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文檔簡介

第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,三年3考 高考指數(shù): 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理; 2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.,1.歸納猜想證明仍是高考的重點; 2.常與函數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識結(jié)合,在知識交匯處命題; 3.題型以解答題為主,難度中等偏上.,1.數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與_有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一 種方法.它的基本步驟是: (1)驗證:_時,命題成立; (2)在假設(shè)當(dāng)_時命題成立的前提下,推出當(dāng)_ 時,命題成立. 根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對_都成立.,正整數(shù)n,n=1,n=k(k1),n=k+1,一切正整數(shù)n,【即時應(yīng)用】 判斷下列各說法是否正確.(請在括號中填寫“”或“”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法驗證第一個值n0,則n0必定為1. ( ) (2)數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟是缺一不可的. ( ) (3)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n-3)條時, 第一步是檢驗n等于3. ( ) (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”時,驗證 n=1時,左邊式子應(yīng)為1+2+22. ( ),【解析】(1)錯誤.有些數(shù)學(xué)歸納法證明題,第一步驗證初始值不是1,可能為2,3,4等. (2)正確.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可,第一步是歸納奠基,第二步是歸納遞推. (3)正確.第一步檢驗n=3,即三角形的對角線條數(shù)為0. (4)錯誤.驗證n=1時,左邊式子應(yīng)為1+2+22+23. 答案:(1) (2) (3) (4),2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示,所有的正整數(shù)n,歸納遞推,歸納奠基,n=k+1時命題也成立,【即時應(yīng)用】 (1)已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明 時,若已假設(shè)n=k(k2且k為偶數(shù)) 時命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證n=_時等式成立. (2)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+_.,【解析】(1)因為假設(shè)n=k(k2且k為偶數(shù)),故下一個偶數(shù)為k+2. (2)從k邊形到k+1邊形,實際是多了一個三角形,故內(nèi)角和比k時多,即f(k+1)=f(k)+. 答案:(1)k+2 (2),用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【即時應(yīng)用】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則 (1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義,其中兩個步驟缺一不可,缺第一步,則失去了遞推基礎(chǔ),缺第二步,則失去了遞推依據(jù).,(2)證明等式時要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,兩邊各有多少項,并注意初始值n0是多少,同時第二步由n=k到n=k+1時要充分利用假設(shè),不利用n=k時的假設(shè)去證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法. 【提醒】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題的關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少.,【例1】(2012煙臺模擬)是否存在常數(shù)a,b,c,使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c對一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,說明理由. 【解題指南】本題是開放式、存在性的問題,一般是先假設(shè)存在,利用特值求得a,b,c的值,而后用數(shù)學(xué)歸納法證明.,【規(guī)范解答】假設(shè)存在a,b,c使得所給等式成立. 令n=1,2,3代入等式得 解得 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2) 對一切正整數(shù)n都成立. (1)當(dāng)n=1時,由以上可知等式成立;,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,等式成立,即(k2-12)+2(k2-22)+ +k(k2-k2)= 則當(dāng)n=k+1時, (k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k +1)2-(k+1)2 =(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1) = = 由(1)、(2)知,等式對一切正整數(shù)n都成立.,【反思感悟】1.對于開放式的與n有關(guān)的等式證明問題,一般是先假設(shè)結(jié)論成立,利用n的前幾個取值求參數(shù),而后用數(shù)學(xué)歸納法證明. 2.在使用數(shù)學(xué)歸納法的第二步進行證明時,事實上,“歸納假設(shè)”已經(jīng)成了已知條件,“n=k+1時結(jié)論正確”則是求證的目標,可先用分析法的思路,借助已學(xué)過的公式、定理或運算法則進行恒等變形,把待證的目標拼湊出歸納假設(shè)的形式,再把運用歸納假設(shè)后的式子進行變形、證明.,【變式訓(xùn)練】已知nN*,證明: = 【證明】(1)當(dāng)n=1時,左邊= 右邊= ,等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時等式成立,即有: 那么當(dāng)n=k+1時,,左邊 右邊,所以當(dāng)n=k+1時等式也成立. 