高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：6.7數(shù)學(xué)歸納法.ppt

第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,三年3考 高考指數(shù): 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理； 2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.,1.歸納猜想證明仍是高考的重點(diǎn)； 2.常與函數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識(shí)結(jié)合，在知識(shí)交匯處命題； 3.題型以解答題為主，難度中等偏上.,1.數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與_有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一 種方法.它的基本步驟是： (1)驗(yàn)證：_時(shí),命題成立； (2)在假設(shè)當(dāng)_時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)_ 時(shí)，命題成立. 根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)_都成立.,正整數(shù)n,n=1,n=k(k1),n=k+1,一切正整數(shù)n,【即時(shí)應(yīng)用】 判斷下列各說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“”或“”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證第一個(gè)值n0,則n0必定為1. ( ) (2)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟是缺一不可的. ( ) (3)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n-3)條時(shí)， 第一步是檢驗(yàn)n等于3. ( ) (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”時(shí)，驗(yàn)證 n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22. ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.有些數(shù)學(xué)歸納法證明題，第一步驗(yàn)證初始值不是1，可能為2，3，4等. (2)正確.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，第一步是歸納奠基，第二步是歸納遞推. (3)正確.第一步檢驗(yàn)n=3,即三角形的對(duì)角線條數(shù)為0. (4)錯(cuò)誤.驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1+2+22+23. 答案：(1) (2) (3) (4),2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示,所有的正整數(shù)n,歸納遞推,歸納奠基,n=k+1時(shí)命題也成立,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明 時(shí)，若已假設(shè)n=k(k2且k為偶數(shù)) 時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n=_時(shí)等式成立. (2)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+_.,【解析】(1)因?yàn)榧僭O(shè)n=k(k2且k為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k+2. (2)從k邊形到k+1邊形，實(shí)際是多了一個(gè)三角形，故內(nèi)角和比k時(shí)多,即f(k+1)=f(k)+. 答案：(1)k+2 (2),用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【即時(shí)應(yīng)用】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則 (1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義，其中兩個(gè)步驟缺一不可，缺第一步，則失去了遞推基礎(chǔ)，缺第二步，則失去了遞推依據(jù).,(2)證明等式時(shí)要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，兩邊各有多少項(xiàng)，并注意初始值n0是多少,同時(shí)第二步由n=k到n=k+1時(shí)要充分利用假設(shè)，不利用n=k時(shí)的假設(shè)去證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法. 【提醒】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.,【例1】(2012煙臺(tái)模擬)是否存在常數(shù)a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【解題指南】本題是開(kāi)放式、存在性的問(wèn)題，一般是先假設(shè)存在，利用特值求得a,b,c的值，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明.,【規(guī)范解答】假設(shè)存在a,b,c使得所給等式成立. 令n=1,2,3代入等式得 解得 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2) 對(duì)一切正整數(shù)n都成立. (1)當(dāng)n=1時(shí)，由以上可知等式成立;,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+ +k(k2-k2)= 則當(dāng)n=k+1時(shí)， (k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k +1)2-(k+1)2 =(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1) = = 由(1)、(2)知，等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.,【反思感悟】1.對(duì)于開(kāi)放式的與n有關(guān)的等式證明問(wèn)題，一般是先假設(shè)結(jié)論成立，利用n的前幾個(gè)取值求參數(shù)，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明. 2.在使用數(shù)學(xué)歸納法的第二步進(jìn)行證明時(shí)，事實(shí)上，“歸納假設(shè)”已經(jīng)成了已知條件，“n=k+1時(shí)結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo)，可先用分析法的思路，借助已學(xué)過(guò)的公式、定理或運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形，把待證的目標(biāo)拼湊出歸納假設(shè)的形式，再把運(yùn)用歸納假設(shè)后的式子進(jìn)行變形、證明.,【變式訓(xùn)練】已知nN*，證明： = 【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊= 右邊= ，等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)等式成立，即有: 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，,左邊 右邊,所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立. 