高等數(shù)學B1答案(含綜合練習).doc

1 高等數(shù)學（高等數(shù)學（B B） （1 1）作業(yè)答案）作業(yè)答案 高等數(shù)學（高等數(shù)學（B B） （1 1）作業(yè)）作業(yè) 1 1 初等數(shù)學知識 一、名詞解釋： 鄰域設是兩個實數(shù)，且，滿足不等式的實數(shù)的和a0 axx 全體，稱為點的鄰域。a 絕對值數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點之間的距離稱為數(shù)的絕對值。記aa 為。a 區(qū)間數(shù)軸上的一段實數(shù)。分為開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮 區(qū)間。 數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和長度單位的直線。 實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。 二、填空題 1絕對值的性質有、0abaab )0( b b a b a aaa 、。babababa 2開區(qū)間的表示有、。),(ba 3閉區(qū)間的表示有、。ba， 4無窮大的記號為。 5表示全體實數(shù)，或記為。)(，x 6表示小于的實數(shù)，或記為。)(b，bbx 7表示大于的實數(shù)，或記為。)(，aa xa 8去心鄰域是指的全體。用數(shù)軸表示即為 9.MANZU )()(aaaa， 9滿足不等式的數(shù)用區(qū)間可表示為。1 1 2 x x 2 1 1( ， 三、回答題 2 1答：（1）發(fā)展符號意識，實現(xiàn)從具體數(shù)學的運算到抽象符號運算的轉 變。 （2）培養(yǎng)嚴密的思維能力，實現(xiàn)從具體描述到嚴格證明的轉變。 （3）培養(yǎng)抽象思維能力，實現(xiàn)從具體數(shù)學到概念化數(shù)學的轉變。 （4）樹立發(fā)展變化意識，實現(xiàn)從常量數(shù)學到變量數(shù)學的轉變。 2答：包括整數(shù)與分數(shù)。 3答：不對，可能有無理數(shù)。 4答：等價于。51 ( ， 5答：。) 2 3 2 1 ( ， 四、計算題 1解：。12 02 01 02 01 0)2)(1( xx x x x x xx或或 。), 2() 1 ,(解集為 2解： 05 01 05 01 0)5)(1(056 2 x x x x xxxx或 。15xx或)5 1，解集為（ 3解：為方程的解。520)5)(2(0103 21 2 xxxxxx， 函函 數(shù)（數(shù)（P3P3） 一、名詞解釋 函數(shù)設 x 與 y 是兩個變量，若當 x 在可以取值的范圍 D 內任意取一個 數(shù)值時，變量 y 通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應，則稱變量 y 是變 量 x 的函數(shù)。其中 D 叫做函數(shù)的定義域，f 稱為對應法則，集合 G=y|y=f(x),x 叫做函數(shù)的值域。D 奇函數(shù)若函數(shù)的定義域關于原點對稱，若對于任意的，恒)(xfy x 有 為奇函數(shù)。，則稱函數(shù))()(xfxf)(xfy 偶函數(shù)若函數(shù)的定義域關于原點對稱，若對于任意的，恒)(xfy x 有 ，則稱函數(shù)為偶函數(shù)。)()(xfxf)(xfy 定義域自變量的取值范圍，記作。Dx 值域所有函數(shù)值組成的集合，記作 G=y|y=f(x),x。D 初等數(shù)學包括幾何與代數(shù)，基本上是常量的數(shù)學。 三角函數(shù)：稱 為三角函數(shù)。xyxyxyxyxyxycscseccottancossin， 3 指數(shù)函數(shù)稱函數(shù)為指數(shù)函數(shù)。) 10(aaay x ， 復合函數(shù)設若的值域包含在的定，)()(xuufy)(xu)(ufy 義域中，則通過構成的函數(shù)，記作，稱其為復合函數(shù)，稱為yux)(xfyu 中間變量。 對數(shù)函數(shù)稱函數(shù)為對數(shù)函數(shù)。) 10(logaaxy a ，且 反函數(shù)若函數(shù)的值域為，若，都有一個確定的且滿)(xfy GGy 足的值與之對應。則由此得到一個定義在上的以為自變量、為)(xfy xGyx 因變量的新函數(shù)，稱它為的反函數(shù)，記作。)(xfy )( 1 yfx 冪函數(shù)稱函數(shù)（為實數(shù)）為冪函數(shù)。 xy 常函數(shù)稱函數(shù)為常函數(shù)。)