哈工大大學(xué)物理課件(馬文蔚教材)-第19章-2量子物理.ppt

一 波函數(shù)(量子力學(xué)基本原理之一）,波函數(shù)的物理意義 (玻恩統(tǒng)計(jì)詮釋),波函數(shù) 本身沒有直接的物理意義。它并不像經(jīng)典波那樣代表什么實(shí)在的物理量的波動(dòng)，而其模方,表示 t 時(shí)刻微觀粒子在空間 點(diǎn)出現(xiàn)的相對(duì)概率密度,一個(gè)微觀客體在時(shí)刻 t 狀態(tài),用波函數(shù) (一般是復(fù)函數(shù) ) 完全描述.,為了定量描述微觀粒子的狀態(tài)“量子力學(xué)”引入了,19-8 量子力學(xué)簡介,微觀粒子具有波粒二象性,單色平面波,復(fù)數(shù)形式,一個(gè)沿x方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子(能量為E,動(dòng)量為px)具有波粒二象性：,由德布羅依關(guān)系式,代入上式,（三維）自由粒子波函數(shù),例,2. 統(tǒng)計(jì)詮釋及其它物理?xiàng)l件對(duì)波函數(shù)提出的要求,1）. 空間任何有限體積元中找到粒子的概率為有限值,式中,2）. 粒子在空間各點(diǎn)的概率的總和為 1 - 波函數(shù)歸一化條件,0 是任意有限體積元,滿足該條件為歸一化波函數(shù).,3）. 要求,單值,一般情況下, 物理上要求波函數(shù)是有限，連續(xù)和單值的 - 波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件,只打開a,只打開 b,兩縫同時(shí)打開,干涉項(xiàng),波函數(shù)可以相加，其概率不能相加,波函數(shù)遵從疊加原理: 實(shí)驗(yàn)證實(shí), 以雙縫實(shí)驗(yàn)為例,3. 疊加原理；如果 都是體系的可能狀態(tài)，那么它的線性疊加，也是這個(gè)體系的一個(gè)可能態(tài)。,1). 微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，與經(jīng)典物理不同，波函數(shù)沒有對(duì)應(yīng)的物理量，它不能測量，一般是復(fù)數(shù). 例如：一維自由粒子的波函數(shù),t時(shí)刻，在 附近， 內(nèi)，找到粒子的概率,玻恩統(tǒng)計(jì)詮釋,波函數(shù) 是概率振幅，簡稱 概率幅,描述同一個(gè)狀態(tài)，因?yàn)?，?duì)于概率分布來說，重要的是相對(duì)概率分布。,2). 波函數(shù)的物理意義：,小結(jié)： 波函數(shù),3). 概率波 -量子力學(xué)是一種統(tǒng)計(jì)理論與經(jīng)典決定論不同,（存在長時(shí)期的爭淪）,4). 波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件（物理要求）,以后會(huì)看到，有些情況下能量量子化就是源于這些條件的限制,連續(xù)性 有限性 單值性 歸一化條件.,5). 波函數(shù)遵從疊加原理: 實(shí)驗(yàn)證實(shí),波函數(shù)（概率幅）可以相加 概率不能相加,問題的提出：,薛定諤：你能不能給我們 講一講De Broglie的那篇 學(xué)位論文呢？,瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué),一月以后：薛定諤 向大家介紹了德布羅 意的論文。,你這種談?wù)撎字?，作?索末菲的門徒，都知道： 處理波要有一個(gè)波動(dòng)方程 才行啦！,二、 薛定諤方程 (量子力學(xué)基本原理之二）,瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué),德 拜,又過了幾個(gè)星期,薛 定 諤,我的同行提出，要有一個(gè) 波動(dòng)方程，今天我找到了 一個(gè)：,薛定諤： 方程 能解很多好東西。 若問這是為什么？ 誰也不知道！,散會(huì)后：,以自由粒子為例建立 Schrding方程,原來薛定諤方程是利用 經(jīng)典物理，用類比的辦 法得到的，或者說開始 只不過是一個(gè)假定，爾 后為實(shí)驗(yàn)證實(shí)。我們從 特例出發(fā)，推廣得出這 個(gè)方程。