，故只檢查能觀測性即可。能觀測性判別陣： 2 10 01 8147 Ca VCAa CAa = 7 系統(tǒng)完全可觀，必有3 o rankQn=，即必有det0 o Q ，即 32 10 det0171480(1)(2)(4)0 8147 o a Qaaaaaaa a =+ 所以 a1 1 、 a2 2 和 a3 4 時系統(tǒng)完全能控且完全能觀測。 二、能控性二、能控性指指數(shù)和能觀數(shù)和能觀測測性性指指數(shù)數(shù) 1. 例例 4.17 給定一個連續(xù)時間線性時不變 系統(tǒng)為 EMBED Equation.DSMT4 14220 06101 , 3, 2 17111 xxunrankB =+= & 通過計算得到 2 204 0113 111 c rankQrank BABA Brankn = = 這表明，系統(tǒng)完全能控，且能控 性指數(shù)集和能控性指數(shù)為 12 2,1=和 12 max2,12= 三、化能控規(guī)范形和能觀三、化能控規(guī)范形和能觀測測規(guī)范形規(guī)范形 1求下面系統(tǒng)的能觀測規(guī)范形 (要求寫出變換矩陣) 8 0110 61160 61151 1 10 xxu y = + = & 解： 32 det()6116sIAsss=+ 2 110 61053 304929 c rankcArank cA = ，系統(tǒng)能觀測，能化成能觀規(guī)范形。 引入變換矩陣： 1611304929501 0166105045 001110110 Q = 則能觀測規(guī)范形為： 1 0061 1011 ,5 ,001 0160 ooo ABQbCCQ = 四四、結(jié)結(jié)構(gòu)分解：構(gòu)分解： 例例 4.31（胡壽松胡壽松 P497例例 9- 21） ： 已知系統(tǒng)(), ,A b c ，其中 1210 010011 1 1431 A = bc， 試將系統(tǒng)作能控性規(guī)范分解。 解：解：1）能控性判別矩陣 2 014 000 138 c QbAbA b = ，rank23 c Q = ；故系統(tǒng)不完全能控。 2） 從能控性矩陣中選出兩個線性無關(guān)的列向量001 T 和103 T ， 附加任 意列向量010 T ，構(gòu)成非奇異變換矩陣 1 P： = 031 100 010 1 P 則： 9 = 010 001 103 P， 11 0421 1420121 0010 APAPPP = ，b =bc = c 即可得到系統(tǒng)按能控性分解的規(guī)范表達(dá)式為： 0421 1420121 0010 ccc ccc =+ & & xxx u,y = xxx 故能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為： 0421 1420 12 ccc cc =+ = xxxu yx & 不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為： 五五、最小實現(xiàn)最小實現(xiàn) 1例例 4.35（補充補充）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 32 32 2205539 ( ) 102718 sss G s sss + = + 試求出系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)。 解: 32 3232 22055393 ( )2 102718102718 ssss G s ssssss + =+ + 2 31 22 (1)(3)(6)76 s sssss + =+=+ + 則最小實現(xiàn)為： 010 671 102 xxu yxu =+ =+ & 第第 5 章章 系統(tǒng)系統(tǒng)運動運動的的穩(wěn)穩(wěn)定性定性 定定常常系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性判斷：定性判斷： 1例例 1（補充補充，結(jié)論結(jié)論 5.3，5.6 的應(yīng)用的應(yīng)用）已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 10 100 111 1 1 xxu yx =+ = & 判斷系統(tǒng)的 BIBO 穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。 解： （解： （1）傳遞函數(shù)矩陣 1 1 100 1 ( )()1 1 1111 s G sc sIAb ss = + 極點1s = 具有負(fù)實部，所以系統(tǒng)是 BIBO 穩(wěn)定的。 （2）由系統(tǒng)特征方程 10 ( )det()det(1)(1)0 11 s ssAss s =+= + I 求得系統(tǒng)矩陣 A 的特征值為 12 1,1= = ，因其具有一個正的實特征值，不滿足 系統(tǒng)矩陣 A 的特征值均具有負(fù)實部的條件，所以不是漸近穩(wěn)定的。 2例例 5.5（補充補充，結(jié)論結(jié)論 5.22 的應(yīng)用的應(yīng)用）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 000 000 001 = xx& 解：解：系統(tǒng)矩陣 A 為奇異矩陣，系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 1 2 0 e x x = x，其中 1 x 和 2 x 為任意實數(shù)，即狀態(tài)空間中 12 xx平面上的每一個點均為 平衡狀態(tài)，解系統(tǒng)的特征方程 2 det()(1)0sIAss=+= 得特征值分別為： 123 1 ,0= =。