優(yōu)化建模與LINGO第10章.ppt

優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件 第 10 章 排隊論模型,內容提要,10.1 排隊服務系統(tǒng)的基本概念 10.2 等待制排隊模型 10.3 損失制排隊模型 10.4 混合制排隊模型 10.5 閉合式排隊模型 10.6 排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型,10. 1 排隊服務系統(tǒng)的基本概念,排隊論(Queueing Theory)又稱隨機服務系統(tǒng), 是通過研究 各種服務系統(tǒng)等待現(xiàn)象中的概率特征，從而解決服務系 統(tǒng)最優(yōu)設計與最優(yōu)控制的一種理論.,1. 排隊的例子及基本概念,某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供服務。新來 維修的顧客到達后，若已有顧客正在接受服務，則需要排隊 等待。若排隊的人數(shù)過多，勢必會造成顧客抱怨，會影響到 公司產(chǎn)品的銷售；若維修人員多，會增加維修中心的支出， 如何調整兩者的關系，使得系統(tǒng)達到最優(yōu).,例10.1 排隊的例子,它是一個典型的排隊的例子, 關于排隊的例子有很多, 例如： 上下班坐公共汽車, 等待公共汽車的排隊; 顧客到商店購物形 成的排隊; 病人到醫(yī)院看病形成的排隊; 售票處購票形成的排 隊等; 另一種排隊是物的排隊，例如文件等待打印或發(fā)送; 路 口紅燈下面的汽車、自行車通過十字路口等等.,排隊現(xiàn)象是由兩個方面構成，一方要求得到服務，另一方設 法給予服務。我們把要求得到服務的人或物（設備）統(tǒng)稱為 顧客, 給予服務的服務人員或服務機構統(tǒng)稱為服務員或服務 臺。顧客與服務臺就構成一個排隊系統(tǒng)，或稱為隨機服務系 統(tǒng)。 顯然缺少顧客或服務臺任何一方都不會形成排隊系統(tǒng).,對于任何一個排隊服務系統(tǒng)，每一名顧客通過排隊服務系統(tǒng) 總要經(jīng)過如下過程：顧客到達、排隊等待、接受服務和離 去，其過程如下圖所示:,輸入過程,顧客源總體：顧客的來源可能是有限的，也可 能是無限的,2. 排隊服務系統(tǒng)的基本概念,到達的類型：顧客是單個到達，或是成批到達,相繼顧客到達的間隔時間：通常假定是相互獨 立、同分布的，有的是等距間隔時間，有的是 服從Poisson分布，有的是服從k階Erlang分布,輸入過程是描述顧客來源及顧客是按怎樣的規(guī)律抵達排隊系統(tǒng),排隊規(guī)則,損失制排隊系統(tǒng)：顧客到達時,若有服務臺均被占,服務機構 又不允許顧客等待, 此時該顧客就自動辭去,2. 排隊服務系統(tǒng)的基本概念,等待制排隊系統(tǒng)：顧客到達時若所有服務臺均被占，他們 就排隊等待服務。在等待制系統(tǒng)中,服務 順序又分為：先到先服務,即顧客按到達 的先后順序接受服務；后到先服務 .,混合制排隊系統(tǒng)：損失制與等待制的混合，分為隊長(容量) 有限的混合制系統(tǒng)，等待時間有限的混 合制系統(tǒng)，以及逗留時間有限制的混合 系統(tǒng).,排隊規(guī)則是指服務允許不允許排隊，顧客是否愿意排隊,服務機構,服務臺的數(shù)目: 在多個服務臺的情形下，是串 聯(lián)或是并聯(lián)；,2. 排隊服務系統(tǒng)的基本概念,顧客所需的服務時間服從什么樣的概率分布， 每個顧客所需的服務時間是否相互獨立，是成 批服務或是單個服務等。常見顧客的服務時間 分布有：定長分布、負指數(shù)分布、超指數(shù)分 布、k階Erlang分布、幾何分布、一般分布等.,3.符號表示,排隊論模型的記號是20世紀50年代初由D. G. Kendall (肯 達爾)引入的，通常由35個英文字母組成，其形式為,其中A表示輸入過程，B表示服務時間，C表示服務臺數(shù)目，n表示系統(tǒng)空間數(shù)。