材料力學(xué)--彎曲變形.ppt

第 七 章 彎曲變形,7.2 撓曲線的近似微分方程,7.3 用積分法求撓度和轉(zhuǎn)角,7.4 用疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角,第七章 彎曲變形,7.5 梁的剛度計(jì)算,7.1 概述,7.6 簡單超靜定梁,7.7 梁的彎曲應(yīng)變能,7.8 提高彎曲剛度的措施,彎曲變形,7-1 概述,若變形過大，會(huì)引起較大的振動(dòng)，破壞起吊工作的平穩(wěn)性。,一、工程中的彎曲變形問題,4,彎曲變形,若變形過大，不僅會(huì)影響齒輪的嚙合和軸承的配合，使傳動(dòng)不平穩(wěn)，磨損加快，而且還會(huì)嚴(yán)重地影響加工精度。,又如，車床主軸：,5,彎曲變形,又如，如圖所示輪軸：,若輪軸的變形過大，會(huì)使輪子不能正常嚙合，影響工作的平穩(wěn)性等。,6,彎曲變形,但有時(shí)又有相反要求，要求構(gòu)件有適當(dāng)變形，才能符合使用要求。,如汽車疊板彈簧，要求產(chǎn)生較大變形，才能在車輛行駛時(shí)發(fā)揮緩沖減振作用符合使用要求。,此外，彎曲變形的計(jì)算還經(jīng)常應(yīng)用于超靜定系統(tǒng)的求解。,二、彎曲變形的量度撓度和轉(zhuǎn)角,原為直線的軸線AB彎曲成光滑而連續(xù)的曲線，,該曲線稱為該梁的撓曲線。,在平面彎曲的情況下，撓曲線是位于載荷平面內(nèi)的平面曲線。,豎直位移 w 稱為撓度，取向上為正。,橫截面的轉(zhuǎn)角，和撓曲線在該截面形心處的切線與x 軸的夾角相等。,小變形：,彎曲變形,撓曲線方程：,任意截面形心C,三位移：,水平位移x，,豎直位移w,角位移，,忽略,= w,角位移 稱為轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針方向?yàn)檎?彎曲變形,7.2 撓曲線的近似微分方程,前一章已得到：,純彎曲梁,橫力彎曲梁（近似）,任意曲線曲率,或,則有,9,彎曲變形,例7-2-1 畫出下列梁的撓曲線大致形狀。,A,m,m,C,B,L,L,解: 建立坐標(biāo)系并作彎矩圖,AB段:, w上凸,BC段:,同時(shí)B處須滿足連續(xù)光滑條件，即曲線與直線在B點(diǎn)相切。,邊界條件:, w=0,10,彎曲變形,例7-2-2 等截面直梁，其撓曲線 ，長度為l，確定梁的載荷、支撐情況。,故可確定其為懸臂梁。,解: 作彎矩圖、剪力圖,邊界 條件,轉(zhuǎn)角方程,撓度方程,C、D 為積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。,邊界條件:,固定端：w0；0；,鉸支座：w0；,彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：0。,連續(xù)性條件: 撓曲線上任意點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角只有一個(gè)值。,彎曲變形,7-3 用積分法求梁的變形,例7-3-1用積分法求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定絕對(duì)值最大的轉(zhuǎn)角和最大的撓度。設(shè)EI為常量。,解：(1) 求支反力，列彎矩方程,(2) 建立撓曲線近似微分方程，并積分,(3) 利用邊界條件確定積分常數(shù),彎曲變形,(5) 求最大值,(4) 求轉(zhuǎn)角方程、撓度方程,彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：0。,彎曲變形,例7-3-2 用積分法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度，EI為常量。,解：(1) 分段寫彎矩方程,(2) 分段建立撓曲線近似微分方程，并積分,彎曲變形,(3) 確定積分常數(shù),邊界條件:,連續(xù)性條件:,(4) C截面的撓度和轉(zhuǎn)角,彎曲變形,AC段：,AB段：,疊加原理：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，梁的某一參量（反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形）等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參量的代數(shù)和。,疊加法：應(yīng)用疊加原理計(jì)算梁的某一參量的方法。 前提條件：小變形，材料服從虎克定律。,* 表7-1,彎曲變形,7-4 用疊加法求梁的變形,=,+,例7-4-1 用疊加法求C點(diǎn)撓度。,解： 簡單載荷引起的變形,彎曲變形, 疊加,表7.1第7欄,表7.1第9欄,F,例7-4-2 用疊加法求C點(diǎn)撓度。,解:積分法,彎曲變形,表7.1第8欄,例7-4-3 用疊加法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,a,l,A,B,F,C,解：(1) 假設(shè)CA段為剛性，研究簡支梁AB的變形所引起的C截面的轉(zhuǎn)角和撓度,A,B,C,(2) 假設(shè)AB段為剛性，外伸段CA看作懸臂梁：,表7.1第2欄,表7.1第5欄,(3) 疊加法求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角,彎曲變形,例7-4-4 等截面剛架A端的水平位移xA 和豎直位移yA。