( 為常數(shù)ccy 常量在某一變化過程中，始終保持不變的量。 變量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量。 二、填空題 1函數(shù)概念最早是由萊布尼茲引進的。有了函數(shù)概念，人們就可以從數(shù)量 上描述運動。 2在歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是狄里克雷，并給出了一個不能畫 出圖形的函數(shù)。這就是著名的狄里克雷函數(shù)，其表達式是。 是有理數(shù)， 是無理數(shù)， x x xf 1 0 )( 3函數(shù)的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。 4函數(shù)表達了因變量與自變量之間的一種對應規(guī)則。 5單值函數(shù)是當自變量在定義域中取定了一數(shù)值時，與之對應的函數(shù)值是 唯一的函數(shù)。 6奇函數(shù)的圖像特點是關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像特點是關于 y 軸對稱。 7單調函數(shù)的圖像特點是總是上升或總是下降。 8反函數(shù)的圖像特點是關于直線 y=x 對稱。 三、回答題 1答：設函數(shù)在集合上有定義，如果存在一個正數(shù)，對所)(xfy DM 有的，恒有，則稱函數(shù)為有界函數(shù)。DxMxf)()(xfy 2答：（1）當一個函數(shù)在區(qū)間有界時，正數(shù)的取法)(xfy 內， )(baM 不是唯一的。 （2）有界性是依賴于區(qū)間的。 4 3答：，則稱函數(shù))()()( 212121 xfxfxxbaxx，則，且， 在區(qū)間單調增加。否則，稱為單調減少。)(xfy 內， )(ba 4答：若函數(shù)在區(qū)間單調，其值域是，則函數(shù))(xfy 內， )(ba)(dc， 存在反函數(shù)其定義域是，值域是。)(xfy ，)( 1 xfy )(dc，)(ba， 四、作圖題 （1） 解：是拋物線。 2 xy （2） 解：是立方拋物線。 3 xy （3） 解：是正弦曲線。xysin （4） 解：是余弦曲線。xycos （5） 解：是正切曲線。xytan （6） 解：是半拋物線。 2 1 xy （7） 解：是自然對數(shù)函數(shù)。xyln （8） 解：是指數(shù)函數(shù)(a1)。 x y2 （9） 解：是對數(shù)函數(shù)(a1)。xy 2 log （10）解：是對數(shù)函數(shù)（a1)。 x ey 第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖 第（4）題圖 第（5）題圖 第（6）題圖 第（7）題圖 第（8）題圖 第（9）題圖 5 第（10）題圖 第（11）題圖 第（12）題圖 五、計算題 （1）解：。 4 ) 2 ( 2 22 ll rs （2）解：設長為，寬為，則，xy 10 20 10 6022 y x y yx 面積。 2 2001020cms （3）解：，所以定義域為。101xx)1( ， （4）解：， ， 5log)2( 2 f 4 5 log) 2 1 ( 2 f ) 12(log)( 22 2 bababaf 。) 1(log)( 4 2 2 xxf （5）解：由解得，交換和，得到的反函數(shù) 2 x x y y y x 1 2 xy 2 x x y ，由，故定義域為。 x x y 1 2 101xx)1 () 1(， （6）解：復合函數(shù)為3121) 11( 2 xxxy 六、討論題 答：（1）復合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運算； （2）并不是任何兩個函數(shù)都能構成一個復合函數(shù)； （3）復合函數(shù)可以是由多個（大于兩個）函數(shù)復合而成； （4）中，后者的值域正好是前者的定義域；)()(xuufy， （5）構成復合函數(shù)的各簡單函數(shù)，除了最后一個外，都是基本初等函數(shù)。 極 限（P9） 一、名詞解釋 極 限一個數(shù)列或函數(shù)其變化趨勢的終極狀態(tài)。 無窮小量極限為零的變量或者常數(shù) 0。 連 續(xù)設函數(shù)在及其一個鄰域內有定義，且等式)(xfy 0 xx 6 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx 數(shù)列極限對數(shù)列來說，若時，則稱數(shù)列的極 n xnaxn n x 限為記作。