例如:,M/M/S/ 表示輸入過程是Poisson流, 服務時間服從負 指數(shù)分布, 系統(tǒng)有S個服務臺平行服務, 系統(tǒng)容量為無窮的 等待制排隊系統(tǒng).,(2) M/G/1/ 表示輸入過程是Poisson流，顧客所需的服務 時間為獨立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個服務 臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng).,GI/M/1/表示輸入過程為顧客獨立到達且相繼到達的間 隔時間服從一船概率分布，服務時間是相互獨立、服從負指 數(shù)分布，系統(tǒng)中只有一個服務臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng),3. 符號表示,(4) Ek/G/1/K表示相繼到達的間隔時間獨立、服從k階Erlang 分布，服務時間為獨立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一 個服務臺，容量為K的混合制系統(tǒng).,(5) D/M/S/K表示相繼到達的間隔時間獨立、服從定長分布、 服務時間相互獨立、服從負指數(shù)分布，系統(tǒng)中有S個服務臺 平行服務，容量為K的混合制系統(tǒng).,4. 描述排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標,隊長與等待隊長,隊長(通常記為LS)是指在系統(tǒng)中的顧客的平均數(shù)(包括正在接受服務的顧客),而等待隊長(通常記為Lq)是指系統(tǒng)中排隊等待的顧客的平均數(shù)，它們是顧客和服務機構雙方都十分關心的數(shù)量指標。顯然隊長等于等待隊長加上正在被服務的顧客數(shù).,顧客的平均等待時間與平均逗留時間,顧客的平均等待時間(通常記為Wq)是指從顧客進入系 統(tǒng)的時刻起直到開始接受服務止的平均時間。平均逗 留時間(通常記為Ws)是指顧客在系統(tǒng)中的平均等待時 間與平均服務時間之和。平均等待時間與平均服務時 間是顧客最關心的數(shù)量指標.,4. 描述排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標,系統(tǒng)的忙期與閑期,從顧客到達空閑的系統(tǒng)，服務立即開始，直到系統(tǒng)再次變?yōu)榭臻e，這段時間是系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時間，我們稱為系統(tǒng)的忙期，它反映了系統(tǒng)中服務機構的工作強度，是衡量服務機構利用效率的指標，即,與忙期對應的是系統(tǒng)的閑期，即系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時 間長度.,服務機構 工作強度,用于服務顧客的時間 服務設施總的服務時間,服務設施總的空閑時間 服務設施總的服務時間,5. Little（利特爾）公式,用 表示單位時間內顧客到達的平均數(shù),表示單位時間內 被服務完畢離去的平均顧客數(shù)，因此1/ 表示相鄰兩顧客到 達的平均時間，1/ 表示對每個顧客的平均服務時間. J. D. C. Little給出了如下公式：,6. 與排隊論模型有關的LINGO函數(shù),(1) peb (load, S) 該函數(shù)的返回值是當?shù)竭_負荷為load, 服務系統(tǒng)中有S個服務 器且允許排隊時系統(tǒng)繁忙的概率,也就是顧客等待的概率. (2) pel (load, S) 該函數(shù)的返回值是當?shù)竭_負荷為load, 服務系統(tǒng)中有S個服務 器且不允許排隊時系統(tǒng)損失概率, 也就是顧客得不到服務離 開的概率. (3) pfs (load, S, K) 該函數(shù)的返回值是當?shù)竭_負荷為load, 顧客數(shù)為K,平行服務 器數(shù)量為S時, 有限源的Poisson服務系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù) 的期望值.,10. 