高中數(shù)學單元質(zhì)量評估（二）（含解析）新人教A版.docx

單元質(zhì)量評估(二) (第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的)1.平面內(nèi)有定點A,B及動點P,設命題甲是“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是“點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓”,那么甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.點P在線段AB上時|PA|+|PB|是定值,但點P軌跡不是橢圓,反之成立,故選B.2.(2015廣東高考)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】選B.因為所求雙曲線的右焦點為F2且離心率為e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求雙曲線方程為-=1.【補償訓練】與橢圓+=1有相同焦點,并且經(jīng)過點(2,-)的雙曲線的標準方程為_.【解析】由+=1知焦點F1(-,0),F2(,0).依題意,設雙曲線方程為-=1(a0,b0).所以a2+b2=5,又點(2,-)在雙曲線-=1上,所以-=1.聯(lián)立得a2=2,b2=3,因此所求雙曲線的方程為-=1.答案:-=13.已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點F1,F2,P是兩曲線的一個公共點,若F1PF2=,則e等于()A.B.C.D.3【解題指南】在F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定義和已知條件消元.【解析】選C.設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2,焦距為2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨設mn,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又F1PF2=,所以4c2=m2+n2-mn=+3,所以+=4,即+=4,解得e=.【補償訓練】(2016佛山一模)已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點,則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.【解析】選D.依題意,橢圓的焦距和短軸長相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故選D.4.設F1,F2是雙曲線x2-=1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則PF1F2的面積等于()A.4B.8C.24D.48【解析】選C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|PF2|,由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,所以PF1F2為直角三角形,=|PF1|PF2|=24.【拓展延伸】圓錐曲線中的焦點三角形問題解法(1)PF1F2由兩焦點和曲線上一點形成,我們把這種三角形叫焦點三角形.焦點三角形問題的主要類型有:周長、面積、角度等,通常會用到圓錐曲線的定義、正弦定理、余弦定理、面積公式等.(2)焦點三角形的面積主要有兩種求法:=r1r2sinF1PF2和=2c|yP|.(3)涉及焦點、頂點、曲線上點(頂點以外)等問題,抓住幾個特征三角形,舉一反三.這是一個考查重點,容易出現(xiàn)離心率的值(或范圍)的運算.5.(2016長春高二檢測)已知拋物線y2=4x上的點P到拋物線的準線的距離為d1,到直線3x-4y+9=0的距離為d2,則d1+d2的最小值是()A.B.C.2D.【解析】選A.如圖所示過點F作FM垂直于直線3x-4y+9=0,當P點為直線FM與拋物線的交點時,d1+d2最小值為=.6.(2014江西高考)過雙曲線C:-=1的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,O兩點(O為坐標原點),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】選A.設右焦點為F,由題意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程為-=1.7.設F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為該拋物線上三點,若+=0,則|+|+|等于()A.9B.6C.4D.3【解析】選B.設A,B,C三點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),F(1,0),因為+=0,所以x1+x2+x3=3.所以由拋物線定義知|+|+|=x1+1+x2+1+x3+1=6.8.已知雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)【解析】選C.如圖所示,要使過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率小于等于漸近線的斜率,所以,離心率e2=4,所以e2.9.(2016廈門高二檢測)已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點,則l的方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y+4=0D.x+2y-8=0【解析】選D.設l與橢圓的兩交點分別為(x1,y1),(x2,y2),則得=-,所以=-.故方程為y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.10.若拋物線y2=8x的焦點是F,準線是l,則經(jīng)過點F,M(3,3)且與l相切的圓共有()A.0個B.1個C.2個D.4個【解析】選B.由題意得F(2,0),l:x=-2,線段MF的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-7=0,設圓的圓心坐標為(a,b),則圓心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由題意得|a-(-2)|=,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b0,故此方程只有一個根,于是滿足題意的圓只有一個.【補償訓練】(2016蘭州模擬)已知拋物線y2=2px(p0)上一點M(1,m)(m0)到其焦點的距離為5,雙曲線-y2=1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a=()A.B.C.D.【解析】選A.根據(jù)題意,拋物線y2=2px(p0)上一點M(1,m)到其焦點的距離為5,則1+=5,解得p=8;即拋物線的方程為y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐標為(1,4),雙曲線-y2=1的左頂點為A,則a0,且A的坐標為,漸近線方程為y=x,因為雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,所以kAM=,解得a=.11.(2016珠海高二檢測)已知F1,F2分別為雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上的任意一點,若的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.(1,+)B.(1,2C.(1,D.(1,3【解析】選D.=+|PF2|+4a4a+4a=8a,當且僅當=|PF2|,即|PF2|=2a時取等號.這時|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|F1F2|,得6a2c,即e=3,得e(1,3.12.