,（非相對(duì)論條件下討論）,一個(gè)沿 x 方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子,可用一維平面波函數(shù)描述,經(jīng)典波動(dòng)微分方程,消去,對(duì)于自由粒子,原則: (一) 波函數(shù)滿足疊加原理,(二) 方程應(yīng)具有粒子各種狀態(tài)都能滿足的普 適性質(zhì).,- 自由粒子的薛定諤方程,推廣到三維：,一般情況：,薛定諤方程普遍形式,1 薛定諤方程是量子力學(xué)中的一項(xiàng)基本假設(shè)；,3 薛定諤方程是關(guān)于時(shí)間的一階偏微分方程； 知道初始時(shí)刻波函數(shù)，就可以確定以后任何時(shí)刻的波函數(shù).,討論:,2 薛定諤方程的解滿足態(tài)疊加原理,若 和 是薛定諤方程的解，,則 也是薛定諤方程的解。,這是因?yàn)檠Χㄖ@方程是線性偏微分方程。,4 薛定諤方程中含有虛數(shù) i,所以它的解 必然是復(fù)數(shù)， 只有 的模方才有直接的物理意義。,5 一般情況下, 物理上要求波函數(shù)滿足有限，連續(xù)，單值的波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件和歸一化條件,定態(tài)薛定諤方程,則薛定諤方程的一般表達(dá)式,設(shè)一個(gè)特解,代入薛定諤方程，得：,令,左邊:,右邊:,- 定態(tài)薛定諤方程,常數(shù) E 就是能量,與自由粒子波函數(shù)對(duì)比可知，,討論:,只有某些 E 值對(duì)應(yīng)的解才是物理上可接受的 - 能量本征值,2. 能量本征值所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)稱為能量本征函數(shù).,3. 這一方程又稱為能量本征值方程。,定態(tài)薛定諤方程：,定態(tài):能量取確定值的狀態(tài),定態(tài)波函數(shù),4. 這一波函數(shù)所描述的量子態(tài)稱為定態(tài)。,概率密度分布,不隨時(shí)間變化,一維定態(tài)薛定諤方程：,例如：對(duì)自由粒子，Ep（x） = 0，一維情況下，上式成為：,其解為,這正是自由粒子的波函數(shù)，E 正是粒子的能量，p正是粒子的動(dòng)量。,其中,勢(shì)阱內(nèi),則,其通解,勢(shì)阱外,（有限條件）,a,三 一維無限深方勢(shì)阱問題,式中 A, 為待定系數(shù),與本征值 En 對(duì)應(yīng)本征函數(shù),（單值，連續(xù)條件）,（歸一化條件）,阱外 x0, xa,勢(shì)阱內(nèi),x正向波,x反向波,討論:,(1) 無限深方勢(shì)阱中粒子能量量子化 n是量子數(shù)，En是能量本征值，又稱能級(jí).,(2) 無限深方勢(shì)阱粒子能譜為離散能譜，能級(jí)分布不均勻 n越大,能級(jí)間隔越大。,其余稱為激發(fā)態(tài),(3) 勢(shì)阱中粒子波函數(shù)是駐波 基態(tài)除 x=0, x=a 無節(jié)點(diǎn). 第一激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn), k 激發(fā)態(tài)有 k=n-1個(gè)節(jié)點(diǎn).,(4) 概率密度分布不均勻,當(dāng) n 時(shí)過渡到經(jīng)典力學(xué),四 對(duì)應(yīng)原理,在某些極限條件下,量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律,量子物理的對(duì)應(yīng)原理,相鄰能級(jí)間隔,能級(jí)的相對(duì)間隔,能量連續(xù),量子規(guī)律轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律,例,五 一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng),1. 散射問題和勢(shì)壘穿透,定態(tài)問題有兩種態(tài),束縛態(tài)： (一維 ) x時(shí) ,(x)0，EU(x), 離散能量,散射態(tài)： (一維 ) x 時(shí), (x)0，能量連續(xù),對(duì)散射問題,已知粒子能量 E, 求解定態(tài)薛定諤方程解. - 粒子受勢(shì)場作用被散射到個(gè)方向去的概率,2 .