2 等待制排隊模型,等待制排隊模型中最常見的模型是,即顧客到達系統(tǒng)的相繼到達時間間隔獨立，且服從參數(shù) 為的負指數(shù)分布(即輸入過程為Poisson過程), 服務臺 的服務時間也獨立同分布, 且服從參數(shù)為的負指數(shù)分 布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠排隊.,1. 等待制排隊模型的基本參數(shù),(1) 顧客等待的概率Pwait,其中S是服務臺或服務員的個數(shù)，load是系統(tǒng)到達負荷， 即 load=/=R*T, 式中R表示, T表示1/, R表示, 在下面的程序中，因此，R或是顧客的平均到達率， 是顧客的平均被服務數(shù)，T 就是平均服務時間.,1. 等待制排隊模型的基本參數(shù),(2) 顧客的平均等待時間Wq,其中T/(S-load)是一個重要指標，可以看成一個“合理的 長度間隔”。注意，當loadS時，此值趨于無窮。也就 是說，系統(tǒng)負荷接近服從器的個數(shù)時，顧客平均等待時 間將趨于無窮. 當load S時, 上式Wq無意義。其直觀的解釋是：當系統(tǒng) 負荷超過服從器的個數(shù)時, 排隊系統(tǒng)達不到穩(wěn)定的狀態(tài), 其隊將越排越長.,1. 等待制排隊模型的基本參數(shù),顧客的平均逗留時間Ws、隊長Ls和等待隊長Lq 這三個值可由Little公式直接得到,2. 等待制排隊模型的計算實例,S=1的情況(M/M/1/) 即只有一個服務臺或一名服務員服務的情況.,例10.2 某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供服 務。新來維修的顧客到達后，若已有顧客正在接受服務， 則需要排隊等待。假設來維修的顧客到達過程為Poisson 流，平均4人/小時，維修時間服從負指數(shù)分布，平均需要 6分鐘。試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標。,解 按照式上面分析, 編寫LINGO程序，其中R=4, T=6/60, load=R.T,S=1. 程序名:exam1002.lg4.,2. 等待制排隊模型的計算實例,由此得到： (1) 系統(tǒng)平均隊長 Ls=0.6666667, (2) 系統(tǒng)平均等待隊長 Lq=0.2666667, (3) 顧客平均逗留時間 Ws=0.1666667(小時)=10(分鐘) (4) 顧客平均等待時間 Wq=0.06666667(小時)=4(分鐘) (5) 系統(tǒng)繁忙概率 P wait=0.4,在商業(yè)中心處設置一臺ATM機，假設來取錢的顧客平均每 分鐘0.6個，而每個顧客的平均取錢的時間為1.25分鐘，試 求該ATM機的主要數(shù)量指標.,解 只需將上例LINGO程序作如下改動：R=0.6,T=1.25 即 可得到結果.程序名:exam1003.lg4.計算結果見運行,例10.3,即平均隊長為3人，平均等待隊長為2.25人，顧客平均逗留 時間5分鐘，顧客平均等待時間為3.75分鐘，系統(tǒng)繁忙概率 為0.75.,S1的情況(M/M/S/) 表示有多個服務臺或多名服務員服務的情況,例10. 設打印室有3名打字員, 平均每個文件的打印時間為10分鐘，而文件的到達率為每小時15件，試求該打印 室的主要數(shù)量指標.,解 按照上面分析, 編寫LINGO程序, 程名:exam1004.lg4.,計算結果分析：即在打字室內現(xiàn)有的平均文件數(shù)為6.011 件，等待打印平均文件數(shù)3.511件，每份文件在打字室平 均停留時間為0.400小時（24分鐘），排隊等待打印的平 均時間0.234小時(14分鐘),打印室不空閑的概率0.702.,某售票點有兩個售票窗口，顧客按參數(shù)=8人/分鐘的 Poisson流到達，每個窗口的售票時間均服從參數(shù)=5人/分 鐘的負指數(shù)分布，試比較以下兩種排隊方案的運行指標.,(1) 顧客到達后,以1/2的概率站成兩個隊列，如右圖所示：,例10.5,(2) 顧客到達后排成一個隊列, 顧客發(fā)現(xiàn)哪個窗口空時, 他就 接受該窗口的服務，如下圖所示:,解 (1) 實質上是兩個獨立的M/M/1/系統(tǒng),其參數(shù)S=1, R=1=2=4, T=1/=1/5=0.2, 編寫其LINGO程序，程序 名: exam1005a.lg4. 