2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例教學(xué)案.docx

第七節(jié)正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例考綱傳真能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角方位角的范圍是0360方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如北偏東，即由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，南偏西，即由正南方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，其他方向角類似例：(1)北偏東：(2)南偏西：基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角的大小范圍是0,2)，方向角的大小范圍一般是.()(4)若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的北偏東44，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P的東偏北46.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60視角，從B望C和A成75視角，則BC等于()A10 n mileB. n mileC5 n mile D5 n mileD如圖，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，BC5.3若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60，且ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15 B北偏西15C北偏東10 D北偏西10B如圖所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15.4如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 mD設(shè)塔高為x m，則由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得BD2BC2CD22BCCDcos BCD，即3x2x25002500x，解得x500(m)5如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)分別在河的兩岸，某測(cè)量者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C，測(cè)得AC50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B25 mC25 m D50 mD因?yàn)锳CB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m測(cè)量距離問(wèn)題1如圖所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時(shí)氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)60如圖所示，過(guò)A作ADCB且交CB的延長(zhǎng)線于D.在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，BAC673037，ABC18067113，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)2江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距_m.10如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)3如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.32在ABS中，BAS30，ASB753045，由正弦定理得，則AB16，故此船的船速是32 n mile/h.4如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CDa，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CDkm，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)km.ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km)在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.規(guī)律方法求距離問(wèn)題的兩個(gè)策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.測(cè)量高度問(wèn)題【例1】(2019黃山模擬)如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.100由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)規(guī)律方法求解高度問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 如圖，從某電視塔CO的正東方向的A處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0，在電視塔的南偏西60的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，AB間的距離為35米，則這個(gè)電視塔的高度為_(kāi)米5如圖，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米設(shè)OCx米，則OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此電視塔的高度是5米測(cè)量角度問(wèn)題【例2】某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45，距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向，以10海里/時(shí)的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間解如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB10t，CB10t，在ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，艦艇需1小時(shí)靠近漁船，此時(shí)AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30.所以艦艇航向?yàn)楸逼珫|75.規(guī)律方法解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義.(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫(huà)出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用. 如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的