, aaxn n lim 函數(shù)極限設函數(shù)在的附近有定義，當時，)(xfy 0 xx 0 xx ，則稱函數(shù)在時的極限為 A ，記作Axf)()(xfy 0 xx Axf xx )(lim 0 無窮大量若，則稱為該極限過程下的無窮大量。)(limxf)(xf 二、填空題 1從極限產生的歷史背景來看，極限概念產生于解決微積分的基本問題： 求面積，體積，弧長，瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。 2極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。 3在中國古代，極限概念已經(jīng)產生，我國春秋戰(zhàn)國時期的莊子天下篇 中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” ，就是極限的樸素思想。 4公元 3 世紀，中國數(shù)學家劉徽的割圓術，就用圓內接正多邊形周長去逼 近圓周長這一極限思想來近似地計算圓周率的。 5極限概念產生于求面積求切線兩個實際問題。 三、回答題 1簡述連續(xù)性概念。 答：設函數(shù)在及其一個鄰域內有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。在（a,b）內)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 連續(xù)是指函數(shù)在（a,b）內的每個點處均連續(xù)。)(xfy 2間斷點分成幾類？ 答： 限中至少有一個不存在第二類間斷點：左右極 的左右極限均存在第一類間斷點：在該點 間斷點 3什么是單側連續(xù)？ 答：設函數(shù)在及其右鄰域內有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在右連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。)()(lim 0 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx 7 4什么是連續(xù)函數(shù)？ 答：若函數(shù)在（a,b）內的每個點處均連續(xù)，且在左端點處右連續(xù)，)(xfy 右端點處左連續(xù)，則稱函數(shù)在a,b上連續(xù)。)(xfy 5簡述復合函數(shù)的連續(xù)性定理。 答：設函數(shù)在點處連續(xù)，函數(shù)在點處連續(xù)，)(zfy 0 zz )(xz 0 xx 而，并設在點的某一鄰域內有定義，則復合函數(shù))( 00 xz)(xfy 0 xx 在點處連續(xù)。)(xfy 0 xx 四、論述題 極限思想的辯證意義是什么？ 答：極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)，是一個無限逼 近的過程，是一個客觀上存在但又永遠達不到的數(shù)。在解決實際問題時， “無限” 的過程標志著可以得到精確的答案，他是為解決實際問題的需要而產生的，反 過來又成為解決實際問題的有力工具。 五、計算題 （1）解： 3 4 1 3 2 4 lim 13 24 lim 2 2 2 2 n n n n nn （2）解： 4 1 4 1 2 2sin 1 lim 2sin 2 lim 00 x x x x xx （3）解：0 1 1 lim)1(lim nn nn nn （4）解： e e xx x x x x 1 ) 1 1(lim) 1 1 (lim 11 六、討論 解： )(lim 0 xf x 1)1 (lim 0 x x )(lim 0 xf x 00lim 0 x ， 函數(shù)在 x=0 處極限不存在。 )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 8 高等數(shù)學（B） （1）作業(yè) 2 導導 數(shù)數(shù) 一、名詞解釋 導數(shù)設函數(shù)在及其鄰域內有定義，)(xfy 0 xx 若存在，則稱此極限值為函數(shù)在 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 )(xfy 點處的導數(shù)值。記為，等。 0 xx 00 0) ( xxdx dy xx yxf ， 平均變化率稱為平均變化率。 x xfxxf x y )()( 00 瞬時變化率稱為瞬時變化率。 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 導函數(shù)對于區(qū)間（a,b）內的每一點 x 都有導數(shù)值，這樣由這些導數(shù)值 構成的函數(shù)稱為的導函數(shù)。)(xfy 高階導數(shù)二階及二階以上的導數(shù)。 