數(shù)學(xué)精神與方法第一講.ppt

數(shù)學(xué)精神與方法,第一講 從數(shù)學(xué)是什么談起,數(shù)學(xué)是什么歷史的理解,數(shù)學(xué)是人類文化中歷史最悠久的知識(shí)領(lǐng)域之一，是人類文明的一個(gè)重要組成部分。從遠(yuǎn)古曲指計(jì)數(shù)到借助高速電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行大型科學(xué)計(jì)算，從勾股定理的發(fā)現(xiàn)到抽象公理化系統(tǒng)的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)經(jīng)過了五千余年的發(fā)展演變歷程。即使作為一門獨(dú)立而理性的學(xué)科，她也有兩千五百年的歷史了。 與其他學(xué)科領(lǐng)域相比，數(shù)學(xué)的發(fā)展具有很強(qiáng)的累積性。,數(shù)學(xué)正是經(jīng)過這種發(fā)展的長(zhǎng)期累積過程才鑄就出今天這般宏大的思想理論體系。數(shù)學(xué)常常被人們比喻成一棵茂密的大樹，她包含著并且正在生長(zhǎng)出越來越多分枝。按照美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論（Mathematical Reviews）的分類，當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科包含60多個(gè)二級(jí)學(xué)科，400多個(gè)三級(jí)學(xué)科，更細(xì)的分科難以統(tǒng)計(jì)?？梢哉f，數(shù)學(xué)歷經(jīng)五千余年的累積演進(jìn)，已經(jīng)發(fā)展成為適用面最廣泛、應(yīng)用功能最強(qiáng)大的學(xué)科；而且，她還是人們最信得過的學(xué)科之一，被稱作科學(xué)的基礎(chǔ)。,公元前6世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)主要是關(guān)于“數(shù)”的研究，主要是計(jì)數(shù)、初等算術(shù)與算法，而幾何則只能看作是應(yīng)用算術(shù)。這一歷史階段，數(shù)學(xué)在古埃及、巴比倫、印度與中國(guó)等地區(qū)得到率先發(fā)展。 從公元前6世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)在希臘蓬勃興起并得到空前發(fā)展。希臘人主要對(duì)幾何感興趣，突出了對(duì)“形”的研究；他們當(dāng)然也沒有忽略對(duì)“數(shù)”的研究，但卻將“數(shù)”放在了幾何的形式下去考察（只有少數(shù)例外，如丟番圖）。從那時(shí)起，一直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)與形靜止的、常量的數(shù)與形；而且，兩千兩百年間數(shù)學(xué)的研究對(duì)象沒有本質(zhì)的變化。數(shù)學(xué)于是成為了關(guān)于數(shù)與形的學(xué)問。,亞里士多德（Aristotle , 384322BCE）,“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)?！?亞里士多德，世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家。他把科學(xué)分為：（1）理論的科學(xué)(數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和后來被稱為形而上學(xué)的第一哲學(xué))；（2）實(shí)踐的科學(xué)(倫理學(xué)、政治學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、戰(zhàn)略學(xué)和修飾學(xué))；（3）創(chuàng)造的科學(xué)，即詩(shī)學(xué)。,笛卡爾（R. Descartes, 1596-1650）,“凡是以研究順序（order）和度量（measure）為目的的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有關(guān)?！?由笛卡爾、費(fèi)馬（P. de Fermat, 1601-1665）開創(chuàng)的解析幾何學(xué)，為數(shù)學(xué)乃至整個(gè)科學(xué)樹起了一座劃時(shí)代的里程碑，數(shù)學(xué)從此由常量時(shí)代進(jìn)入了變量時(shí)代這標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展邁入了近代數(shù)學(xué)時(shí)期。,笛卡爾是法國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，其解析幾何的思想發(fā)表于1637年。,微積分的創(chuàng)立無疑是17世紀(jì)數(shù)學(xué)最為重要的成就，也是科學(xué)發(fā)展史上最重大的事件之一。由牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）所制定的微積分，本質(zhì)上就是關(guān)于運(yùn)動(dòng)與變化的數(shù)學(xué)，它使科學(xué)家們能夠以數(shù)學(xué)為工具去深入研究行星運(yùn)動(dòng)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、流體運(yùn)動(dòng)以及動(dòng)植物生長(zhǎng)等等。