數(shù)學(xué)軟件Matlab.ppt

1,數(shù)學(xué)軟件 Matlab, Matlab 符號(hào)運(yùn)算,2,主要內(nèi)容,Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹 符號(hào)對象與基本符號(hào)運(yùn)算 symvar、 subs 和 vpa 常見的符號(hào)計(jì)算（重點(diǎn)內(nèi)容）,3,符號(hào)運(yùn)算,計(jì)算以推理方式進(jìn)行，不受計(jì)算誤差累積所帶來的困擾,符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡單，與教科書上的公式相近,符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時(shí) ）,符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對較長,符號(hào)運(yùn)算的特點(diǎn),4,Matlab 符號(hào)運(yùn)算,Matlab 符號(hào)運(yùn)算是通過符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱（Symbolic Math Toolbox）來實(shí)現(xiàn)的。,Matlab 的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)算功能，如：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)微積分，符號(hào)作圖，符號(hào)代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求解等。 此外，該工具箱還支持可變精度運(yùn)算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。,Matlab 符號(hào)運(yùn)算,5,符號(hào)運(yùn)算舉例,求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根,solve(a*x2+b*x+c=0),求的根 f (x) = (cos x)2 的一次導(dǎo)數(shù),x=sym(x); diff(cos(x)2),計(jì)算 f (x) = x2 在區(qū)間 a, b 上的定積分,syms a b x; int(x2,a,b),6,內(nèi)容提要,Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹 符號(hào)對象與基本符號(hào)運(yùn)算 symvar、 subs 和 vpa 常見的符號(hào)計(jì)算,7,在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必須先定義基本的符號(hào)對象，可以是 符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等 符號(hào)對象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),符號(hào)對象,符號(hào)表達(dá)式：含有符號(hào)對象的表達(dá)式稱,符號(hào)矩陣/數(shù)組：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣/數(shù)組,Matlab 符號(hào)對象,8,sym 用來建立單個(gè)符號(hào)對象，一般調(diào)用格式為：,符號(hào)對象的定義/聲明：sym、syms,符號(hào)對象的建立,符號(hào)變量 = sym(x),參數(shù) x 可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串,b=sym(1/3),C=sym(1 ab; c d),9,符號(hào)對象的建立,syms 符號(hào)變量1 符號(hào)變量2 . 符號(hào)變量n,a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c);,syms 用來聲明多個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：,符號(hào)對象的定義/聲明：sym、syms,10,例：,建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下 2 種方法： (1) 用 sym 函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式 (2) 使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式,y=sym(sin(x)+cos(x),x=sym(x); y=sin(x)+cos(x),符號(hào)表達(dá)式,syms x; y=sin(x)+cos(x),符號(hào)表達(dá)式：含符號(hào)對象的表達(dá)式,11,Matlab 符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱和使用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同,基本符號(hào)運(yùn)算,普通運(yùn)算：,數(shù)組運(yùn)算：,矩陣轉(zhuǎn)置：,基本運(yùn)算,基本數(shù)學(xué)函數(shù),三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等,sin,cos,asin,acos,exp,log,abs,diag,tril,triu, .,+ - * / ,.