綜合(1)、(2)知對一切nN*,等式都成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題 【方法點睛】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,推證n=k+1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.,【例2】由下列不等式: 你能得到一個怎樣的一般不等式?并 加以證明. 【解題指南】由已知條件不難猜想到一般不等式,關(guān)鍵是證明,證明時由n=k到n=k+1時可采用放縮法. 【規(guī)范解答】根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第n個不等式,即一般不等式為: 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:,(1)當(dāng)n=1時,1 ,猜想成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,猜想成立,即 則當(dāng)n=k+1時, 即當(dāng)n=k+1時,猜想也正確,所以對任意的nN*,不等式都成立.,【反思感悟】1.本例在由n=k到n=k+1這一步變化中,不等式 左邊增加了 即增加了2k項,這 一點很關(guān)鍵,若項數(shù)寫不正確,該題的證明將無法正確得出. 2.當(dāng)n=k+1時的證明中采用了放縮法,即將已知式子分母變大, 從而所得結(jié)果變小,順利地與要證的式子接軌從而得以證明, 此種方法是證明不等式的常用方法,應(yīng)用時要注意是放大還是 縮小.,【變式訓(xùn)練】證明不等式 【證明】(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,不等式成立,即 那么當(dāng)n=k+1時,,方法一:分析法 要證 只需證 01顯然成立,方法二:綜合法(放縮法),方法三:綜合法(基本不等式法) 這就是說,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立. 由(1)、(2)可知,原不等式對任意正整數(shù)n都成立.,歸納猜想證明類問題 【方法點睛】歸納猜想證明類問題的解題步驟 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納猜想證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性,這種思維方式是推動數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的重要方式. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.,【例3】(2012南京模擬)已知數(shù)列an滿足Sn+an=2n+1. (1)寫出a1,a2,a3,并推測an的表達式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論. 【解題指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3,從而猜想an. (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時,要利用n=k的假設(shè)去推證n=k+1時成立.,【規(guī)范解答】(1)將n=1,2,3分別代入可得 猜想 (2)由(1)得n=1時,命題成立; 假設(shè)n=k(kN*)時,命題成立,即 那么當(dāng)n=k+1時,a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且a1+a2+ak=2k+1-ak, 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 即當(dāng)n=k+1時,命題也成立. 根據(jù)、得,對一切nN*,an=2- 都成立.,【互動探究】若本例中Sn+an=2n+1變?yōu)镾n+an=2n,其余不變,又將如何求解? 【解析】(1)將n=1,2,3分別代入已知可得 猜想,(2)當(dāng)n=1時,a1=1,猜想顯然成立; 假設(shè)當(dāng)n=k(k1且kN*)時,猜想成立, 即ak= ,Sk=a1+a2+ak=2k-ak, 那么,當(dāng)n=k+1時, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak), 當(dāng)n=k+1時猜想也成立. 綜合、知,當(dāng)nN*時猜想成立.,【反思感悟】“歸納猜想證明”是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式,此種方法在解探索性問題、存在性問題時起著重要的作用,特別是在數(shù)列中求an,Sn時更是應(yīng)用頻繁.,【變式備選】數(shù)列an中,a1=1,a2= ,且 求a3,a4,猜想an的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【解析】因為a1=1,a2= ,且 所以 同理可求得 歸納猜想, 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確. (1)當(dāng)n=1時,易知猜想正確.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,猜想正確,即 那么當(dāng)n=k+1時, 即當(dāng)n=k+1時,猜想也正確. 由(1)、(2)可知,猜想對任意正整數(shù)都正確.,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題或與 平面幾何有關(guān)的問題 【方法點睛】數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用 (1)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題主要分為兩類: 是整除數(shù),是整除代數(shù)式.這兩類證明最關(guān)鍵的問題是“配湊”要證的式子(或是叫做“提公因式”),即當(dāng)n=k+1時,將n=k時假設(shè)的式子提出來,再變形,可證.,(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與平面幾何有關(guān)的命題,其關(guān)鍵是從前幾項的情形中歸納出一個變化過程,用f(k+1)-f(k)就可以得到增加的部分,然后理解為何是增加的,就可以從容解題了.,【例4】證明下列問題: (1)已知n為正整數(shù),aZ,用數(shù)學(xué)歸納法證明: an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除. (2)有n個圓,任意兩個都相交于兩點,任意三個不交于同一點,求證:這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分(nN*). 