哈工大研究生課程-高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)-第三章2.ppt

第三章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),在工程實(shí)際中，有很多問(wèn)題需要簡(jiǎn)化為多個(gè)自由度系統(tǒng)模型.,3.1 引言,本章研究?jī)?nèi)容 多自由度系統(tǒng)建模； 2.兩自用度系統(tǒng)的自由振動(dòng)； 3.兩自用度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)； 4.”拍“的現(xiàn)象； 5.多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（解偶分析法）,3.2 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程建立的方法,1.達(dá)朗貝爾原理：在應(yīng)用上比較簡(jiǎn)單，但是它對(duì)一些比較復(fù)雜約束較多的結(jié)構(gòu)也有不便之處.,2.拉格朗日方程（Lagrange） 設(shè)系統(tǒng)具有 n 個(gè)自由度，以 n 個(gè)廣義坐標(biāo) 表示系統(tǒng)的位形，系統(tǒng)的勢(shì)能為 V ，系統(tǒng)的動(dòng)能為 T,Lagrange函數(shù)為：,拉格朗日方程為：,系統(tǒng)的勢(shì)能只是坐標(biāo)的函數(shù)，有,: 為對(duì)應(yīng)有勢(shì)力以外的其它非有勢(shì)力的廣義力（不含阻尼力）.,對(duì)于線性系統(tǒng)我們研究系統(tǒng)在平衡位置附近的微幅振動(dòng)，取靜平衡位置作為坐標(biāo)的原點(diǎn)，q0=0, 作Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)：,為勢(shì)能在平衡位置處的大小，(0)0表示(0) 在平衡位置處的值。,如果勢(shì)能從平衡位置算起，則有,則有,寫(xiě)成矩陣形式：,動(dòng)能：,代入拉格朗日方程：,寫(xiě)成矩陣形式：,例,解：選用廣義坐標(biāo),和,對(duì)于線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)是微幅的,代入動(dòng)能和勢(shì)能：,作用于系統(tǒng)的廣義力沿x方向?yàn)?F(t) ，沿 方向?yàn)?代入Lagrange方程：,即柔度矩陣與剛度矩陣互逆,3.剛度法與柔度法建立振動(dòng)微分方程,為柔度影響系數(shù)，表示在系統(tǒng)的j點(diǎn)作用單位力時(shí)，在系統(tǒng)的i點(diǎn)產(chǎn)生的位移。,由互等定理可知,柔度：指單位外力所引起的系統(tǒng)位移,通過(guò)柔度矩陣建立的振動(dòng)微分方程為：,解：,3.3兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),兩個(gè)自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的情況，如果確定一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的獨(dú)立參數(shù)只有兩個(gè)，稱這一系統(tǒng)為兩個(gè)自由度系統(tǒng)。 如,2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng),選兩物塊靜平衡位置為廣義坐標(biāo) 和 的起始位置,整理以后得：,寫(xiě)成矩陣形式：,設(shè)其解為：,1.各個(gè)質(zhì)點(diǎn)按同一頻率振動(dòng)； 2.振動(dòng)的形式保持不變。,二階齊次常微分方程 組,代入上式：,設(shè),則有,稱為特征方程或頻率方程,即,得 . 從小到大依次為系統(tǒng)的第一階固有頻率和第二階固有頻率，第一階的稱為基頻。,振型的求解：將 代入到頻率方程中是求不出 、 但可求得振幅比。,寫(xiě)成矩陣形式：,其通解為,簡(jiǎn)寫(xiě),稱為系統(tǒng)的第一階和第二階主振型，主振型也稱為主模態(tài)。,例一 .已知：兩層框架結(jié)構(gòu)樓房， k1、k2 分別為層間側(cè)向位移剛度，求振型和頻率。,解：建立兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程,代入數(shù)值：,頻率方程：,得,求振型1：,振型2：,一階振型 二階振型,例二.求圖示體系的頻率、振型,解,令,第一振型,第二振型,對(duì)稱體系的