計算結果見運行,例10.5,(2) 是兩個并聯(lián)系統(tǒng), 其參數(shù)S=2,R=8, T=1/=1/5=0.2, 編寫其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 計算結果見 運行,兩種系統(tǒng)的計算結果,從上表中所列的計算結果可以看出,在服務臺的各種性能指 標不變的情況下,采用不同的排隊方式,其結果是不同的. 從 表得到,采用多隊列排隊系統(tǒng)的隊長為4,而采用單排隊系統(tǒng) 總隊長為4.444, 也就是說每一個子隊的隊長為2.222,幾乎是 多列隊排隊系統(tǒng)的1/2, 效率幾乎提高了一倍.,例10.5 比較分析,10. 3 損失制排隊模型,損失制排隊模型通常記為,當S個服務器被占用后，顧客自動離去。其模型的基本 參數(shù)與等待制排隊模型有些不同, 我們關心如下指標：,(1) 系統(tǒng)損失的概率,其中l(wèi)oad是系統(tǒng)到達負荷,S是服務臺或服務員的個數(shù).,1.損失制排隊模型的基本參數(shù),(2)單位時間內平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù)(e或Re),(3)系統(tǒng)的相對通過能力Q與絕對通過能力A,(4)系統(tǒng)在單位時間內占用服務臺(或服務員)的均值Ls,注意: 在損失制排隊系統(tǒng)中, Lq=0, 即等待隊長為0.,(5)系統(tǒng)服務臺（或服務員）的效率,(6)顧客在系統(tǒng)內平均逗留時間(由于Wq=0, 即為Ws）,注意: 在損失制排隊系統(tǒng)中, Wq=0, 即等待時間為0.,在上述公式中, 引入e (或Re)是十分重要的, 因為盡管 顧客的以平均(或R)的速率到達服務系統(tǒng), 但當系統(tǒng) 被占滿后, 有一部分顧客會自動離去, 因此,真正進入系 統(tǒng)的顧客輸入率是e ,它小于.,2. 損失制排隊模型的計算實例,S=1的情況(M/M/1/1),例10.6 設某條電話線，平均每分鐘有0.6次呼喚，若每次 通話時間平均為1.25分鐘，求系統(tǒng)相應的參數(shù)指標。,解 按照上面分析, 編寫LINGO程序，其中S=1,R=0.6, T=1/=1.25, 程序名:exam1006.lg4，結果見運行,系統(tǒng)的顧客損失率為43%, 即43%的電話沒有接通, 有57% 的電話得到了服務,通話率為平均每分鐘有0.195次, 系統(tǒng)的 服務效率為43%. 對于一個服務臺的損失制系統(tǒng), 系統(tǒng)的服 務效率等于系統(tǒng)的顧客損失率,這一點在理論上也是正確的.,S1的情況(M/M/S/S),例10.7 某單位電話交換臺有一臺200門內線的總機，已知在 上班8小時的時間內，有20%的內線分機平均每40分鐘要一 次外線電話，80%的分機平均隔120分鐘要一次外線。又知 外線打入內線的電話平均每分鐘1次. 假設與外線通話的時 間為平均3分鐘, 并且上述時間均服從負指數(shù)分布,如果要求 電話的通話率為95%, 問該交換臺應設置多少條外線？,解 (1) 電話交換臺的服務分成兩類,第一類內線打外線, 其強 度為:,第二類是外線打內線，其強度為2=1*60=60. 因此，總強度為=1+2=140+60=200.,(2) 這是損失制服務系統(tǒng), 按題目要求, 系統(tǒng)損失的概率不能超過5%, 即,(3) 外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越少越好。 