極限的運算法則-2.ppt

7/12/2019 6:25 PM,微積分講義,設(shè)計制作,王新心,7/12/2019 6:25 PM,2.5 極限的運算法則,變量極限的四則運算法則,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.8】在某一變化過程中，,則,證,總有那么一個時刻，,刻以后，,也總有那么一個時刻，,第二章 極限與連續(xù),在那個時,恒有,在那個時刻以后，恒有,中較晚的那個時刻以后，,在兩時刻,兩式同時成立，即,若,7/12/2019 6:25 PM,所以,證畢。,推論 兩個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮,第二章 極限與連續(xù),小量。,到有限個，,說明 定理和推論中的“兩個”都可以推廣,但不能推廣到無窮個。,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.9】在某一變化過程中，,則,證 利用變量極限與無窮小量的關(guān)系,其中,其中 均為無窮小量，,第二章 極限與連續(xù),若,小量（為什么？），,則和仍為無窮,7/12/2019 6:25 PM,推論1 兩個無窮小量的乘積仍為無窮,推論3 若 是正整數(shù)，則,說明 定理和推論中的“兩個”都可以推廣,第二章 極限與連續(xù),小量。,到有限個，,但不能推廣到無窮個。,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.10】在某一變化過程中，,則,（證明略）,說明 在應(yīng)用極限運算法則時，,第二章 極限與連續(xù),若,個變量的極限必須存在。,要求每一,7/12/2019 6:25 PM,多項式的極限,例1 計算,解,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,例2 計算,解 因為,所以,有理分式的極限,設(shè) ，且 ，則,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,例3 計算,解 因為 ，,利用無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,先求,則,設(shè) ，且,則,第二章 極限與連續(xù),的運算法則。,不能直接用極限,7/12/2019 6:25 PM,解 由于分子和分母的極限不存在，,將分子和分母同除以未知數(shù)的最高次冪,例4 計算,第二章 極限與連續(xù),直接應(yīng)用極限的運算法則。,不能,7/12/2019 6:25 PM,例5 計算,解 方法同例4。,例6 計算,解 方法同例4。,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,當 時，有理分式的極限,說明 以后計算極限時可直接應(yīng)用。,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,例7 計算,解 因為分子和分母的極限都為0，,由極限的定義，,約去極限為0的公因子,第二章 極限與連續(xù),直接應(yīng)用極限的運算法則。,不能,消去 的因子。,時， ，,分解因式,7/12/2019 6:25 PM,例8 計算,解 因為分子和分母的極限都為，,將分子有理化,將分子或分母有理化，再約去公因子,第二章 極限與連續(xù),直接應(yīng)用極限的運算法則。,不能,7/12/2019 6:25 PM,例9 計算,解 因為兩個分式的極限都不存在，,先通分,先通分，再約去公因子,第二章 極限與連續(xù),不能直接應(yīng)用極限的運算法則。,7/12/2019 6:25 PM,例10 已知,計算,解,即,第二章 極限與連續(xù),分段函數(shù)分點處的極限利用充要條件計算,7/12/2019 6:25 PM,內(nèi)容小結(jié),1.極限的運算法則,2.利用運算法則求極限,作業(yè) P91 11-21,-幾種特殊形式函數(shù)的極限,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,備用題,1.若 存在， 不存在，,是否存在，為什么？,解 不存在。,若存在，,由極限的運算法則知，,思考 本題條件改成 和 都不存,在，,第二章 極限與連續(xù),問,存在，矛盾。,結(jié)論又如何？,7/12/2019 6:25 PM,2.計算,解,所以,思考 下列做法是否正確，為什么？,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,3.若 求 的值。,解 由于分式的極限存在，,即,將其代入已知極限中,得,第二章 極限與連續(xù),為0，,而分母的極限,則分子的極限必為0。,7/12/2019 6:25 PM,4.計算,解 這是無窮個無窮小量的和，,第二章 極限與連續(xù),運算法則。,不能用,7/12/2019 6:25 PM,5.設(shè) ，,（1979）,解,第二章 極限與連續(xù),求,7/12/2019 6:25 PM,6.設(shè)函數(shù) ，,（1