綜合(1)、(2)知對(duì)一切nN*，等式都成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題 【方法點(diǎn)睛】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.,【例2】由下列不等式： 你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并 加以證明. 【解題指南】由已知條件不難猜想到一般不等式，關(guān)鍵是證明，證明時(shí)由n=k到n=k+1時(shí)可采用放縮法. 【規(guī)范解答】根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第n個(gè)不等式，即一般不等式為： 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：,(1)當(dāng)n=1時(shí)，1 ,猜想成立； (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，猜想成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的nN*，不等式都成立.,【反思感悟】1.本例在由n=k到n=k+1這一步變化中，不等式 左邊增加了 即增加了2k項(xiàng)，這 一點(diǎn)很關(guān)鍵，若項(xiàng)數(shù)寫(xiě)不正確，該題的證明將無(wú)法正確得出. 2.當(dāng)n=k+1時(shí)的證明中采用了放縮法，即將已知式子分母變大， 從而所得結(jié)果變小，順利地與要證的式子接軌從而得以證明， 此種方法是證明不等式的常用方法，應(yīng)用時(shí)要注意是放大還是 縮小.,【變式訓(xùn)練】證明不等式 【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=2，不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，不等式成立，即 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，,方法一:分析法 要證 只需證 01顯然成立,方法二：綜合法(放縮法),方法三:綜合法(基本不等式法) 這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立. 由(1)、(2)可知，原不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.,歸納猜想證明類問(wèn)題 【方法點(diǎn)睛】歸納猜想證明類問(wèn)題的解題步驟 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動(dòng)數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的重要方式. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.,【例3】(2012南京模擬)已知數(shù)列an滿足Sn+an=2n+1. (1)寫(xiě)出a1,a2,a3,并推測(cè)an的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論. 【解題指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，從而猜想an. (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要利用n=k的假設(shè)去推證n=k+1時(shí)成立.,【規(guī)范解答】(1)將n=1,2,3分別代入可得 猜想 (2)由(1)得n=1時(shí)，命題成立； 假設(shè)n=k(kN*)時(shí)，命題成立，即 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且a1+a2+ak=2k+1-ak, 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立. 根據(jù)、得,對(duì)一切nN*,an=2- 都成立.,【互動(dòng)探究】若本例中Sn+an=2n+1變?yōu)镾n+an=2n，其余不變，又將如何求解? 【解析】(1)將n=1,2,3分別代入已知可得 猜想,(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=1,猜想顯然成立; 假設(shè)當(dāng)n=k(k1且kN*)時(shí)，猜想成立, 即ak= ,Sk=a1+a2+ak=2k-ak, 那么,當(dāng)n=k+1時(shí)， ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak), 當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立. 綜合、知，當(dāng)nN*時(shí)猜想成立.,【反思感悟】“歸納猜想證明”是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，此種方法在解探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題時(shí)起著重要的作用，特別是在數(shù)列中求an,Sn時(shí)更是應(yīng)用頻繁.,【變式備選】數(shù)列an中，a1=1,a2= ,且 求a3,a4,猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【解析】因?yàn)閍1=1，a2= ，且 所以 同理可求得 歸納猜想， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確. (1)當(dāng)n=1時(shí)，易知猜想正確.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，猜想正確，即 那么當(dāng)n=k+1時(shí)， 即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確. 由(1)、(2)可知，猜想對(duì)任意正整數(shù)都正確.,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題或與 平面幾何有關(guān)的問(wèn)題 【方法點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用 (1)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題主要分為兩類： 是整除數(shù)，是整除代數(shù)式.