又： () 1 1 2 2 00(1)00 1 000(1)0 (1) 00100 100 1 010 (1) 00 ss s sIAss s ss ss s s s s s + =+ + + + =+ + 顯然，最小多項式為 ( )(1)ss s=+。系統(tǒng)所有特征值均具有非正實部，且具有零 實部的特征值是最小多項式的單根， 因此系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)都是李亞普諾夫 意義下穩(wěn)定的。 11 3例例 5.6（補充，（補充，結(jié)論結(jié)論 5.23 的應(yīng)用的應(yīng)用） ：） ：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 010 001 6116 = xx& 解：解：系統(tǒng)矩陣 A 為非奇異，顯然原點=x0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，解系統(tǒng)的特 征方程 32 det ()6116(1)(2)(3)0sIAssssss=+=+= 得特征值分別為： 123 1,2 ,3= = = 。顯然，系統(tǒng)的所有特征值都具有 負(fù)實部，所以系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) e =x0是漸近穩(wěn)定的。 4例例 5.7（結(jié)論結(jié)論 5.24）設(shè)系統(tǒng)為 12 212 2 xx xxx = = & & 試用李亞普諾夫方程判斷系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。 解：解：系統(tǒng)狀態(tài)方程為 01 21 = xx& ，則，EMBED Equation.DSMT4 det20A = Q，即 A 為非奇異矩陣，原點 x=0 是唯一平衡狀態(tài)。 令李亞普諾夫方程為 T A PPAQ+= = I 1112 1222 T pp PP pp = 則有 11121112 12221222 020110 112101 pppp pppp += 得到： 得到 3 個線性方程 = = = = =+ = ； 25 . 0 25 . 0 75 . 0 122 02 14 22 12 11 2212 221211 12 p p p pp ppp p ， = 25 . 0 25 . 0 25 . 0 75 . 0 P 12 由于 11 0.750p= ，det0.250P = ，故 P 負(fù)定，則系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。 5求系統(tǒng)求系統(tǒng) ux a x + = 1 0 0 53 100 010 &的的原點平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定時參數(shù)原點平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定時參數(shù)a的取值范圍。的取值范圍。 解： 32 det()53sIAsass=+, 勞斯表計算 芻芻 第第 6 章章 線性線性反饋反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)的時時間間域綜合域綜合 一、狀態(tài)一、狀態(tài)反饋反饋對系統(tǒng)能控性、能觀對系統(tǒng)能控性、能觀測測性的性的影響影響： 1例例 6.1(補充題補充題 ) ：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 （ ：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 （1）求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； （ ）求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； （2）引入狀態(tài)變量的線性反饋，反饋增益矩陣為）引入狀態(tài)變量的線性反饋，反饋增益矩陣為482K =，反饋后閉環(huán)系 統(tǒng)的能控性和能觀性是否改變，請說明理由。 解 ，反饋后閉環(huán)系 統(tǒng)的能控性和能觀性是否改變，請說明理由。 解:根據(jù)傳遞函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)與能控規(guī)范型系數(shù)矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系，可直 接寫出 2 1 (3) s ss + = + 注：也可由公式計算 1 32 1 ( )() 3 s G sc sIAb ss + = + (2)定理：系統(tǒng)定理：系統(tǒng)實現(xiàn)實現(xiàn)EMBED Equation.DSMT4為為最小實現(xiàn)最小實現(xiàn)，即即為能控為能控且且能能 觀觀測測的的充要條件充要條件是， 傳遞函數(shù)是， 傳遞函數(shù) G(s)的分的分子子分分母母間間沒沒有有零極點零極點的對的對消消， 即即EMBED Equation.DSMT4與與EMBED Equation.DSMT4互質(zhì)互質(zhì)。 本題本題求出的求出的 G(s) 的分的分子子分分母母間間沒沒有有零極點零極點的對的對消消，是，是互質(zhì)互質(zhì)的，的，所所以以原原系統(tǒng)是完全能控系統(tǒng)是完全能控且且完全能完全能 13 觀測的。