素法6-2幾何應(yīng)用面積,長度.ppt

,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.1 定積分的元素法,一、什么問題可以用定積分解決 ?,二 、定積分應(yīng)用的元素法,第六章 定積分的應(yīng)用,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,兩直線,所圍成 .,則其面積 A =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,回顧:曲邊梯形求面積的問題,及x軸以及,1) 分割.,區(qū)間 a , b同時將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形,且A= Ai,2) 近似.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,面積表示為定積分的步驟如下:,3) 求和(求近似和).,4) 取極限.,取,3)部分量可近似表示為,一、什么問題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 U 與變量x(或)有關(guān),且定義在區(qū)間a , b 上 ;,2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即總量等于部分量的和,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,可推廣到無窮區(qū)間,第二步 求對應(yīng)于x,x+dx上局部量U 的近似值,微分表達式,第三步,以微元為被積表達式在U定義的 區(qū)間a,b 上積分,這種分析問題的方法稱為元素法 (或微元法),元素的幾何形狀常取為:,條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等,稱元素或微元,(微元法),二 、定積分應(yīng)用的元素法,第一步 確定U 定義的區(qū)間a,b,(注:選取不同的積分變量,U 所定義的區(qū)間可能不同),不妨設(shè),選x為積分變量,注:,但要求:,是U的近似值，,是U的線性主部,三、體積,一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,第六章,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,邊梯形面積為 A ,一般地,曲線y=f1(x)、 y=f2(x)及 x=a,x=b (ab)圍成圖形(右下圖),面積為,例1. 計算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點,所圍圖形,為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考:選x為積分變量,A=?,+,曲線,與,圍成平面圖形的面積.,舉一個例子:,曲線,與,圍成S.,解:,兩曲線的交點為(-1,1)、(0，0)、(2，4),所以,=,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當 a = b 時得圓面積公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 極坐標情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對應(yīng) 從 0 變,例5. 計算阿基米德螺線,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,到 2 所圍圖形面積 .,例6. 計算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對稱性),心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,旋轉(zhuǎn)面的面積 (補充),設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 .,取側(cè)面積元素:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7: 設(shè)有曲線,過原點作其切線 , 求,由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一,周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.,解:,過,點的切線為:,將(0,0)點代入得,則切線方程為:,則表面積,1,x,y,o,2,二、平面曲線的弧長,當折線段的最大,邊長 0 時,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),則稱,光滑曲線的概念:P171,曲線表示為參數(shù)方程,且,(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(P168),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3) 曲線弧由極坐標方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自己驗證),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8. 計算曲線,的弧長 .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例10. 計算擺線,一拱,的弧長 .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例11. 求阿基米德螺線,相應(yīng)于 02,一段的弧長 .,解:,小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,參數(shù)方程(按直角坐標用參數(shù)方程換元),極坐標方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標方程,弧微分:,直角坐標方程,直角坐標方程,注意: 求弧長時積分上