這兩類證明最關(guān)鍵的問(wèn)題是“配湊”要證的式子(或是叫做“提公因式”)，即當(dāng)n=k+1時(shí)，將n=k時(shí)假設(shè)的式子提出來(lái)，再變形，可證.,(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與平面幾何有關(guān)的命題，其關(guān)鍵是從前幾項(xiàng)的情形中歸納出一個(gè)變化過(guò)程，用f(k+1)-f(k)就可以得到增加的部分，然后理解為何是增加的，就可以從容解題了.,【例4】證明下列問(wèn)題： (1)已知n為正整數(shù)，aZ,用數(shù)學(xué)歸納法證明： an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除. (2)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)不交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分(nN*). 【解題指南】(1)當(dāng)n=k+1時(shí)，把a(bǔ)k+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1的形式是解題的關(guān)鍵. (2)當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與前k個(gè)圓相交，平面區(qū)域增加了2k個(gè)部分是解題的關(guān)鍵.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. 假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，那么當(dāng)n=k+1時(shí)， ak+2+(a+1)2k+1 =(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除,即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立. 根據(jù)、可知，對(duì)于任意nN*，an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.,(2)當(dāng)n=1時(shí)，1個(gè)圓將平面分成兩部分. f(1)=2,12-1+2=2,n=1時(shí)，命題成立. 假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*)時(shí),k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分. 當(dāng)n=k+1時(shí)，在k個(gè)圓的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)圓與原k個(gè)圓都相交，圓周被分成2k段弧，增加了2k個(gè)平面區(qū)域. f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立. 綜上知，對(duì)任意nN*，命題都成立.,【互動(dòng)探究】將本例(2)中的圓變?yōu)橹本€，任意兩條都相交于 一點(diǎn),任意三條不交于同一點(diǎn),求證這n條直線將平面分成f(n) = (n2+n+2)個(gè)部分(nN*)，又將如何證明？ 【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，一條直線將平面分成兩部分，f(1)= (1+1+2)=2，命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí),命題成立，即f(k)= (k2+k+2), 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為二，故增加了k+1個(gè)區(qū)域.,即f(k+1)=f(k)+k+1= (k2+k+2)+k+1 即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立. 由(1)、(2)可知，對(duì)任意nN*,都有f(n)= (n2+n+2)成立.,【反思感悟】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，P(k)P(k+1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k+1)進(jìn)行分拆，配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.” 2.證明與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題，其著眼點(diǎn)是找規(guī)律，由前幾項(xiàng)可找到規(guī)律，進(jìn)行應(yīng)用即可.,【變式備選】用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除，其中n為正整數(shù). 【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除， 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2)， 42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除. 42(k+1)+1+3k+3能被13整除.,方法二：42(k+1)+1+3k+3 -3(42k+1+3k+2) =(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113, 42k+113能被13整除，42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立, 由(1)、(2)知，對(duì)任意nN*，42n+1+3n+2都能被13整除.,【滿分指導(dǎo)】數(shù)學(xué)歸納法解題的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2012九江模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn,并且滿足 (1)猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. (2)設(shè)x0,y0,且x+y=1,證明：,【解題指南】(1)將n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3，從而可猜想an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. (2)利用分析法，結(jié)合x(chóng)0,y0,x+y=1,利用基本不等式可證. 【規(guī)范解答】(1)分別令n=1,2,3,得 an0,a1=1,a2=2,a3=3.,猜想：an=n.2分 由2Sn= +n 可知，當(dāng)n2時(shí)，2Sn-1= +(n-1) -,得 即 3分 ()當(dāng)n=2時(shí)， a20,a2=2. 4分 ()假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)，ak=k,那么當(dāng)n=k+1時(shí)，,ak+1-(k+1)ak+1+(k-1)=0, ak+10,k2,ak+1+(k-1)0, ak+1=k+1. 即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立. 6分 an=n(n2). 顯然n=1時(shí)，也成立，故對(duì)于一切nN*，均有an=n. 7分,(2)要證 只要證 8分 即 將x+y=1代入，得 即只要證 即4xy1. 10分 x0,y0,且x+y=1, 即xy ,故4xy1成立，所以原不等式成立. 12分,【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,1.(2012南陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(n+3) (nN*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng) 是( ) (A)1 (B)1+2