勢(shì)壘 隧道效應(yīng),考慮 EEp0 的情況 研究穿透問題,Ep0 0 ,Ep(x),x,0,a,Ep0,上述各方程的解,入射 反射,衰減,入射 (反射),無反射,求 A1 ,B1 ,-.,入射波的概率密度,透射波的概率密度,連續(xù)條件,由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：,穿透系數(shù),Ep(x),x,0,a,Ep0,考慮,討論(1) 設(shè)粒子為 e U0-E=1ev 則當(dāng) a = 2x10-10m D 0.44 a = 5x10-10 m D O.O16 質(zhì)子 U0-E = 1ev a = 2x10-10 m D 2x10-38,當(dāng) m, U0-E 及 a 為微觀尺度時(shí),(特別對(duì)于 e )穿透系數(shù)有一定值. 若為宏觀尺度 D 0,勢(shì)壘穿透(隧道效應(yīng))是一種微觀現(xiàn)象,是粒子波動(dòng)性的表現(xiàn) .,穿透系數(shù),(2) 從經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)看,在勢(shì)壘區(qū),動(dòng)能為負(fù)值,動(dòng)量將為虛數(shù), (經(jīng)典理論不允許,稱隧道效應(yīng)佯繆).,佯繆不存在：能量不能分離成動(dòng)能和勢(shì)能(測不準(zhǔn)關(guān)系),經(jīng)典理論不適用于微觀現(xiàn)象.,(3) 當(dāng) E Ep或E Ep 經(jīng)典 粒子一定越過或不越過勢(shì)壘 量子力學(xué) 有透射與反射,勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)：,粒子將部分被勢(shì)壘反射, 部分穿透勢(shì)壘, - 隧道效應(yīng)或勢(shì)壘貫穿,隧道特征長度,隧道效應(yīng)已完全被實(shí)驗(yàn)證實(shí), 并制成掃描隧道顯微鏡,例,對(duì)電子計(jì)算,m=9.110-31kg,則對(duì)不同的勢(shì)壘寬度a,D的數(shù)量級(jí),掃描隧道顯微鏡年由 G.Binig 和H.Rohrer 首先研制成功,針尖非常尖銳,接近原子尺寸. 針尖與表面接近到零點(diǎn)幾毫米時(shí),電子波 函數(shù)重疊,若加一小的直流電位差,出現(xiàn) 隧道電流 I ,電流對(duì)針尖 表面距離 d 十分敏感, d 增加0.1 nm , I 減小一個(gè)數(shù)量級(jí).保持 I 不變,針尖的軌道提供了表面電子云分布或原子分布狀況.,橫向分辨率達(dá)到 0.1 nm, 縱向分辨率達(dá)到 0.001 nm 可以分辨出表面單個(gè)原子和原子臺(tái)階,原子結(jié)構(gòu),超晶格結(jié)構(gòu),表面缺陷細(xì)節(jié),觀測活體 DNA 基因,病毒.,六 諧振子,1. 線性諧振子定態(tài)薛定諤方程,2. 波函數(shù) 在 的漸進(jìn)行為,很大時(shí)，,2,取,3. 滿足束縛態(tài)邊界條件的級(jí)數(shù)解,代入方程， 得到 u() 所滿足的厄米微分方程：,通解可寫成,u() 必須中斷為有限項(xiàng)多項(xiàng)式, 必要條件 =2n+1(奇數(shù)) , n=0,1,2,-,- 厄米多項(xiàng)式,4. 能量本征值的零點(diǎn)能,零點(diǎn)能(基態(tài)能量)為:,5. 能量本征函數(shù)和宇稱,線性諧振子定態(tài)波函數(shù)為,4. 能量本征值的零點(diǎn)能,圖 線性諧振子的位置概率密度分布,圖 線性諧振子的波函數(shù),討論,1.由圖可見,2. 量子力學(xué)n較小時(shí), 位置的概率密度分布與經(jīng)典完全不同. 隨著 n, 如n=11時(shí)量子和經(jīng)典在平均上比較符合.,3. 一維諧振子能級(jí)和概率密度分布,可以看出,U=U(x)以外概率密度不為0,隧道效應(yīng),相對(duì)能級(jí)間隔,當(dāng),能量可以連續(xù)變化（經(jīng)典）,例1: 求線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時(shí), 概率最大的位置.,解: 第一激發(fā)態(tài)波函