駐點使得的點。0)( x f 極值設函數(shù)在及其鄰域內有定義，且在的鄰域內)(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極大值點，稱為極大值。同理可定義)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。 二、填空題 1導數(shù)的物理意義是瞬時速度。 2導數(shù)的幾何意義是曲線在一點處切線的些率。 3導數(shù)的第三種解釋是變化率。 4導數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循極限運算的法則。 5可導的函數(shù)是連續(xù)的，但是連續(xù)函數(shù)不一定可導。 三、回答題 1什么是費馬定理？ 答：設函數(shù)在的某鄰域內有定義，并且在處可導，)(xfy 0 xx )( 0 xu 0 x 如果對任意的，有（或） ，那么。)( 0 xux)()( 0 xfxf)()( 0 xfxf0)( 0 x f 2什么是羅爾定理？ 9 答：設函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，并)(xfy 且滿足，那么至少存在一點，使得。)()(bfaf)(ba，0)(f 3什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構成的? 答：設函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，那)(xfy 么至少存在一點，使得。)(ba，)()()(abfafbf 輔助函數(shù)為：。)( )()( )()(ax ab afbf xfx 4函數(shù)的性質有哪些？ 答：函數(shù)的性質有：有界性，奇偶性，周期性，單調性。 5導數(shù)的絕對值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？ 答：導數(shù)絕對值大小反映曲線的陡峭程度，導數(shù)的絕對值越大，則曲線越 陡峭，否則，曲線越平緩。 6什么是極大值（或極小值）? 答：設函數(shù)在及其鄰域內有定義，且在的鄰域內)(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極大值點，稱為極大值。)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 設函數(shù)在及其鄰域內有定義，且在的鄰域內)(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極小值點，稱為極小值。)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 7請舉例說明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。 答：例如：直線 y=c(c 為常數(shù))，在任意一點都滿足費馬定理的條件，且導 數(shù)值都是 0，但是在任意一點處都不是極值點。 8最大值與極大值是一回事嗎？ 答：不是一回事。連續(xù)函數(shù)在某個閉區(qū)間上可能有多個極大值和極小值， 但是最大值和最小值卻各有一個。 9求最大值或最小值通常要經(jīng)過哪幾個步驟？ 答：（1）找出駐點和那些連續(xù)但不可導的點來，并計算出這些點的函數(shù)值； （2）計算出比區(qū)間端點處的函數(shù)值； （3）將以上個函數(shù)值進行比較，可得到最大值與最小值。 （4）如果是應用問題，則需先分析題意，設變量，列出函數(shù)關系，在求出 唯一駐點，它就是答案。 四、計算題 1解：6)6(lim 3)3( lim )3()3( limlim 0 22 000 x x x x fxf x y xxxx 2解：。 xx xy 2 14 4 2 3 10 3解：xxxxycossin2 2 4解： nx y ln 1 5解： 332233 sin)cos(cos33)sin)(cos(cosxxxxxxy 6解： xx x ytan)sin( cos 1 7解：當時，0x x xy 1 )(ln 當時， 綜上所述，0x xx xy 11 )ln( x x 1 )(ln 8解： 3 1 3 2 ) 3 2 ln() 3 2 ( xey xx 9解： 2 1 2 x x y 22 2 22 2 )1 ( 22 )1 ( 22)1 (2 x x x xxx y 10解：) 2 1sin(cosxxy ) 2 2sin(sinxxy ) 2 3sin(cosxxy ) 2 sin( )( xny n 五、應用題 1解： 33 3 4 3 4 tVtRRV， ， 當時， ， 22 43 3 4 ttV10R10t400V 答：體積 V 增加的速率為 400cm/s. 2. 