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則AOB的面積為()A.B.C.D.2【解析】選C.如圖所示,由題意知,拋物線的焦點F的坐標為(1,0),又|AF|=3,由拋物線定義知:點A到準線x=-1的距離為3,所以點A的橫坐標為2.將x=2代入y2=4x得y2=8,由圖知點A的縱坐標y=2,所以A(2,2),所以直線AF的方程為y=2(x-1).聯(lián)立直線與拋物線的方程解得或由圖知B,所以=|OF|yA-yB|=1|2+|=.【補償訓練】(2016邢臺高二檢測)已知拋物線y2=8x的準線為l,點Q在圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上,記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d,則d+|PQ|的最小值等于()A.3B.2C.4D.5【解析】選A.如圖所示,由題意,知拋物線y2=8x的焦點為F(2,0),連接PF,則d=|PF|.圓C的方程配方,得(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑r=2.d+|PQ|=|PF|+|PQ|,顯然,|PF|+|PQ|FQ|(當且僅當F,P,Q三點共線時取等號).而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離,顯然當F,Q,C三點共線時取得最小值,最小值為|CF|-r=-2=5-2=3.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2016南昌高二檢測)在平面直角坐標系中,O是原點,=(1,0),P是平面內(nèi)的動點,若|-|=|,則P點的軌跡方程是_.【解析】設P(x,y),則=(x,y),又因為|-|=|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-114.(2016蘭州高二檢測)直線y=x+3與曲線-=1的公共點的個數(shù)為_.【解析】當x0時,-=1化為-=1;當x0時,-=1化為+=1,所以曲線-=1是由半個雙曲線和半個橢圓組成的圖形,結(jié)合圖象可知(如圖),直線y=x+3與曲線-=1的公共點的個數(shù)為3.答案:315.(2016撫順高二檢測)已知點F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若ABF2為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_.【解析】因為雙曲線關于x軸對稱,所以A,B兩點關于x軸對稱,所以|F2A|=|F2B|,ABF2為銳角三角形AF2B為銳角AF2F145|AF1|F1F2|,因為F1(-c,0),所以A,即|AF1|=,又|F1F2|=2c,所以2c,所以c2-2ac-a20,所以e2-2e-10,所以1-e1,所以1eb0)的兩焦點關于直線y=x的對稱點均在橢圓內(nèi)部,則橢圓的離心率e的取值范圍為_.【解析】由已知得兩焦點為(c,0),其關于直線y=x的對稱點為(0,c)均在橢圓內(nèi)部,則1,得1,1,解得0e0),過焦點F且斜率為k(k0)的直線與C相交于A,B兩點,若=3,則k=_.【解析】設直線l為拋物線的準線,過A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE垂直于AA1于點E,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,所以cosBAE=,所以BAE=60,所以tanBAE=.即k=.答案:三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2016鄭州高二檢測)已知點M在橢圓+=1上,MP垂直于橢圓焦點所在的直線,垂足為P,并且M為線段PP的中點,求P點的軌跡方程.【解析】設P點的坐標為(x,y),M點的坐標為(x0,y0).因為點M在橢圓+=1上,所以+=1.因為M是線段PP的中點,所以把代入+=1,得+=1,即x2+y2=36.所以P點的軌跡方程為x2+y2=36.18.(12分)雙曲線C與橢圓+=1有相同的焦點,直線y=x為C的一條漸近線.求雙曲線C的方程.【解析】設雙曲線方程為-=1.由橢圓+=1,求得兩焦點為(-2,0),(2,0),所以對于雙曲線C:c=2.又y=x為雙曲線C的一條漸近線,所以=,解得a2=1,b2=3,所以雙曲線C的方程為x2-=1.19.(12分)已知點F1,F2分別是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點,A是橢圓C的上頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,F1AF2=60.(1)求橢圓C的離心率.(2)已知AF1B的面積為40,求a,b的值.【解析】(1)由題意知AF1F2為正三角形,a=2c,e=.(2)直線AB的方程為y=-(x-c),(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=,得A(0,c),B,得|AB|=.由AF1B的面積為40,得|AB|AF1|sin60=40,a=40,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=5.20.(12分)已知動圓C過定點F(0,1),且與直線l1:y=-1相切,圓心C的軌跡為E.(1)求動點C的軌跡方程.(2)已知直線l2交軌跡E于兩點P,Q,且PQ中點的縱坐標為2,則|PQ|的最大值為多少?【解析】(1)由題設知點C到點F的距離等于它到l1的距離,所以點C的軌跡是以F為焦點,l1為準線的拋物線,所以所求軌跡的方程為x2=4y.(2)由題意易知直線l2的斜率存在,又拋物線方程為x2=4y,當直線AB斜率為0時,|PQ|=4.當直線AB斜率k不為0時,設中點坐標為(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),則有=4y1,=4y2,兩式作差得-=4(y1-y2),即得k=,則直線方程為y-2=(x-t),與x2=4y聯(lián)立得x2-2tx+2t2-8=0.由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,|PQ|=6,即|PQ|的最大值為6.21.(12分)(2015陜西高考)如圖,橢圓E:+=1(ab0)經(jīng)過點A(0,-1),且離心率為.(1)求橢圓E的方程.(2)經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.【解析】(1)由題意知=,b=1,綜合a2=b2+c2,解得a=,所以,橢圓的方程為+y2=1.(2)由題設知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1,代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,則x1+x2=,x1x2=,從而直線AP與AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.22.(12分)(2016株洲高二檢測)已知橢圓+=1(ab0)的右焦點為F(2,0),M為橢圓的上頂點,O為坐標原點,且MOF是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程.(2)過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過定點.【解題指南】(1)根據(jù)幾何性質(zhì)求出a,b,然后代入橢圓的標準方程.(2)以參數(shù)k,m表示直線方程,代入橢圓方程,設出A,B的坐標,利用根與系數(shù)的關系和k1+k2=8求出m,k的關系式,建立直線AB的方程,證明直線過定點.【解析】(1)由MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故橢圓方程為+=1.(2)若直線AB的斜率存在,設AB方程為y=kx+m,依題意m2.設A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.則x1+x2=-,x1x2=.由已知k1+k2=8,可得+=8,所以+=8,即2k+(m