【解題指南】(1)當(dāng)n=k+1時,把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1的形式是解題的關(guān)鍵. (2)當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓與前k個圓相交,平面區(qū)域增加了2k個部分是解題的關(guān)鍵.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. 假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么當(dāng)n=k+1時, ak+2+(a+1)2k+1 =(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除,即當(dāng)n=k+1時,命題也成立. 根據(jù)、可知,對于任意nN*,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.,(2)當(dāng)n=1時,1個圓將平面分成兩部分. f(1)=2,12-1+2=2,n=1時,命題成立. 假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*)時,k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分. 當(dāng)n=k+1時,在k個圓的基礎(chǔ)上再增加一個圓與原k個圓都相交,圓周被分成2k段弧,增加了2k個平面區(qū)域. f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即當(dāng)n=k+1時,命題也成立. 綜上知,對任意nN*,命題都成立.,【互動探究】將本例(2)中的圓變?yōu)橹本€,任意兩條都相交于 一點,任意三條不交于同一點,求證這n條直線將平面分成f(n) = (n2+n+2)個部分(nN*),又將如何證明? 【證明】(1)當(dāng)n=1時,一條直線將平面分成兩部分,f(1)= (1+1+2)=2,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,命題成立,即f(k)= (k2+k+2), 那么當(dāng)n=k+1時,第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個區(qū)域.,即f(k+1)=f(k)+k+1= (k2+k+2)+k+1 即當(dāng)n=k+1時,命題也成立. 由(1)、(2)可知,對任意nN*,都有f(n)= (n2+n+2)成立.,【反思感悟】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)P(k+1)的整式變形是個難點,找出它們之間的差異,然后將P(k+1)進行分拆,配湊成P(k)的形式,也可運用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.” 2.證明與平面幾何有關(guān)的問題,其著眼點是找規(guī)律,由前幾項可找到規(guī)律,進行應(yīng)用即可.,【變式備選】用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除,其中n為正整數(shù). 【證明】(1)當(dāng)n=1時,421+1+31+2=91能被13整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,42k+1+3k+2能被13整除, 則當(dāng)n=k+1時, 方法一:42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2), 42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除. 42(k+1)+1+3k+3能被13整除.,方法二:42(k+1)+1+3k+3 -3(42k+1+3k+2) =(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113, 42k+113能被13整除,42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除,即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,當(dāng)n=k+1時,命題也成立, 由(1)、(2)知,對任意nN*,42n+1+3n+2都能被13整除.,【滿分指導(dǎo)】數(shù)學(xué)歸納法解題的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2012九江模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為 Sn,并且滿足 (1)猜想an的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. (2)設(shè)x0,y0,且x+y=1,證明:,【解題指南】(1)將n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,從而可猜想an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. (2)利用分析法,結(jié)合x0,y0,x+y=1,利用基本不等式可證. 【規(guī)范解答】(1)分別令n=1,2,3,得 an0,a1=1,a2=2,a3=3.,猜想:an=n.2分 由2Sn= +n 可知,當(dāng)n2時,2Sn-1= +(n-1) -,得 即 3分 ()當(dāng)n=2時, a20,a2=2. 4分 ()假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時,ak=k,那么當(dāng)n=k+1時,,ak+1-(k+1)ak+1+(k-1)=0, ak+10,k2,ak+1+(k-1)0, ak+1=k+1. 即當(dāng)n=k+1時也成立. 6分 an=n(n2). 顯然n=1時,也成立,故對于一切nN*,均有an=n. 7分,(2)要證 只要證 8分 即 將x+y=1代入,得 即只要證 即4xy1. 10分 x0,y0,且x+y=1, 即xy ,故4xy1成立,所以原不等式成立. 12分,【閱卷人點撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié),我們可以得到以下失分警示和備考建議:,1.(2012南陽模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(n+3) (nN*)時,第一步驗證n=1時,左邊應(yīng)取的項 是( ) (A)1 (B)1+2

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