高二數(shù)學生活中的優(yōu)化問題.ppt

1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例,問題提出,1.在什么條件下，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上一定存在最大值和最小值？,函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,2.如果在閉區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么如何求出函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值？,將函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）上的所有極值與區(qū)間端點函數(shù)值進行比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值.,3.生活中經(jīng)常遇到求利潤最高，產(chǎn)量最大，成本最低，用料最省等實際問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.解決優(yōu)化問題的本質(zhì)就是求函數(shù)的最值，因此，以函數(shù)為載體導(dǎo)數(shù)為工具，解決生活中的優(yōu)化問題，是數(shù)學應(yīng)用領(lǐng)域的一個重要課題.,探究（一）：海報版面尺寸的設(shè)計,思考1：版心面積為定值128dm2，海報的面積是否也為定值？,思考2：設(shè)版心的高為x，則海報的面積為多少？海報四周空白的面積為多少？,思考3：設(shè)海報四周空白的面積為S(x)，則S(x)的最簡表達式如何？其定義域是什么？,思考4：海報四周空白的面積S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？,思考5：如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最?。?版心高為16dm， 寬為8dm時，,探究（二）：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響,【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.,思考1：1mL飲料所占的體積是多少cm3？半徑為r的瓶子最多能裝多少mL的飲料？,思考2：每瓶滿裝的飲料的利潤(單位：分)是多少？,思考3：設(shè)每瓶滿裝飲料的利潤為f(r)，則函數(shù)f(r)的定義域是什么？,（0，6,思考4：函數(shù) 是否存在最值？若存在，如何求其最值？,思考5：函數(shù) 的大致圖象是什么？據(jù)圖象分析，瓶子半徑的大小對制造商的利潤產(chǎn)生什么影響？,當0r3時，利潤為負值；當r3時，利潤為零；當r3時，利潤為正值，并隨著瓶子半徑的增大利潤也相應(yīng)增大.,思考6：市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些（如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價格要高），在數(shù)學上有什么道理？,將包裝盒捏成球狀，因為小包裝的半徑小，其利潤低，生產(chǎn)商就提高銷售價格來平衡與大包裝的利潤.,探究（三）：磁盤的最大存儲量問題,【背景材料】計算機把信息存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū).磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域.磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常稱為比特，磁盤的構(gòu)造如圖所示.,為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n.為了數(shù)據(jù)檢索的方便，磁盤格式化時要求所有磁道具有相同的比特數(shù).,思考1：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)形區(qū)域，且最外面的磁道不存儲任何信息，那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達多少？,思考2：由于每條磁道上的比特數(shù)相同，那么這張磁盤存儲量的大小取決于哪條磁道上的比特數(shù)？,最內(nèi)一條磁道.,思考3：要使磁盤的存儲量達到最大，那么最內(nèi)一條磁道上的比特數(shù)為多少？,思考4：這張磁盤的存儲量最大可達到多少比特？,思考5：若R為定值，r為變量，那么這張 磁盤的存儲量 如何變化？有何最值？,時，存儲量最大.,思考6：如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成正比，那么如何計算磁盤的存儲量？此時，是不是r越小，磁盤的存儲量越大？,時，存儲量最大.,理論遷移,例 某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)能力，進而提高產(chǎn)品的增加值.已知投入x萬元用于技術(shù)改造，所獲得的產(chǎn)品的增加值為(60x)x2萬元，并且技 改投入比率 .求當技改投入 多少萬元時，所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大？,技改投入40萬元,小結(jié)作業(yè),1.解決優(yōu)化問題的基本思路：,優(yōu)化問題,2.解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是將實際問題化歸為函數(shù)的最值問題來處理，其探究過程是一個典型的數(shù)學建模過程.對目標函數(shù)的最值，要根據(jù)函數(shù)式的特點，用適當?shù)姆椒ㄇ蠼?，有時用基本不等式或二次函數(shù)圖象求最值比用導(dǎo)數(shù)更方便.,3.對優(yōu)化問題中的函數(shù)關(guān)系，要注意根據(jù)實際背景確定函數(shù)的定義域，如果目標函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則這個極值點一般就是最值點.,例1 一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10km時，燃料費是每小時6元，其它與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使每行駛1km的總費用最小？,20km/h,例2 用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么當容器的高為多少時，其容積最大？最大容積為多少？,高為1.2m，最大容積為1.8m3.