解：設一邊長為 x,則另一邊長為 1-x, 矩形面積 S=x(1-x)=, , 令，解得。 2 xx xS210S 2 1 x 答：從中間截斷，可得到最大矩形的面積。 11 2解：設寬為米，則長為米，圍墻長度為。x x 512 x xL 512 2 ，令， 2 2 2 5122512 2 x x x L 0L 即，解得x05122 2 x16x 舍掉，512/x16x 答：當寬為 16 米，長為 32 米時，才能使材料最省。 微 分（P17） 一、名詞解釋 微分設函數(shù)處xxfyxxfxxfy在點為函數(shù)處可導，則稱在點)()()( 的微分，記作xxfdydy)(，即 函數(shù)的一階微分形式的不變性無論是自變量也好，還是中間變量也u 好， 總是成立的。duufdy) ( 微分的線性化 由知，其中)(lim 0 0 xf x y x )()( 0 高階的無窮小是比 xxxfy 為線性主部，也就是微分。xxf)( 0 二、填空題 1微分有雙重意義，一是表示微小的量，二是表示一種與求導密切相關的 運算。 2微分學包括兩個系統(tǒng)：概念系統(tǒng)與算法系統(tǒng)。 3導數(shù)是逐點定義的，它研究的是函數(shù)在一點附近的性質。 4微分中值定理建立了函數(shù)的局部性質和整體性質的聯(lián)系，建立了微積分 理論聯(lián)系實際的橋梁。 三、回答題 1微分學基本問題是什么？ 答：求非均勻變化量的變化率問題。 2微分學的基本運算是什么？ 答：求導運算和求微分的運算。 3微分的線性化有什么應用？ 答：可進行近似計算等。 四、計算題 1（1）解：dx x dy xx x y 334 11 4 40 ， 12 （2）解：dx x dy xx y xxx xx 4 4ln1 4 4ln1 4 4ln44 2 ， （3）解：xdxdyxxxy2sin2sincossin2， （4）解：， xxxycossindxxxxdy)cos(sin 2解：cm)804.38( 3 4 33 V 3解：設03 . 0 1)( 0 3 xxxxf，取 則，xxfxfxxf)()()( 000 01 . 1 01 . 0 103 . 0 13 1 1) 1 () 1 (03 . 1 3 2 33 x xxff 五、證明題 證明：令，xxxexf x ，取0)( 0 則，xx x eexffxfxfxfe xx 1 0 )0()0()0()()( 0 ，證畢。xe x 1 13 高等數(shù)學（高等數(shù)學（B B） （1 1）作業(yè)）作業(yè) 3 3 不定積分不定積分 一、名詞解釋 原函數(shù)如果函數(shù)定義在同一區(qū)間，并且處處有：)()(xFxf與)(ba， ，則稱是的一個原函數(shù)。dxxfxdFxfxF)()()()(或)(xF)(xf 不定積分若是的一個原函數(shù)，則稱為的不定)(xF)(xfCxF)()(xf 積分。記作.CxFdxxf )()( 不定積分幾何意義表示形狀完全一樣只是位置不同的一族曲線。 二、填空題 1在數(shù)學中必須考慮的運算有兩類：正運算與逆運算。 2對應于加法運算的逆運算是減法，對應于乘法運算的逆運算是除法，對 應于正整數(shù)次乘方運算的逆運算是開方，對應于微分運算的逆運算是積分。 3關于逆運算我們至少有兩條經(jīng)驗：一是逆運算一般說比正運算困難，二 是逆運算常常引出新結果。如減法引出負數(shù)，除法引出有理數(shù)，正數(shù)開方引出 無理數(shù)，負數(shù)開方引出虛數(shù)。 三、回答題 1什么叫函數(shù) f(x)在區(qū)間（a,b）的原函數(shù)？有多少個？它們彼此之間有 什么關系？ 答：若，則稱是的一個原函數(shù)，有無窮多個，彼此)()(xfxF)(xF)(xf 之間相差一個常數(shù)。 2什么叫函數(shù) f(x)在區(qū)間（a,b）的不定積分？ 答：函數(shù) f(x)的原函數(shù)的全體，稱為函數(shù) f(x)的不定積分。 3兩個函數(shù)的不定積分相等是什么意思？ 答：這兩個函數(shù)相等。 4說明數(shù)學運算中存在的正運算與逆運算。 答：減法是加法的逆運算；除法是乘法的逆運算；開方是乘方的逆運算； 不定積分是微分的逆運算；等等。 5說明原函數(shù)和不定積分的關系。 答：原函數(shù)的全體就是不定積分。 