因此，數(shù)學(xué)在牛頓和萊布尼茲生活的時(shí)代已經(jīng)成為研究數(shù)與形、運(yùn)動(dòng)與變化的學(xué)問。,數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。,弗里德里希恩格斯 (Friedrich Engels，1821-1895),然而，就在恩格斯所在的19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家不僅僅研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)對(duì)象，而且開始關(guān)注并研究數(shù)學(xué)自身的大量基礎(chǔ)性問題，而這類問題以數(shù)學(xué)自身的協(xié)調(diào)、完備以及模式化為目的只是出于使數(shù)學(xué)自身達(dá)到完美與統(tǒng)一的需要。 從19世紀(jì)后期開始，數(shù)學(xué)成為了研究數(shù)與形、運(yùn)動(dòng)與變化以及數(shù)學(xué)自身問題的學(xué)問，而且數(shù)學(xué)理論的論述呈現(xiàn)以公理化傾向?yàn)樘卣鞯囊?guī)范形式。從此，數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入了所謂現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段。這種對(duì)數(shù)學(xué)自身問題的研究，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一，促成了數(shù)學(xué)與邏輯的融合，開辟了全新而廣闊的數(shù)學(xué)發(fā)展空間和應(yīng)用領(lǐng)域，從根本上刷新了人類的數(shù)學(xué)觀念。,康托爾（G. Cantor 1845-1918）,“數(shù)學(xué)是絕對(duì)自由發(fā)展的學(xué)科，它只服從明顯的思維。就是說，它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經(jīng)建立和存在的概念相聯(lián)系?！?康托爾是德國(guó)數(shù)學(xué)家，他關(guān)于集合論和拓?fù)鋵W(xué)的論著使自己成為其思想對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)生最大影響的人物之一。,羅素（B. Russell, 1872-1970）,“數(shù)學(xué)可以定義為這樣一門學(xué)科，我們永遠(yuǎn)不知道其中所說的是什么，也不知道所說的內(nèi)容是否正確。”,羅素，哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，英國(guó)人。他提出的羅素悖論撼動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。,20世紀(jì)初，英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素（B. Russell, 1872-1970）給數(shù)學(xué)下了如下一個(gè)定義： “純粹數(shù)學(xué)完全由這樣一類論斷組成，假定某個(gè)命題對(duì)某些事物成立，則可推出另外某個(gè)命題對(duì)同樣這些事物也成立。這里既不管第一個(gè)命題是否成立，也不管使此命題成立的那些事物究竟是什么，。只要我們的假定是關(guān)于一般事物的，而不是關(guān)于某些特殊事物的，那么我們的推理就構(gòu)成為數(shù)學(xué)。這樣，數(shù)學(xué)可以定義為這樣一門學(xué)科，我們永遠(yuǎn)不知道其中所說的（事物）是什么，也不知道所說的內(nèi)容（斷語）是否正確?！?數(shù)學(xué)是什么？,20世紀(jì)80年代，一批美國(guó)學(xué)者將數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單地定義為關(guān)于“模式”的科學(xué)： “數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域已被稱作模式的科學(xué)，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性。”,這里的“模式”有著極廣泛的內(nèi)涵，包括了數(shù)的模式、形的模式、運(yùn)動(dòng)的模式、變化的模式、通信的模式、推理的模式、行為的模式、 ；這些模式可以是現(xiàn)實(shí)中的模式，也可以是人腦所發(fā)明的模式，甚至是由其他模式所引出的模式或眾多模式一起才能表現(xiàn)出來的模式。,搜索并揭示隱藏模式的過程是在交織著許多對(duì)立面的斗爭(zhēng)中進(jìn)行的，這些對(duì)立面是：具體與抽象、特殊與一般、有限與無限、離散與連續(xù)、算法的與存在的、隨機(jī)的與決定論的、精確的與近似的，等等。正是這些對(duì)立面的相互作用、反復(fù)綜合并在更高層面上達(dá)成統(tǒng)一，在不停地推動(dòng)著數(shù)學(xué)的創(chuàng)造、更新和應(yīng)用，在生動(dòng)地體現(xiàn)著數(shù)學(xué)理論的思想脈搏和蓬勃生機(jī)。因此，這些對(duì)立統(tǒng)一因素構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的基本要素，理應(yīng)在數(shù)學(xué)教育中作為通識(shí)知識(shí)加以系統(tǒng)地闡釋。