,b,EI,C,EI,P,A,B,等價(jià),等價(jià),解：(1) 剛化AB段：,(2) 剛化BC段：,彎曲變形,剛化AB:,剛化BC:,(3) 疊加：,*逐段剛化法,彎曲變形,2a,A,B,q,例7-4-5 用疊加法求中點(diǎn)C撓度和梁端截面B的轉(zhuǎn)角。,C,D,E,2l,解： C為對(duì)稱點(diǎn)，故C截面的轉(zhuǎn)角為0。,表7.1第2欄,在RB作用下：,表7.1第4欄,在 q 作用下：,彎曲變形,一、剛度條件：,疊加：,彎曲變形,2a,A,B,q,C,D,E,2l,7-5 梁的剛度計(jì)算,例7-5-1 一空心圓桿，內(nèi)外徑：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C點(diǎn)的w/L=0.0001，B點(diǎn)的 =0.001弧度，試核此桿的剛度。,+,彎曲變形,解：查表求簡單載荷變形, 疊加,=,校核剛度,彎曲變形,剛度條件滿足。,26,一、基本概念,彎曲變形,2 超靜定問題：單純依靠靜力平衡方程不能確定出全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。,1 靜定問題：單純依靠靜力平衡方程能夠確定全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。,3 超靜定次數(shù) n ：n = 未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù),7-6 簡單超靜定梁,27,1 靜定結(jié)構(gòu)除荷載外，其他因素如溫度改變、支座移動(dòng)、制造誤差、材料收縮等都不引起內(nèi)力，即靜定結(jié)構(gòu)無裝配應(yīng)力、無溫度應(yīng)力等；而超靜定結(jié)構(gòu)中，任何因素都可能引起內(nèi)力。,2 靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸無關(guān)，而超靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)。,二、 超靜定結(jié)構(gòu)的特性,3 超靜定結(jié)構(gòu)的剛度比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)要大。,4 超靜定結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系破壞后，仍然能維持幾何不變性，而靜定結(jié)構(gòu)在任一聯(lián)系破壞后就變成了幾何可變體系。,彎曲變形,求解彎曲超靜定問題時(shí)，首先要選擇原超靜定結(jié)構(gòu)的靜定基，得其相當(dāng)系統(tǒng)。,28,=,彎曲變形,q0,l,A,B,例7-7-1 求支座B的反力。,（2）變形協(xié)調(diào)方程：,解：(1) 確定靜定基，得 原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：,+,(3)物理方程,(4)補(bǔ)充方程,變形比較法,29,(2）變形協(xié)調(diào)方程：,解：(1)確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：,例7-7-2 求BC桿的內(nèi)力。,+,=,彎曲變形,30,(3)物理方程,(4)補(bǔ)充方程,等價(jià),q0,+,=,彎曲變形,31,彎曲變形,例7-7-3 如圖所示雙梁系統(tǒng)，彈簧剛度K，上下梁的抗彎剛度均為EI，求（1）彈簧受力大小，（2）當(dāng)P/(q0l) =?時(shí)彈簧不受力。,l/2,l/2,l/2,l/2,解：(1)確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：,32,彎曲變形,（5）令F=0，,(2)變形協(xié)調(diào)方程：,(3)物理方程,(4)補(bǔ)充方程,F,下梁,F,上梁,得P/q0l=5/8,33,彎曲變形,例7-7-4 兩端固定梁，求內(nèi)力。,B,A,C,F,a,b,l,二次超靜定結(jié)構(gòu),(2) 變形協(xié)調(diào)方程：,解：(1)確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：,(3) 物理方程,34,彎曲變形,(4)補(bǔ)充方程,B,A,C,a,b,l,(5)疊加法求內(nèi)力,F,35,一、,彎曲應(yīng)變能：,應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能,彎曲變形,曲率,7-7 梁的彎曲應(yīng)變能,36,例7-8-1 用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。,解：外力功等于應(yīng)變能,利用對(duì)稱性，得：,思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？,彎曲變形,撓曲線近似微分方程：,轉(zhuǎn)角方程,撓度方程,C、D 積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。,彎曲剛度條件：,彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：,彎曲變形,7-8 提高彎曲剛度的措施,一、選擇合理的截面,對(duì)于面積相等的不同形狀的截面，