四、計算題 1求下列函數(shù)的原函數(shù) （1）解：因為， 所以該函數(shù)的原函數(shù)為 Cxdx55Cxxf 5)( 14 （2）解： CxxfCxxdx 22 )(2該函數(shù)的原函數(shù)為， （3）解：， Cexdedxe xxx222 2)2( 2 1 44 Cexf x 2 2)(該函數(shù)的原函數(shù)為 （4）解： Cxxdxxdxx 3 4 1 3 1 3 1 3 2 9 1 3 1 1 666 Cxxf 3 4 2 9 )(該函數(shù)的原函數(shù)為 （5）解：， CxCxdxx 6155 6 1 66 Cxxf 6 )(該函數(shù)的原函數(shù)為 （6）解： CxxfCxdx2)(22該函數(shù)的原函數(shù)為， （7）解： CxxfCxdx x )( 2 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， （8）解： CxxfCxxdxcos)(cossin該函數(shù)的原函數(shù)為， （9）解： CxxfCxdxx 556 5 1 )( 5 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， （10）解： CfCd 443 4 1 )( 4 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， 2求下列各不定積分 （1）解：Cxdxx 54 5 1 （2）解： CxCxdxxdxxx 2 5 1 2 3 2 3 5 2 1 2 3 1 （3）解：Cxdx x x x 4ln 4 ln)4 1 ( （4）解： Cxxdxxxdxtan) 1(sectan 22 （5）解：Cedxe xx 15 （6）解： Cxxd x dx x 1ln) 1( 1 1 1 1 （7）解： Cxxxddxxx 2 sin 2 1 sinsincossin （8）解 )1 ( 1 1 2 1 arctan 1 1 arctanarctan 2 22 xd x xxdx x xxxxdx =Cxxx)1ln( 2 1 arctan 2 16 定定 積積 分（分（P26） 一、名詞解釋 定積分設函數(shù)在區(qū)間內插入上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ba， 個分點：，把區(qū)間分成個小區(qū)間1nbxxxxxa nn 1210 ba，n ，其長度為，其中0，1，2，3，在每個小 1ii xx， iii xxx 1 i1-n 區(qū)間上任取一點：，并作乘積，再求出部分和 1ii xx， i 1 iii xx ii xf)( ，令，若（為常數(shù)） ，則稱為函數(shù) 1 0 )( n i iin xfSmax 10 i ni x SSn 0 lim SS 的定積分，記作上，在區(qū)間)(baxfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 )(lim)( 定積分幾何意義若函數(shù)，則定積分表示由曲線0)(xfy b a dxxf)( 、直線軸所圍的曲邊梯形的面積。)(xfy xbxax以及、 定積分中值定理設函數(shù) 則在上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ，使得。上至少存在一點， ba b a baabfdxxf)()(，其中 微積分基本定理設函數(shù)則上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy b a dxxf)( =，這里)()()(aFbF a b xF)()(xfxF 牛頓萊布尼茲公式即微積分基本定理中的公式。 二、填空題 1定積分是對連續(xù)變化過程總效果的度量，求曲邊形區(qū)域的面積是定積分 概念的最直接的起源。 2積分學的基本問題是非均勻變化量的求積問題。它的數(shù)學模型是 ，它的物理原形是求變速運動的路程，它的幾何原形是求曲邊 1 0 0 )(lim n i ii xf 梯形的面積。 3微分學的基本問題是求非均勻變化量的變化率問題，它的數(shù)學模型是 ，它的物理原形是求瞬時速度，它的幾何原形是求切線斜率，它的基本 x y x 0 lim 運算是求導運算和求微分的運算。 17 4微分學研究的是函數(shù)的局部性態(tài)，無論是微分概念，還是微商概念，都 是逐點給出的。數(shù)學家研究函數(shù)的局部性質，其目的在于以局部定整體。 5積分學包括不定積分和定積分兩大部分，不定積分的目的是提供積分方 法。 三、回答題 1定積分有哪些應用？ 答：物理學應用，幾何學應用等。例如，路程問題，曲邊梯形面積問題等。 2定積分的性質有哪些？ 