觀測的。 引入上述狀態(tài)反饋后的閉環(huán)反饋系統(tǒng)是能控不能觀測的，即能控性不變， 能 觀性發(fā)生了改變。 狀態(tài)反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性，而能觀測性是否發(fā)生改變，要視具體 情況而定，討論如下： 引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 0100 ()0010,1 10 4851 AbKbvxuycx =+=+= & x xx 其傳遞函數(shù)矩陣為： 3222 111 ( ) 584(2) (1)(2) k ss G s ssssss + = + 閉環(huán)反饋系統(tǒng)出現(xiàn)零極點對消，被對消掉的極點就不能觀測了，所以引入狀態(tài)反 饋后的閉環(huán)反饋系統(tǒng)是能控不能觀測的。 二、狀態(tài)二、狀態(tài)反饋鎮(zhèn)反饋鎮(zhèn)定定問題問題： 1例例 6.2(補充題補充題) ：已：已知知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 11 22 33 8001 0100 0022 xx xxu xx =+ & & & 能否能否通過通過狀態(tài)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)反饋鎮(zhèn)定定？請說明？請說明理由。理由。 解：解：由于此對角規(guī)范型中 c 包含元素全為零的行，故系統(tǒng)不完全能控。不能控的 特征值為- 1，滿足結(jié)論 6.16: 當(dāng)且僅當(dāng)線性定常系統(tǒng)的不能控部分漸近穩(wěn)定時， 系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。故該系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。 2例例 6.3(補充題補充題) ：已：已知知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 111 222 333 0011 1031, 012 0130 xxx xxuyx xxx =+= & & & 判斷系統(tǒng)能控性，判斷系統(tǒng)能控性，若不若不完全能控，完全能控，請進(jìn)行結(jié)請進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，并構(gòu)分解，并討論討論能否用狀態(tài)能否用狀態(tài)反饋反饋使使 閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定。定。 解：解：1. 因為 2 101 11323 012 c rankQrank bAbA brankn = ，故系統(tǒng)不 完全能控。 14 . 結(jié)構(gòu)分解：構(gòu)造變換矩陣 1 100 110 011 P = ，計算得 100 110 111 P = 計算： 11 0111 122 0 = 112 0010 APAPBPBCCP = 所以系統(tǒng)按能控性結(jié)構(gòu)分解后的狀態(tài)方程為 11 22 33 0111 1220 0010 xx xxu xx =+ & & & 可見，不能控子系統(tǒng)對應(yīng)的特征值為 3 1 = ，即不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的， 而能控子系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點的任意配置， 故用狀態(tài)反饋可以使閉 環(huán)統(tǒng)定。 三、三、極點配置與極點配置與狀態(tài)觀狀態(tài)觀測器設(shè)測器設(shè)計計 1 （ （極點配置問題極點配置問題） ：已） ：已知知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 u + = 1 1 0 x 9116 250 010 x & ，x132=y； 求狀態(tài)求狀態(tài)反饋反饋 矩矩鴕鴕 K=酫酫 k2k3，使使閉閉 環(huán)環(huán)系統(tǒng)的特系統(tǒng)的特 征值為征值為-2，-4，-5。 解：期望特征多項式為403811)( 23 +=ssss； 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為： 1267)67167()14()( 31321 2 32 3 +=kkskkkskkss K ； 比較特征多項式系數(shù)得到22.1522.4004 . 9 =K。 2 （ （極點配置問題極點配置問題）:例例 6.8 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 (2)(3) ( ) (1)( - 2)(4) ss g s sss + = + 試問：是否存在狀態(tài)反饋矩陣 k，使閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 3 ( ) (2)(4) k s gs ss + = + 求狀態(tài)求狀態(tài)反饋反饋矩陣矩陣 K= k1k2k3，使，使閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為系統(tǒng)的特征值為-2，-4，-5 15 如果存在，求出