北郵隨機信號分析與處理第1章習(xí)題解答.pdf

ftpftp服務(wù)器地址服務(wù)器地址 1 ftpftp: :/1010. .108108. .142142. .5757 用戶名和密碼均為：用戶名和密碼均為：sjxhfxsjxhfx 包括每次課的包括每次課的課件課件和和部分習(xí)題解答部分習(xí)題解答 1.21.2 2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 服從二項式分布服從二項式分布，其概率分布律為其概率分布律為 X (1)(0,1,2, ; 01) mmn m n P XmC ppmnp 求求 的均值和方差的均值和方差。 X 解：解： 由二項式分布與由二項式分布與（0 0，1 1）分布之間的關(guān)系分布之間的關(guān)系，上述二項式分布上述二項式分布 可看作可看作 個獨立的參數(shù)為個獨立的參數(shù)為 的的（0 0，1 1）分布之和分布之和 n p 因為因為（0 0，1 1）分布的均值為分布的均值為 ，方差為方差為 p(1)pp 因此上述二項式分布的均值為因此上述二項式分布的均值為 ，方差為方差為 np(1)npp 1.3 (1/2)1.3 (1/2) 3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 與與 滿足以下函數(shù)關(guān)系：滿足以下函數(shù)關(guān)系： YX()sin()Yg XX 其中其中 是已知變量是已知變量，求求 的概率密度的概率密度。 Y 解：根據(jù)函數(shù)解：根據(jù)函數(shù) 的值域的值域，顯然有顯然有 sin()YX1Y 因此因此，當(dāng)當(dāng) 時時，有有 1y ( )0 Y fy 當(dāng)當(dāng) 時時，有有 為多值函數(shù)為多值函數(shù)，包括包括 1y 1( ) gy 2 arcsin2, n xyn 21 arcsin2arcsin(21) , n xynyn 0, 1, 2,n 根據(jù)隨機變量的函數(shù)的概率分布的性質(zhì)根據(jù)隨機變量的函數(shù)的概率分布的性質(zhì)，得得 even odd (arcsin) ( )()(arcsin) ( arcsin) ( arcsin) n YXnX nn X n dxdyn fyfxfyn dydy dyn fyn dy 1.3 (2/2)1.3 (2/2) 4 evenodd ( )() (arcsin)( arcsin) (arcsin)( arcsin) n YXn n XX nn dx fyfx dy dyndyn fynfyn dydy 2 1 () 1 Xn n fx y 22 evenodd 11 (arcsin)( arcsin) 11 XX nn fynfyn yy 綜合以上情況綜合以上情況，得：得： 2 1 (),1 1( ) 0,1 Xn n Y fxy yfy y arcsin,even arcsin,odd n ynn x ynn 其中其中 1.51.5 5 設(shè)設(shè) ，其中其中 ()Yg X 01 () ( ) 0() Axxx g x 其他 假定隨機變量假定隨機變量 的概率分布函數(shù)已知的概率分布函數(shù)已知，求求 的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)。 XY 解：根據(jù)題意解：根據(jù)題意， 只有兩個值可?。褐挥袃蓚€值可?。?或或 （離散隨機變量離散隨機變量） YA0 01 P YAP xxx 10 ( )() XX FxFx 01P YP YA 10 1( )() XX FxFx 因此因此， 的概率分布函數(shù)可寫為的概率分布函數(shù)可寫為 Y 10 10 ( )( )() () 1( )() ( ) YXX XX F yFxFxU yA FxFxU y 1.61.6 6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 為為 ( )g x () ( )0() () xcxc g xcxc xcxc 其中其中 為常數(shù)為常數(shù)，假定隨機變量假定隨機變量 的概率分布函數(shù)已知的概率分布函數(shù)已知， 求求 的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)。 