高中數(shù)學第三章兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（一）學案.docx

31.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)學習目標1.掌握兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法知識點一兩角和的余弦公式思考如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？答案用代換cos()coscossinsin中的便可得到梳理公式cos()coscossinsin簡記符號C()使用條件，都是任意角記憶口決：“余余正正，符號相反”知識點二兩角和與差的正弦公式思考1如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和的正弦公式？答案sin()coscoscoscossinsinsincoscossin.思考2怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？答案用代換，即可得sin()sincoscossin.梳理內容兩角和的正弦兩角差的正弦簡記符號S()S()公式形式sin()sincoscossinsin()sincoscossin記憶口訣：“正余余正，符號相同”1不存在角，使得cos()coscossinsin.()提示如0，cos()cos01，coscossinsin1.2任意角，都有sin()sincoscossin.()提示由兩角和的正弦公式知結論正確3存在角，使sin()sincoscossin.()提示由兩角差的正弦公式知不存在角，使sin()sincoscossin.4存在角，使sin()sincoscossin.()提示如0時，sin()0，sincoscossin0.類型一給角求值例1(1)(2017衡水高一檢測)已知角的終邊經(jīng)過點(3,4)，則sin的值為()A.BC.D考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案C解析因為角的終邊經(jīng)過點(3,4)，則sin，cos，所以sinsincoscossin.(2)計算：sin14cos16sin76cos74.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值解原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin30.反思與感悟解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式跟蹤訓練1求值：.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案2解析原式2.類型二給值求值例2已知sin，cos，且0，求cos()考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值解0，0.又sin，cos，cos，sin.cos()sinsinsincoscossin.反思與感悟(1)給值(式)求值的策略當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”(2)給值求角本質上為給值求值問題，解題時應注意對角的范圍加以討論，以免產生增解或漏解跟蹤訓練2已知cos，x(0，)，則sinx的值為()A.B.C.D.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案B解析由題意得x，所以sin，所以sinxsinsincoscossin.類型三輔助角公式例3(1)求值：cossin.考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案解析原式22sin.(2)當函數(shù)ysinxcosx(0x2)取得最大值時，x.考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案解析y2sin，0x2，x，當x，即x時，ymax2.反思與感悟一般地，對于asinbcos形式的代數(shù)式，可以提取，化為Asin(x)的形式，公式asinbcossin()(或asinbcoscos()稱為輔助角公式利用輔助角公式可對代數(shù)式進行化簡或求值跟蹤訓練3sincos.考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案解析原式2222sin2sin.1sin7cos37sin83sin37的值為()ABC.D.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案B解析原式sin7cos37cos7sin37sin(30)sin30.2計算cossin的值是()A.B2C2D.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案B解析cossin222sin2sin2.3已知銳角，滿足sin，cos，則.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求角答案解析，為銳角，sin，cos，cos，sin.sin()sincoscossin.又0，.4.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案解析原式sin30.5求函數(shù)f(x)sinxcos的值域考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應用解f(x)sinxsinxcosxsin，故函數(shù)f(x)的值域為，1公式的推導和記憶(1)理順公式間的邏輯關系C()C()S()S()(2)注意公式的結構特征和符號規(guī)律對于公式C()，C()可記為“同名相乘，符號反”；對于公式S()，S()可記為“異名相乘，符號同”(3)符號變化是公式應用中易錯的地方，特別是公式C()，C()，S()，且公式sin()sincoscossin，角，的“地位”不同也要特別注意2應用公式需注意的三點(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式(3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關公式，其中特別要注意的是“1”的代換，如1sin2cos2，1sin90，cos60，sin60等，再如：0，等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù).一、選擇題1sin20cos10cos160sin10等于()AB.CD.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案D解析sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30.2已知，sin，則sin等于()A.B.C或D考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案B解析由，得，所以cos.所以sin sin sincoscossin，故選B.3(2017江西上饒高一期末考試)已知cos()，sin，且，則sin等于()A.B.CD考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案A解析0.又cos()，sin().0，cos0，由(sincos)212sincos.可得sincos.解得sin，cos.因為coscoscoscossinsin，sinsinsincoscossin，則sinsincoscossin.6(2017安徽馬鞍山?？?函數(shù)f(x)sinsin是()A周期為的偶函數(shù)B周期為2的偶函數(shù)C周期為的奇函數(shù)D周期為2的奇函數(shù)考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應用答案B解析因為f(x)sinsinsinxcoscosxsinsinxcoscosxsincosx，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2.又f(x)cos(x)cosxf(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)7已知cossin，則sin的值為()AB.CD.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案C解析cossin，coscossinsinsin，cossin，即cossin，sin.sinsin.二、填空題8(2017全國)函數(shù)f(x)2cosxsinx的最大值為考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案解析f(x)2cosxsinx，設sin，cos，則f(x)sin(x)，函數(shù)f(x)2cosxsinx的最大值為.9sin15sin75的值是考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案解析sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos30.10.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案1解析原式tan451.11已知sin，則cosxcos.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案1解析因為sin，所以cosxcoscosxcosxsinxcosxsinxsin1.三、解答題12已知，cos()，sin()，求sin2的值考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值解因為，所以0，0，所以0.所以sin，cos()，sin(2)sin()sincos()cossin().(2)sinsin()sincos()cossin().又因為，所以.四、探究與拓展14定義運算adbc.若cos，0，則.考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應用答案解析由題意，得sincoscos