* . ./ ., .,12,符號(hào)矩陣,A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x),使用 sym 函數(shù)直接生成,將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成符號(hào)矩陣,符號(hào)矩陣中元素的引用和修改,B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3); C=sym(B),A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x); A(1,2) % 引用 A(2,2)=sym(cos(x) % 重新賦值,符號(hào)矩陣的生成,13,內(nèi)容提要,Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹 符號(hào)對象與基本符號(hào)運(yùn)算 symvar、 subs 和 vpa 常見的符號(hào)計(jì)算,14,symvar,symvar(s),symvar(s, N),列出符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量,按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式 s 中的所有符號(hào)變量,列出符號(hào)表達(dá)式 s 中離 x 最近的 N 個(gè)符號(hào)變量 若有兩個(gè)符號(hào)變量與 x 的距離相等，則ASCII 碼大者優(yōu)先 常量 pi, i, j 不作為符號(hào)變量,f=sym(2*v-3*y+z2+5*a) symvar(f) symvar(f,2),例：,15,subs,用 a 替換符號(hào)表達(dá)式 s 中的符號(hào)變量 x 這里 a 可以是 數(shù)/變量/表達(dá)式 或 符號(hào)變量/表達(dá)式,符號(hào)替換,用給定的數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量,subs(s,x,a),syms x y u v; f1=2*x+y-1; f2=subs(f1,x,u) f3=subs(f1,y,2+3) f3=subs(f1,x,y,u,v),例：,16,subs 舉例,f=sym(2*u); f1=subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) f3=subs(f,u,1,2) a=3; f4=subs(f2,u,a+2) f5=subs(f2,u,a+2) syms x y; f6=subs(f,u,x+y) f7=subs(f6,x,y,1,2) f8=subs(f6,x,y,x+y,x+y),例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果,符號(hào)變量若沒有聲明，則需要加上單引號(hào)！,17,vpa,計(jì)算表達(dá)式 s 的值，保留 n 位有效數(shù)字 返回值是符號(hào)對象,可變精度,vpa(s,n),x1=vpa(sin(pi/2),10) x2=vpa(pi3,3) x3=vpa(pi,100),例：,18,內(nèi)容提要,Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹 符號(hào)對象與基本符號(hào)運(yùn)算 symvar、 subs 和 vpa 常見的符號(hào)計(jì)算（六類運(yùn)算）,因式分解、展開、合并、簡化、通分和反函數(shù)等 計(jì)算極限 計(jì)算導(dǎo)數(shù) 計(jì)算積分 符號(hào)級(jí)數(shù)求和 代數(shù)方程和微分方程的求解（重點(diǎn)與難點(diǎn)）,19,因式分解,factor(f),syms x; f=x6+1; factor(f),factor 也可用于正整數(shù)的分解,s=factor(100),factor(12345678901234567890) % ERROR factor(sym(12345678901234567890),對大整數(shù)進(jìn)行因式分解時(shí)可以先將其轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量,例：,例：,因式分解,20,函數(shù)展開,expand(f),syms x; f=(x+1)6; expand(f),多項(xiàng)式展開,三角函數(shù)展開,syms x y; f=sin(x+y); expand(f),函數(shù)展開,例：,例：,21,合并同類項(xiàng),syms x y; f=x2*y+y*x+y2+2*x ; collect(f) collect(f,y),例：,collect(f,v) % 按指定變量 v 進(jìn)行合并 collect(f) % 按默認(rèn)變量進(jìn)行合并,合并同類項(xiàng),默認(rèn)變量：symvar(f) 的返回結(jié)果,syms u v; g=u2*v+u*v3-u2+v; collect(g),22,函數(shù)簡化,y=simplify(f),函數(shù)簡化,對符號(hào)表達(dá)式 f 進(jìn)行簡化,syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2; y=simplify(f),例：,23,函數(shù)簡化,y=simple(f),函數(shù)簡化,對 f 嘗試多種不同的方法（包括 simplify）進(jìn)行簡化， 以尋求其最簡短形式,例：化簡,syms x; f=(cos(x)2-sin(x)2)*sin(2*x)*(exp(2*x) . -2*exp(x)+1)/(exp(2*x)-1); y1=simplify(f) y2=simple(f),24,函數(shù)簡化,N,D=numden(f),通分,N 為通分后的分子，D 為通分后的分母,syms x y; f=x/y+y/x; N,D=numden(f ),n,d=numden(sym(112/1024),例：,25,horner 多項(xiàng)式,horner 多項(xiàng)式：嵌套形式的多項(xiàng)式,syms x; f=x4+2*x3+4*x2+x+1; g=horner(f),例：,26,求反函數(shù),反函數(shù),finverse(f,v) % 求 f 關(guān)于指定變量 v 的反函數(shù) finverse(f) % 求 f 關(guān)于默認(rèn)變量的反函數(shù),syms x t; f=x2+2*t; g1=finverse(f,x) g2=finverse(f,t),例：計(jì)算函數(shù) 的反函數(shù),27,計(jì)算極限,limit(f,x,a) % 計(jì)算 limit(f,a) % 當(dāng)默認(rèn)變量趨向于 a 時(shí)的極限 limit(f) % 計(jì)算 a=0 時(shí)的極限 limit(f,x,a,right) % 計(jì)算右極限 limit(f,x,a,left) % 計(jì)算左極限,例：計(jì)算 ，,syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf),計(jì)算極限,28,計(jì)算導(dǎo)數(shù),g=diff(f,v) % 求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于變量 v 的導(dǎo)數(shù) g=diff(f) % 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù) g=diff(f,v,n) % 