0c X ()Yg X 解：解： 為分段函數(shù)為分段函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)定義分三種情況討論如下：可根據(jù)函數(shù)定義分三種情況討論如下： ( )g x ( (1 1) )當(dāng)當(dāng) 時時， 0y ( )()() Y F yP YyP Xyc() X Fyc ( (2 2) )當(dāng)當(dāng) 時時， 0y (0)(0)()( ) YX FP YP XcF c ( (3 3) )當(dāng)當(dāng) 時時， 0y ( )()() Y F yP YyP Xyc() X Fyc 其中其中，( (2 2) )和和( (3 3) )可合并為：當(dāng)可合并為：當(dāng) 時時， 0y ( )() YX F yFyc 最后得最后得 ()(0) ( ) ()(0) X Y X Fycy Fy Fycy 1.71.7 7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 為為 ( )g x (0) ( ) (0) xcx g x xcx 其中其中 為常數(shù)為常數(shù)，假定隨機變量假定隨機變量 的概率分布函數(shù)已知的概率分布函數(shù)已知， 求求 的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)。 0c X ()Yg X 解：解： 為分段函數(shù)為分段函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)定義分三種情況討論如下：可根據(jù)函數(shù)定義分三種情況討論如下： ( )g x ( (1 1) )當(dāng)當(dāng) 時時， yc ( )()() Y F yP YyP Xyc () X Fyc ( (2 2) )當(dāng)當(dāng) 時時， cyc ( )()(0) Y F yP YyP X ( (3 3) )當(dāng)當(dāng) 時時， yc ( )()() Y F yP YyP Xyc () X Fyc (0) X F 1.8 (1/2)1.8 (1/2) 8 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 (, )X Y 1 (,) ( , )2 0() y eyxx f x y 其他 求求 。 ( |)E Y X 解：解： 11 ( )() 22 xy X x fxe dyex | ( , ) () ( ) ( | ) 0() xy XY X Y X fx y eyx fx fy x yx 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 X 條件概率密度為條件概率密度為 1.8 (2/2)1.8 (2/2) 9 | ( |)( | ) Y X E Y Xyfy x dy xy x y edy xy x ey e dy () xxx ex ee 1x 根據(jù)條件概率密度可得到條件均值為根據(jù)條件概率密度可得到條件均值為 1.9 (1/2)1.9 (1/2) 10 已知隨機變量已知隨機變量 在在 上服從均勻分布上服從均勻分布，隨機變量隨機變量 在在 上服從均勻分布上服從均勻分布，試求試求 X0, aY , X a ( (1 1) ) ( (2 2) ) ( |)(0)E Y Xxxa( )E Y 解：解： 條件概率密度條件概率密度 | 1 ( | )() Y X fy xxya ax ( |) 2 xa E Y X 由均勻分布的均值性質(zhì)得由均勻分布的均值性質(zhì)得 ( )( | )( ) X E YE Y x fx dx 由條件均值得到邊緣均值為由條件均值得到邊緣均值為 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 1 ( )(0) X fxxa a 0 13 ( ) 24 a xa E Ydxa a X 因此因此 1.9 (2/2)1.9 (2/2) 11 ( | )( ) X E Y x fx dx ( )( ) Y E Yy fy dy 由條件均值得到邊緣均值的詳細推導(dǎo)過程：由條件均值得到邊緣均值的詳細推導(dǎo)過程： （均值定義均值定義） ( , ) XY yfx y dx dy （邊緣概率密度定義邊緣概率密度定義） | ( )( | ) XY X yfx fy x dx dy （乘法定理乘法定理） | ( )( | ) XY X fxy fy x dy dx （交換積分順序交換積分順序） 1.10 (1/2)1.10 (1/2) 12 設(shè)隨機矢量設(shè)隨機矢量 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 (, )X Y 2() ( , )(0,1) axby f x yx y ab 計算計算：( (1 1) ) ；( (2 2) ) 。 (|1/4)E X Y ( |1/2)E Y X 解：解： ( (1 1) )由聯(lián)合概率密度可得邊緣概率密度為由聯(lián)合概率密度可得邊緣概率密度為 1 0 2()2 ( )( , )(01) Y axbyaby fyf x y dxdxy abab 因此因此，條件概率密度為條件概率密度為 | ( , )2() ( | )(0,1) ( )2 XY X Y Y fx yaxby fx yx y fyaby 條件均值為條件均值為 1 | 0 2 ()23 (| )( | ) 236 X Y x axbyaby E X Yx fx y dxdx abyaby 83 (|1/4) 126 ab E X Y ab 將將 代入代入，得得 1/4Y 1.10 (2/2)1.10 (2/2) 13 ( (2 2) )由聯(lián)合概率密度可得邊緣概率密度為由聯(lián)合概率密度可得邊緣概率密度為 1 0 2()2 ( )( , )(01) X axbyaxb fxf x y dydyx abab 因此因此，條件概率密度為條件概率密度為 | ( , )2() ( | )(0,1) ( )2 XY Y X X fx yaxby fy xx y fxaxb 條件均值為條件均值為 | ( |1/2)( |1/2) Y X E Y Xy fy xdy 將將 代入代入，得得 1/2X | 2 ( |1/2)(01) Y X aby fy xy ab 1 0 (2)34 66 y abyab dy abab 1.111.11 14 某設(shè)備的有效期某設(shè)備的有效期（按年計算按年計算）的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 /5 0(0) ( ) 1(0) X x x Fx ex 求：求：( (1 1) )該設(shè)備有效期的均值；該設(shè)備有效期的均值；( (2 2) )該設(shè)備有效期的方差該設(shè)備有效期的方差。 解：由分布函數(shù)的形式解：由分布函數(shù)的形式，可知該設(shè)備的有效期服從指數(shù)分布可知該設(shè)備的有效期服從指數(shù)分布 由指數(shù)分布的數(shù)字特征的性質(zhì)由指數(shù)分布的數(shù)字特征的性質(zhì)，得得 ()5E X ()25D X 1.121.12 設(shè)設(shè) 相互獨立相互獨立，且都服從均值為且都服從均值為0 0、方差為方差為1 1的標(biāo)準的標(biāo)準 正態(tài)分布正態(tài)分布，證明：證明： 11221233123 111 (),(2),() 263 YXXYXXXYXXX 123 ,X XX 也相互獨立也相互獨立，且都服從均值為且都服從均值為0 0、方差為方差為1 1的標(biāo)準正態(tài)分布的標(biāo)準正態(tài)分布。 解：先給出解：先給出 維正態(tài)隨機變量的線性變換的概率分布的通用維正態(tài)隨機變量的線性變換的概率分布的通用 表達式表達式 記記 1 2 N X X X X N 1 2 N Y Y Y Y 線性變換線性變換 YLX 為為 矩陣矩陣 LNN 15 1.121.12 假定假定 為滿秩為滿秩，得得 11 1 -1-1 1 ( )()() N NN N xx yy ffJf xx yy YXX yL yL y -1 xL yL 由多維隨機變量的函數(shù)的求解表達式由多維隨機變量的函數(shù)的求解表達式 維正態(tài)隨機變量維正態(tài)隨機變量 的概率密度為的概率密度為 NX 1 1/2 /2 11 ( )exp()() 2 (2 ) T N f XXXX X xxmKxm K -1-1 -1 () 1 () f f X X L yL L y L 得得 -11-1 1/2 /2 11 ( )exp()() 2 (2 ) T N f YXXX X yL ymKL ym KL 16 1.121.12 整理整理，得得 2 TT YXXX KLK LL KLLK檢驗：檢驗： 因此因此，有有 = YX mLm T YX KLK L -11-1 1/2 /2 -1111-1 2 /21/2 -1111-1 2 /21/2 2 /2 11 ( )exp()() 2 (2 ) 11 exp()()() 2 (2 )() 11 exp()()() 2 (2 )() 1 (2 )() T N TTT N TTT N N f YXXX X XXX X XXX X X yL ymKL