由上述三條，寫出相應的LINGO程序， 程序名：exam1007a.lg4.,例10.7,經(jīng)計算得到, 即需要15條外線, 在此條件下, 交換臺的顧客 損失率為3.65%, 有96.35%的電話得到了服務, 通話率為平 均每小時185.67次, 交換臺每條外線的服務效率為64.23%.,在前面談過，盡量選用簡單的模型讓LINGO軟件求解，而 上述程序是解非線性整數(shù)規(guī)劃(盡管是一維的), 但計算時間 可能會較長, 因此, 我們選用下面的處理法, 分兩步處理.,第一步, 求出概率為5%的服務臺的個數(shù), 盡管要求服務臺 是整數(shù), 但pel()可以給出實數(shù)解. 寫出LINGO程序, 程序名：exam1007b1.lg4.,例10.7,第二步, 注意到pel(load, S)是S的單調遞減函數(shù), 因此, 對 S取整(采用只入不舍原則)就是滿足條件的最小服務臺數(shù), 然后再計算出其他的參數(shù)指標。 寫出LINGO程序, 程序名：exam1007b2.lg4.,比較兩種方法的計算結果，其答案是相同的，但第二種方法比第一種方法在計算時間上要少許多.,10. 4 混合制排隊模型,混合制排隊模型通常記為,即有S個服務臺或服務員,系統(tǒng)空間容量為K, 當K個位置 已被顧客占用時, 新到的顧客自動離去,當系統(tǒng)中有空位 置時, 新到的顧客進入系統(tǒng)排隊等待。,對于混合制排隊模型,LINGO軟件并沒有提供特殊的計 算函數(shù),因此需要混合制排隊模型的基本公式進行算, 為此, 先給出其基本公式.,設pi(i=1,2, , K)是系統(tǒng)有i個顧客的概率, p0表示系統(tǒng)空 閑時的概率, 因此有:,設i(i=1,2, K)為系統(tǒng)在i時刻的輸入強度,i (i=1,2 , K) 為系統(tǒng)在i時刻的服務強度, 在平衡過下, 可得到平衡方程,1. 混合制排隊模型的基本公式,對于混合制排隊模型M/M/S/K, 有,1. 混合制排隊模型的基本公式,對于混合制排隊模型，人們關心如下參數(shù)：,(1) 系統(tǒng)的損失概率,2. 混合制排隊模型的基本參數(shù),(2) 系統(tǒng)的相對通過 能力Q和單位時間 平均進入系統(tǒng)的顧 客數(shù)e,(3)平均隊長Ls和平均等待隊長Lq,(4) 顧客在系統(tǒng)內平均逗留時間Ws 和平均排隊等待時間 Wq , 這兩個時間可由Little公式得到,注意:上面兩公式中，是除e而不是, 其理由與損失 制系統(tǒng)相同.,2. 混合制排隊模型的基本參數(shù),S=1 的情況(M/M/1/K),例10.8 某理發(fā)店只有1名理發(fā)員, 因場所有限, 店里最多可 容納4名顧客, 假設來理發(fā)的顧客按Poisson過程到達, 平均 到達率為每小時6人, 理發(fā)時間服從負指數(shù)分布, 平均12分 鐘可為1名顧客理發(fā), 求該系統(tǒng)的各項參數(shù)指標.,解 按照上面分析, 其參數(shù)S=1,K=4,R=6,T=1/=12/60, 再計算相應的損失概率pK 及各項參數(shù)指標, 編寫出LINGO程序，程序名:exam1008.lg4，結果見運行,即理發(fā)店的空閑率為13.4%, 顧客的損失率為27.9%, 每小時 進入理發(fā)店的平均顧客數(shù)為4.328人,理發(fā)店內的平均顧客數(shù) (隊長)為2.359人,顧客在理發(fā)店的平均逗留時間是0.545小時 (32.7分鐘), 理發(fā)店里等待理發(fā)的平均顧客數(shù)(等待隊長)為 1.494人,顧客在理發(fā)店的平均等待時間為0.345小時(20.7分),3. 