求 f 關(guān)于 v 的 n 階導(dǎo)數(shù),計(jì)算導(dǎo)數(shù),syms x; f=sin(x)+3*x2; g1=diff(f,x) g2=diff(f,x,3),例：,29,計(jì)算積分,int(f,v,a,b) % 計(jì)算定積分 int(f,a,b) % 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的定積分 int(f,v) % 計(jì)算不定積分 int(f) % 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分,syms x; f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2; I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf),例：計(jì)算 和,計(jì)算積分,30,符號(hào)級(jí)數(shù)求和,syms n; f=1/n2; S=symsum(f,n,1,inf) S100=symsum(f,n,1,100),symsum(f,v,a,b) % 級(jí)數(shù)求和 symsum(f,a,b) % 關(guān)于默認(rèn)變量求和,例：計(jì)算級(jí)數(shù) 及其前100項(xiàng)的部分和 S100,例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù),syms n x; f=x/n2; S=symsum(f,n,1,inf),符號(hào)級(jí)數(shù)求和,31,代數(shù)方程求解,solve(f,v) % 求方程關(guān)于指定自變量的解,詳細(xì)用法見Matlab08：多項(xiàng)式運(yùn)算與代數(shù)方程求解器,代數(shù)方程求解,這里 f 可以用字符串表示或符號(hào)表達(dá)式 solve 也可解方程組（通常是非線性的） 得不到解析解時(shí)，給出數(shù)值解,例：,solve(2*x-3) % 或 solve(2*x-3=0),syms x; solve(2*x-3) % 不能寫成 solve(2*x-3=0),syms x; solve(2*x-sin(x)+1),32,微分方程求解,用 Maltab自帶函數(shù) 解初值問題,求微分方程解析解：dsolve,求微分方程數(shù)值解*（自學(xué)，選學(xué)）： ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb,33,dsolve 求解析解,dsolve 的使用,y=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond2, . ,v),其中 y 為輸出， eq1、eq2、.為微分方程，cond1、cond2、.為初值條件，v 為自變量。,例 1：求微分方程 的通解，并驗(yàn)證。,y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2),34,dsolve 的使用,幾點(diǎn)說明,如果省略初值條件，則表示求通解；,如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為 t,dsolve(Dy=2*x,x); dy/dx = 2x dsolve(Dy=2*x); dy/dt = 2x,若找不到解析解，則返回其積分形式。,微分方程中用 D 表示對 自變量 的導(dǎo)數(shù)，如：,Dy y； D2y y； D3y y,35,例 2：求微分方程 在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。,y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x) ezplot(y);,dsolve 的使用,36,例3：求微分方程組 在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。,x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=0, t) ezplot(x,y,0,1.3);,注：解微分方程組時(shí)，如果所給的輸出個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，則方程組的解按詞典順序輸出；如果只給一個(gè)輸出，則輸出的是一個(gè)包含解的結(jié)構(gòu)（structure）類型的數(shù)據(jù)。,dsolve 的使用,37,例：,x,y=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t),r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t),這里返回的 r 是一個(gè) 結(jié)構(gòu)類型 的數(shù)據(jù),r.x %查看解函數(shù) x(t) r.y %查看解函數(shù) y(t),只有很少一部分微分方程（組）能求出解析解。 大部分微分方程（組）只能利用數(shù)值方法求數(shù)值解。,dsolve的輸出個(gè)數(shù)只能為一個(gè) 或 與方程個(gè)數(shù)相等,dsolve 的使用,38,上機(jī)作業(yè),教材P33的習(xí)題610，寫入文件m04_1.m；,2. 教材P32的習(xí)題4，寫入文件m04_2.m；,3. 求解下列微分方程（組），寫入文件m04_3.m，并且對于初值問題還要求畫出解函數(shù)的圖形；(5)(6)選做。,39,上機(jī)要求,將完成每題所用的命令寫入一個(gè)規(guī)定文件名的文件中 然后將這些文件作為附件，通過 foxmail 以郵件形式發(fā)給 adminsystem.mail 郵件主題為：機(jī)號(hào)-學(xué)號(hào)-姓名 其中機(jī)號(hào)為 兩位數(shù) 三個(gè)字段之間用英文狀態(tài)下的減號(hào)鏈接,上機(jī)要求強(qiáng)調(diào),40,求微分方程數(shù)值解*（自學(xué)，選學(xué)）,T,Y = solver(odefun,tspan,y0),其中 y0 為初值條件，tspan為求解區(qū)間；Matlab在數(shù)值求解時(shí)自動(dòng)對求解區(qū)間進(jìn)行分割，T (列向量) 中返回的是分割點(diǎn)的值(自變量)，Y (數(shù)組) 中返回的是這些分割點(diǎn)上的近似解，其列數(shù)等于因變量的個(gè)數(shù)。 solver 為Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、o