桿件的變形計算-1.ppt

第四章 桿件的變形計算,本部分主要內(nèi)容: 拉壓桿的軸向變形 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與相對扭轉(zhuǎn)角 梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程 用積分法求梁的彎曲變形 用疊加法求梁的彎曲變形,直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長或縮短變形，而其橫向變形相應(yīng)變細或變粗,桿件在軸線方向的伸長,縱向應(yīng)變,由胡克定律,得到軸向拉壓變形公式,第一節(jié) 拉壓桿的軸向變形,公式的適用條件:,1）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律,2）在計算桿件的伸長時，l 長度內(nèi)其FN、A、l 均應(yīng)為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應(yīng)進行分段計算或積分計算。,橫向也會發(fā)生變形,橫向應(yīng)變,通過試驗發(fā)現(xiàn)，當材料在彈性范圍內(nèi)時，拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系,泊松比,泊松比 、彈性模量 E 、切變模量G 都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實驗測得。對于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系,例題4-1 (教材70頁),如圖所示階梯形直桿，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段橫截面面積A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa，求該桿的總伸長量。,1）求出軸力，并畫出軸力圖,2）求伸長量,mm,伸長,縮短,縮短,例4-2 節(jié)點位移問題(教材70頁),如圖所示桁架，鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2，長1m，彈性模量E2=10GPa。求鉸接點C的位移。F = 40 kN。,分析,通過節(jié)點C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓，AC桿將伸長，而BC桿將縮短。,因此，C節(jié)點變形后將位于C3點,由于材料力學中的小變形假設(shè)，可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓?。ㄒ郧写》ǎ玫浇稽cC0,解,1）分析節(jié)點C,求AC和BC的軸力（均預先設(shè)為拉力）,拉,壓,伸長,縮短,2）求AC和BC桿分別的變形量,3）分別作AC1和BC2的垂線交于C0,C點總位移：,(此問題若用圓弧精確求解),第二節(jié) 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對扭轉(zhuǎn)角,在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導時，相距 為 dx 的兩個相鄰截面之間有相對轉(zhuǎn)角dj,取,單位長度扭轉(zhuǎn)角 用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小,單位長度扭轉(zhuǎn)角的單位: rad/m,抗扭剛度,越大，單位長度扭轉(zhuǎn)角越小,在一段軸上，對單位長度扭轉(zhuǎn)角公式進行積分，就可得到兩端相對扭轉(zhuǎn)角j 。,相對扭轉(zhuǎn)角的單位: rad,當 為常數(shù)時：,請注意單位長度扭轉(zhuǎn)角和相對扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別,同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時:,例4-3 一受扭圓軸如圖所示，已知：T1=1400Nm， T2=600Nm， T3=800Nm， d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計算最大單位長度扭轉(zhuǎn)角。,1）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖,2）AB 段單位長度扭轉(zhuǎn)角：,3）BC 段單位長度扭轉(zhuǎn)角：,綜合兩段，最大單位長度扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC 段 為 0.03978 rad/m,例4-4 圖示一等直圓桿，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1 , 求 : 1) 最大切應(yīng)力; 2）j AC,1）畫出扭矩圖,2）求最大切應(yīng)力,首先要求出M 的數(shù)值,梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機床的主軸，則將嚴重影響機床的加工精度。,一、梁的變形,第三節(jié) 梁的彎曲變形，撓曲線近似微分方程,梁在平面內(nèi)彎曲時，梁軸線從原來沿 x 軸方向的直線變成一條在 xy 平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。,某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度,某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角,撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的 x 方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于 x 的函數(shù)。,撓度方程（撓曲線方程）,轉(zhuǎn)角方程,撓度和轉(zhuǎn)角的正負號規(guī)定：,在圖示的坐標系中， 撓度 w 向上為正，向下為負。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與 x 軸夾角，逆時針為正，順時針為負,即在圖示坐標系中撓曲線具有正斜率時轉(zhuǎn)角 q 為正。,撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系,在小變形假設(shè)條件下,撓曲線的斜率（一階導數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角,二、撓曲線近似微分方程,純彎曲情況下 梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是:,橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠大于梁的高度時，剪力對梁的變形可以忽略不計。但此時彎矩不再為常數(shù)。,高等數(shù)學中，關(guān)于曲率的公式,在梁小變形情況下，,梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為,梁的撓曲線近似微分方程,對上式進行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁 EI 為常數(shù)）,再進行一次積分,可得到撓度方程,其中， C 和 D 是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。,第四節(jié) 用積分法求梁的彎曲變形,邊界條件,在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定,連續(xù)條件,在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n 段積分，則要出現(xiàn)2n 個待定常數(shù)，總可找到2n 個相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。,（1）按照圖示坐標系建立彎矩方程 請同學們自己做一下（時間:1分鐘）,（2）撓曲線近似微分方程,（3）積分,（4）確定積分常數(shù) 由邊界條件,代入上面兩式,（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將 C、D 的值代入方程,（6）求B點的撓度和轉(zhuǎn)角,在自由端 ， x = l,例4-6(教材75頁例4-5) 如圖所示，簡支梁受集中力F 作用，已知EI 為常量。試求B 端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。,（1）求約束反力,（2）列出彎矩方程,AC段,CB段,（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應(yīng)對AC和CB分別計算,（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應(yīng)對AC和CB分別計算,AC段,CB段,利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù),邊界條件:,連續(xù)條件:,由于撓曲線在C點處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。 即,代入上面的式子,得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC段,CB段,（5）求指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角,若,通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角，但是當載荷情況復雜時，彎矩方程分段就很多，導致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角，或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角，這時采用疊加法比積分法方便。,在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個載荷單獨作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。,用疊加法求等截面梁的變形時，每個載荷作用下的變形可查教材7879頁表4-2計算得出。查表時應(yīng)注意載荷的方向、跨長及字符一一對應(yīng)。,第五節(jié) 用疊加法求梁的彎曲變形,例4-7 求圖中所示梁跨中點的撓度及 A 點的轉(zhuǎn)角。已知 ，梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。,=,+,例4-8 如圖，梁的左半段受到均布載荷q 的作用，求 B 端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。,考慮其變形:,由于CB 段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即CB 仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：,由于在小變形的假設(shè)前提下,查表:,代入上面的計算式,在使用疊加法求解梁的變形時，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點的位移。,類似于外伸梁和其它一些較為復雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進行位移的疊加計算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。,一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進行疊加來處理（逐段剛化法）。,例4-9 求圖11-4所示外伸梁的 C截面的撓度轉(zhuǎn)角 EI 為常數(shù)。,怎樣應(yīng)用表4-2中已有的結(jié)果？,對梁進行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來處理,首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個懸臂梁來研究，,再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座 ，得到