,數(shù)學(xué)是抽象的，追求精確性和可靠性,combinatorial mathematics 組合數(shù)學(xué) commutative mathematics 可交換數(shù)學(xué) constructive mathematics 構(gòu)造性數(shù)學(xué) discrete mathematics 離散數(shù)學(xué) computational mathematics 計(jì)算數(shù)學(xué) basic numerical mathematics 基本數(shù)值數(shù)學(xué) engineering mathematics 工程數(shù)學(xué),philosophy of mathematics 數(shù)學(xué)哲理 pure mathematics 純粹數(shù)學(xué) reliability mathematics 可靠性數(shù)學(xué) Roman mathematics 羅馬數(shù)學(xué) elementary mathematics 初等數(shù)學(xué) univeral mathematics 普通數(shù)學(xué) classical mathematics 經(jīng)典數(shù)學(xué),隨著數(shù)學(xué)家開發(fā)模式的范圍自然地、無限制地?cái)U(kuò)張到任何領(lǐng)域中去，數(shù)學(xué)的歷史邊界已完全消失，同樣數(shù)學(xué)應(yīng)用的邊界也沒有了：現(xiàn)代數(shù)學(xué)不再只是自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域（如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、各種工程設(shè)計(jì)和控制技術(shù)等）的語言，它與計(jì)算機(jī)相結(jié)合已經(jīng)成為眾多行業(yè)和部門（如銀行業(yè)、制造業(yè)、醫(yī)藥業(yè)、統(tǒng)計(jì)與審計(jì)部門、信息處理與信息安全部門等）以及社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域（如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)、心理學(xué)、考古學(xué)、語言學(xué)等）必不可少的工具。,applied mathematics 應(yīng)用數(shù)學(xué) astronautical mathematics 航天數(shù)學(xué) biological mathematics 生物數(shù)學(xué) bridge mathematics 橋牌中的數(shù)學(xué) business mathematics 商業(yè)數(shù)學(xué), 營(yíng)業(yè)數(shù)學(xué) economic mathematics 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) engineering mathematics 工程數(shù)學(xué) vague mathematics 模糊數(shù)學(xué) social mathematics 社會(huì)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)應(yīng)用的邊界沒有了,environmental mathematics 環(huán)境數(shù)學(xué) finite mathematics 有窮數(shù)學(xué), 有限數(shù)學(xué) fixed-point mathematics 定點(diǎn)運(yùn)算 floating-point mathematics 浮點(diǎn)運(yùn)算 fuzzing fuzzy mathematics 模糊數(shù)學(xué) higher mathematics 高等數(shù)學(xué) insurance mathematics 保險(xiǎn)數(shù)學(xué) interval mathematics 區(qū)間數(shù)學(xué),intuitionistic mathematics 直覺主義數(shù)學(xué) managerial mathematics 管理數(shù)學(xué) modern mathematics 【教】現(xiàn)代數(shù)學(xué)(教育運(yùn)動(dòng)口號(hào)) new mathematics 【教】新數(shù)學(xué)(教育運(yùn)動(dòng)口號(hào)) numerical mathematics 數(shù)值數(shù)學(xué), 計(jì)算數(shù)學(xué) operational mathematics 運(yùn)算數(shù)學(xué),源自希臘語 mathmatik (tekhn) 數(shù)學(xué)的（科學(xué)） , mathmatikos的陰性詞 數(shù)學(xué)的 ,數(shù)學(xué) 具有藝術(shù)的特征,“知道重大發(fā)明特別是那些絕非偶然的經(jīng)過深思熟慮而得到的重大發(fā)明的真正起源是很有益的。這不僅在于歷史可以給每一位發(fā)明者以應(yīng)有的評(píng)價(jià)，從而鼓舞其他人去爭(zhēng)取同樣的榮譽(yù)，而且還在于通過一些光輝的范例可以促進(jìn)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)，揭示發(fā)現(xiàn)的方法。”,萊布尼茲（G. Leibniz, 1646-1716）,萊布尼茲是德國(guó)數(shù)學(xué)家。他是微積分的發(fā)明者，他所引進(jìn)的微積分算法和符號(hào)比牛頓的算法和符號(hào)影響大得多，并沿用至今。,希爾伯特（ D. Hilbert , 1862-1943 ),“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系。