(好資料)2007年高考“數(shù)列”題--(文科)高考數(shù)學(xué)試題全解

2007年高考“數(shù)列”題1(全國) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為_。解：等比數(shù)列的公比，已知，成等差數(shù)列，即，解得的公比。設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. (12分)（）求、的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。解：（）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且 解得，所以，（），得，2(全國II) 已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和 解：已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和=設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為已知，求的通項(xiàng)公式解：由題設(shè)知，則 由得，因?yàn)?，解得或?dāng)時(shí)，代入得，通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，代入得，通項(xiàng)公式3（北京卷）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為解：若數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為=數(shù)列中，, （是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式解：（I），因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，解得或當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以4（天津卷）設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項(xiàng)，則（）2 4 6 8解：是與的等比中項(xiàng)可得(*)，由為等差數(shù)列，及代入(*)式可得.故選B.【解析】由等差數(shù)列且，得，又是與的等比中項(xiàng)，則有即：得，解之得（舍去）在數(shù)列中，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明不等式，對(duì)任意皆成立本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力滿分12分（）證明：由題設(shè)，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列（）解：由（）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列的前項(xiàng)和（）證明：對(duì)任意的， 所以不等式，對(duì)任意皆成立5(上海卷) 數(shù)列中， 則數(shù)列的極限值（）等于等于等于或不存在解：，選B。近年來，太陽能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快2002年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長率為34% 以后四年中，年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%（如，2003年的年生產(chǎn)量的增長率為36%） （1）求2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1兆瓦）； （2）目前太陽電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006年的實(shí)際安裝量為1420兆瓦假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%），這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到多少（結(jié)果精確到0.1%）？解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率依次為 ， 則2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量為 (兆瓦) （2）設(shè)太陽電池的年安裝量的平均增長率為，則解得 因此，這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，即（），我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列” 例如，數(shù)列與數(shù)列都是“對(duì)稱數(shù)列” （1）設(shè)是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，依次寫出的每一項(xiàng)；（2）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求各項(xiàng)的和；（3）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列求前項(xiàng)的和 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為 （2） 67108861 （3） 由題意得 是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上所述，6（重慶卷）1在等比數(shù)列an中，a18，a464，則公比q為（A）2（B）3（C）4（D）8解：由可得選A。設(shè)的等比中項(xiàng)，則a+3b的最大值為（A）1（B）2（C）3（D）4解： 的等比中項(xiàng)，則令 則：選B。已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S11，且（）求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列bn滿足并記Tn為bn的前n項(xiàng)和，求證：（）解：由，解得a11或a12，由假設(shè)a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。從而an是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為an3n-2。（）證法一：由可解得；從而。因此。令,則。因，故.特別的。從而，即。證法二：同證法一求得bn及Tn。由二項(xiàng)式定理知當(dāng)c0時(shí)，不等式成立。由此不等式有。證法三：同證法一求得bn及Tn。令A(yù)n，Bn，Cn。因，因此。從而。7（遼寧卷）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A63 B45 C36 D27解：由等差數(shù)列性質(zhì)知S3、S6-S3、S9-S6成等差數(shù)列，即9，27，S成等差，所以S=45，選B.已知數(shù)列，滿足，且（）（I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力滿分12分（）解：由題設(shè)得，即（）易知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為4分（II）解：由題設(shè)得，令，則易知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為8分由解得，10分求和得12分8（江蘇卷）（本小題滿分16分）已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）若是大于的正整數(shù)，求證：；（4分）（2）若是某個(gè)正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；（8分）（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4分）解：設(shè)的公差為，由，知，（）（1）因?yàn)?，所以，所以?），由，所以解得，或，但，所以，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以是整數(shù)，即是整數(shù)，設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可，所以，若，則，那么，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，只要考慮的情況，因?yàn)?，所以，因此是正整?shù)，所以是正整數(shù)，因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有2設(shè)，所以2，令，則，因?yàn)?，所以，所以，即存在使得中有三?xiàng)成等差數(shù)列。9(廣東卷) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則其通項(xiàng) ；若它的第項(xiàng)滿足，則 解：a1=S1= -8，而當(dāng)n2時(shí)，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式對(duì)于n=1也成立。要滿足5ak8,只須52k-108，從而有k知=,=(2) f(x)=2x+1= =()2由題意知an,那么有an，于是對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得ln=ln()2=2 ln()即數(shù)列bn為首項(xiàng)為b1= ln()=2ln( )，公比為2的等比數(shù)列。故其前n項(xiàng)和Sn=2ln( )=2ln( )(2n -1)10(福建卷) 等比數(shù)列中，則等于（）解：a2a6= a42=16，選C.數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力滿分12分解：（），又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，（），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得：又也滿足上式，11(安徽卷) 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為若（A）12（B）10（C）8（D）6解：=2， ，選C。 某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度. 公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0),因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1,a2,是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1+r)n-2,，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.（）寫出Tn與Tn-1（n2）的遞推關(guān)系式；（）求證：Tn=An+Bn，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列.解： （）（），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 ，在式兩端同乘，得，得即如果記，則其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列12(湖南卷) 在等比數(shù)列（）中，若，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（ ）ABCD解：由，所以.選 B。設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，且，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)?，所?于是 由得：于是由得：即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列所以，由題設(shè)知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時(shí)，由，得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）13（湖北卷）已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列（I）證明：；（II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：本小題主要考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和求和公式等基本知識(shí)及基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力解法1：（I）證：由，有， （II）證：，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）得，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故解法2：（I）同解法1（I）（II）證：，又，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）的類似方法得，下同解法114（江西卷）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_解：由題意得設(shè)為等比數(shù)列，（1）求最小的自然數(shù)，使；（2）求和：解：（1）由已知條件得，因?yàn)?，所以，使成立的最小自然?shù)（2）因?yàn)?，得：?所以15（山東卷）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由已知得 解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項(xiàng)為（2）由于由（1）得又是等差數(shù)列故16(陜西卷) 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若（A）12（B）18（C）24（D）42解：S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，即2，8，S6-10成等差數(shù)列，S6=24，選C.給出如下三個(gè)命題：設(shè)a,bR,且1,則1;四個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b、c、d依次成等比數(shù)列的充要條件是ad=bc;若 , 則f（|x|）是偶函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是（A）（B）（C）（D）解：，所以1成立；ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比數(shù)列，如取a=d=-1，b=c=1；由偶函數(shù)定義可得，選C。已知實(shí)數(shù)列等比數(shù)列,其中成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()數(shù)列的前項(xiàng)和記為證明: 128).解：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，從而，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，所以故（）17（四川卷）等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和，則（）（A）9（B）10（C）11（D）12解：選已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)（）用表示；（）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明解：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，以及推理論證、計(jì)算及解決問題的能力（）由題可得所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：即令，得即顯然，（）由，知，同理故從而，即所以，數(shù)列