高中數(shù)學(xué)第二章雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第1課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第1課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題.3.能區(qū)別橢圓與雙曲線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)實(shí)軸和虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸漸近線yxyx離心率e，e(1，)知識(shí)點(diǎn)二等軸雙曲線思考在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，若ab，其漸近線方程是什么？答案yx.梳理實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的漸近線是yx.1雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn)，分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn)()2雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊()3方程1(a0，b0)的漸近線方程為yx.()4等軸雙曲線的離心率為.()類型一雙曲線的幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)解將9y24x236化為標(biāo)準(zhǔn)方程1，即1，a3，b2，c.因此頂點(diǎn)為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實(shí)軸長(zhǎng)2a6，虛軸長(zhǎng)2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.反思與感悟討論雙曲線的幾何性質(zhì)，先要將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)雙曲線兩種形式的特點(diǎn)得到幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線x23y2120的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)解將方程x23y2120化為標(biāo)準(zhǔn)方程1，a24，b212，a2，b2，c4.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a4，虛軸長(zhǎng)2b4.焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(0，2)，A2(0,2)，漸近線方程為yx，離心率e2.類型二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以直線2x3y0為漸近線，過點(diǎn)(1,2)；(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點(diǎn)M(3，2)；(3)過點(diǎn)(2,0)，與雙曲線1離心率相等；(4)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，離心率為.考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程解(1)方法一由題意可設(shè)所求雙曲線方程為4x29y2(0)，將點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入方程解得32.因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由題意可設(shè)所求雙曲線方程為1(mn0)由題意，得解得因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)所求雙曲線方程為(0)由點(diǎn)M(3，2)在雙曲線上，得，2.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)其方程為(0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)其方程為(0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得0，b0)因?yàn)閑1，所以a2，則b2c2a25，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(160，b0)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a0，b0)與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b20)，將點(diǎn)(5,4)代入雙曲線方程，得9，雙曲線方程為1.類型三與雙曲線有關(guān)的離心率問題命題角度1求雙曲線離心率的值例3雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為()A2或B2C.D.考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案A解析因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線的夾角為60，所以有以下兩種情況(以焦點(diǎn)在x軸上為例)：(1)如圖所示，其中一條漸近線的傾斜角為60；(2)如圖所示，其中一條漸近線的傾斜角為30.所以該漸近線的斜率為k或k.當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，有或.因?yàn)閎2c2a2，所以3或，所以e24或e2，得e2或e；同理，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，則或，所以或.同理可得e或e2.故選A.反思與感悟求雙曲線離心率的常見方法(1)依據(jù)條件求出a，c，再計(jì)算e.(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，一種方法是消去b轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程，求出后，利用e求解跟蹤訓(xùn)練3雙曲線1(0a0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，)考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線離心率的取值范圍答案B解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形，且AF2BF2，只要AF2B為鈍角即可由題設(shè)可得AF1，所以有2c，即2ac0，b0)的右支上到原點(diǎn)O和右焦點(diǎn)F距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，則雙曲線的離心率的取值范圍為_考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線離心率的取值范圍答案(2，)解析由于到原點(diǎn)O和右焦點(diǎn)F距離相等的點(diǎn)在線段OF的垂直平分線上，其方程為x.依題意，在雙曲線1 (a0，b0)的右支上到原點(diǎn)和右焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，所以直線x與右支有兩個(gè)交點(diǎn)，故應(yīng)滿足a，即2，得e2.1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()A2B2C4D4考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案C解析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故實(shí)軸長(zhǎng)為4.2中心在原點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為10，虛軸長(zhǎng)為6的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程答案B解析由題意知，a5，b3，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.3已知雙曲線1(a0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案C解析由題意知a259, 解得a2，則e.4雙曲線x2y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于()A.B.C1D.考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案A解析雙曲線x2y21的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，漸近線yx，所以xy0，所以頂點(diǎn)到漸近線的距離為d.5已知雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy5上，則雙曲線的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)以離心率或漸近線為條件的簡(jiǎn)單問題答案B解析根據(jù)題意，雙曲線的方程為1，則其焦點(diǎn)在x軸上，直線xy5與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,0)，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，則有9m25，解得m16，則雙曲線的方程為1，其漸近線方程為yx，故選B.1漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”，就是漸近線方程反之由漸近線方程axby0變?yōu)閍2x2b2y2，再結(jié)合其他條件求得就可得雙曲線方程2準(zhǔn)確畫出幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便，而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩條漸近線，就能畫出它的近似圖形一、選擇題1雙曲線25x29y2225的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率分別是()A10,6，B6,10，C10,6，D6,10，考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案B解析雙曲線25x29y2225即為1，可得a3，b5，c，則實(shí)軸長(zhǎng)為2a6，虛軸長(zhǎng)為2b10，離心率e.2雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A1B.C2D2考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案C解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)F(4,0)到xy0的距離為2.3已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21Bx21C.1D.1考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程答案A解析由焦距為2，得c.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.4若a1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線離心率的取值范圍答案C解析若a1，則雙曲線y21的離心率為(1，)故選C.5若實(shí)數(shù)k滿足0k5，則曲線1與曲線1的()A實(shí)半軸長(zhǎng)相等B虛半軸長(zhǎng)相等C離心率相等D焦距相等考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案D解析因?yàn)?k0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則等于()A12B2C0D4考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)以離心率或漸近線為條件的簡(jiǎn)單問題答案C解析yx為漸近線方程，則b2，即雙曲線方程為x2y22.當(dāng)x時(shí)，y1.又雙曲線的半焦距為2，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，(2，y0)(2，y0)1y110.故選C.8已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A.B2C.D.考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析如圖，設(shè)雙曲線E的方程為1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點(diǎn)N(x1,0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin60a，x1|OB|BN|a2acos602a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入1，可得a2b2，e，故選D.二、填空題9已知雙曲線1的實(shí)軸長(zhǎng)為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為_考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案解析由題意m21625,4m30，m3，3，該雙曲線的漸近線的斜率為.10已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線方程為yx，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程答案1解析頂點(diǎn)(a,0)到漸近線的距離為1，1，解得a2.，b.雙曲線方程為1.11已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案解析設(shè)F1(c,0)，將xc代入雙曲線方程，得1，所以1，所以y.因?yàn)閟inMF2F1，所以tanMF2F1，所以e2e10，所以e(負(fù)值舍去)12若雙曲線與橢圓4x2y264有公共的焦點(diǎn)，它們的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線方程為_考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題答案1解析橢圓4x2y264，即1，焦點(diǎn)為(0，4)，離心率為，所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，c4，e，所以a6，b2，所以雙曲線方程為1.三、解答題13已知雙曲線E：1.(1)若m4，求雙曲線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；(2)若雙曲線E的離心率為e，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)解(1)當(dāng)m4時(shí)，雙曲線方