混合制排隊模型的計算實例,S1的情況(M/M/S/K),例10.9 某工廠的機器維修中心有9名維修工,因為場地限制, 中心內最多可以容納12臺需要維修的設備,假設待修的設備 按Poisson過程到達,平均每天4臺,維修設備服從負指數(shù)分布, 每臺設備平均需要2天時間, 求該系統(tǒng)的各項參數(shù)指標.,解 其參數(shù)S=9,K=12,R=4,T=1/=2,再計算相應的損失 概率pK 及各項參數(shù)指標,編寫出LINGO程序， 程序名:exam1009.lg4，結果見運行,經(jīng)計算得到：維修中心的空閑率p0=0.033%$,設備的損失率 Plost=8.61%, 每天進入維修中心需要維修的設備e=3.66臺, 維修中心內的平均維修的設備(隊長) Ls=7.87臺,待修設備在 維修中心的平均逗留時間Ws= 2.15天,維修中心內等平均待 維修的設備(等待隊長)Lq=0.561天, 待修設備在維修中心的 平均等待時間Wq=0.153天.,10. 5 閉合式排隊模型,設系統(tǒng)內有M個服務臺(或服務員),顧客到達系統(tǒng)的間隔 時間和服務臺的服務時間均為負指數(shù)分布, 而系統(tǒng)的容 量和潛在的顧客數(shù)都為K,又顧客到達率為, 服務臺的 平均服務率為,這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊模型,記為,對于閉合式排隊模型，我們關心的參數(shù)：,(1) 平均隊長,1. 閉合式排隊模型的基本參數(shù),其中l(wèi)oad是系統(tǒng)的負荷,其計算公式為,即 系統(tǒng)的負荷=系統(tǒng)的顧客數(shù) X 顧客的到達率 X 顧客的服務時間,(2) 單位時間平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù)e或Re.,(3)顧客處于正常情況的概率,(5)每個服務臺(服務員)的工作強度,(4)平均逗留時間Ws、平均等待隊長L q和 平均排隊等待 時間Wq ,這三個值可由Little公式得到,S=1 的情況(M/M/1/K/K),例10.10 設有1名工人負責照管6臺自動機床.當機床需要加 料、發(fā)生故障或刀具磨損時就自動停車, 等待工人照管. 設 平均每臺機床兩次停車的時間間隔為1小時, 停車時需要工 人照管的平均時間是6分鐘, 并均服從負指數(shù)分布, 求該系 統(tǒng)的各項指標.,解 這是一個閉合式排隊模型M/M/1/6/6, 其參數(shù)為S=1,K=6, R=1,T=1/=6/60,計算出平均隊長,再計算出其他各項 指標,寫出LINGO程序,程序名:exam1010.lg4,結果見運行.,機床的平均隊長為0.845臺,平均等待隊長為0.330臺, 機床的 平均逗留時間為0.164小時(9.84分鐘),平均等待時間為0.064 小時(3.84分鐘),機床的正常工作概率為85.91%,工人的勞動 強度為0.515.,S1 的情況,例10.11 (繼例10.10) 將例中的條件改為由3名工人聯(lián)合看 管20臺自動機床, 其他條件不變, 求該系統(tǒng)的各項指標。,解 這是M/M/3/20/20閉合式排隊模型, 其參數(shù)為S=3,K=20, 其余不變,寫出LINGO程序,程序名:exam1011.lg4, 結果見運行.,2. 閉合式排隊模型的計算實例,從上表可以看出,在第二種情況下,盡管每個工人看管的機器 數(shù)增加了,但機器逗留時間和等待維修時間卻縮短了,機器的 正常運轉率和工人的勞動強度都提高了。,例10.10和例10.11的計算結果比較,10. 6 排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型,排隊系統(tǒng)中的優(yōu)化模型，一般可分為系統(tǒng)設計的優(yōu)化和 系統(tǒng)控制的優(yōu)化。前者為靜態(tài)優(yōu)化，即在服務系統(tǒng)設置 以前根據(jù)一定的質量指標，找出參數(shù)的最優(yōu)值，從而使 系統(tǒng)最為經(jīng)濟。后者稱動態(tài)優(yōu)化，即對已有的排隊系統(tǒng) 尋求使其某一目標函數(shù)達到最優(yōu)的運營機制。 本節(jié)的主要目的是利用LINGO軟件求函數(shù)極值的功能, 求系統(tǒng)的靜態(tài)優(yōu)化。,系統(tǒng)服務時間T=1/. 我們需要調整系統(tǒng)服務時間使系 統(tǒng)達到最優(yōu)。,1. 系統(tǒng)服務時間的確定,例10.12 設