答：由以下 9 條： （1）； b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( （2）； b a b a dxxfkdxxkf)()( （3）； b a a b dxxfdxxf)()( （4）； a a dxxf0)( （5）； b a c a b c dxxfdxxfdxxf)()()( （6）； b a abdx （7）若在； b a b a dxxgdxxfxgxfba)()()()(，則上， （8）設,上的最大值和最小值，在分別是函數(shù)，)(baxfymM 則：； b a abMdxxfabm)()()( （9）設函數(shù) 則在，上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy 上至少存在一點， ba 使得。 b a baabfdxxf)()(，其中 3簡述積分區(qū)間上限為變量時定積分定理。 答：設函數(shù)則上上有定義且連續(xù)，在閉區(qū)間)(batfy x a badttf)(，在 可導，且。 x a xfdttf)()( 4建立定積分步驟有哪些？ 18 答：分為 4 步： （1）分割；（2）作積；（3）作和；（4）取極限 ii xf)( 1 0 )( n i ii xf ， 1 0 0 )(lim n i ii xf 其中。max 10 i ni x 四、計算題 1利用定積分性質，比較下列積分值大小。 （1）解：， 32 10xxx時，當 1 0 1 0 32 dxxdxx （2）解：， 23 21 xxx時，當 2 1 2 1 23 dxxdxx （3）解：， xxx 2 lnln21 時，當 2 1 2 1 2 lnlnxdxxdx 2求函數(shù)的平均值。上，在區(qū)間41 332 2 xxy 解：平均值 A=. 4 1 232 2 49 1 4 )3 2 3 3 2 ( 3 1 )332( 14 1 xxxdxxx 3設 4 sin 0 xdx dy tdty x ，求 解：， 。xdtt dx dy x sin)sin( 0 2 2 4 sin 4 x x xdx dy 4設，求。 2 1 1 1 x dx A y dx dy 解：=。 dx dy A x dx A x 1 2 ) 1 1 ( 2 1 5計算下列定積分 （1） 解：20 1 3 4 1 4 3 1 3 xdxx （2） 解： 4 1 2 3 2 3 2 3 3 14 )14( 3 2 1 4 3 2 xdxx （3） 解：2)1(1 2 cossin 2 xxdx 19 （4） 解： 0 1 0 1 10 1 1 )( 1 0 )( e eeexdedxe xxx （5） 解： 2 1 3 dx x x 2 1 3 33 dx x x 2 1 ) 3 3 1 (dx x 12ln3)2ln1(ln31 1 2 3ln3 1 2 xx （6） 解： 4 1 4 1 4 1 4 1 2 32 1 6 1 32 1 6 1 ) 32 1 32 1 ( 6 1 94 1 dt t dt t dt tt dt t 11ln 12 1 5ln 6 1 5 11 ln 12 1 5ln 12 1 1 4 32ln 12 1 1 4 32ln 12 1 tt 6解：如下圖, 體積 V= 4 0 4 0 22 32 0 4 2 1 44)(axaaxdxdxxf 第 6 題圖 第 7 題圖 第 8 題圖 第 9 題圖 7解：如上圖， 體積 3 2 0 2 ) 12 1 2 1 () 4 1 () 2 1 ( 2 0 2 0 32 2 2 xxxdx x xdx x V 8解：如上圖， ， 9 3 1 132 2 2 1 1 2 y x y x xy xy 或 面積 3 1 322 3 32 1 3 ) 3 1 3()32(xxxdxxxS 9解：如上圖，面積 4 2 24 2 4 eeedxeS xx 20 高等數(shù)學（高等數(shù)學（B B） （1 1）作業(yè)）作業(yè) 4 4 微積分簡史微積分簡史 注意：以下六題自己從書中相應位置的內容去概括，要抓住重點，言簡意 賅，寫滿所留的空地。 1論述微分學的早期史。 答：見書 P216217 2簡述費馬對微分學的貢獻。 答：見書 P217218 3簡述巴羅對微分學的貢獻。 答：見書 P218220 4論述積分學的早期史。 答：見書 P206210 5論述微積分對人類歷史的貢獻。 答：見書“一、前言一、前言”一開始的部分（前兩段） 。 6牛頓和萊布尼茲對微積分的發(fā)現(xiàn)做出了什么貢獻？ 答：見書 P222225。 微分方程(P33) 一、回答題 1微分方程的定義。 答：含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程。 2何為微分方程的通解、特解、初始條件？ 答：滿足微分方程的所有函數(shù)，叫做微分方程的通解；滿足微分方程的一 個解或者部分解，稱為微分方程的特解。微分方程最初所滿足的條件，叫做初 始條件。 3何為變量可分離的微分方程？ 答：把形如的微分方程，稱為微分方程。)()(ygxf dx dy 4微分方程與建模有和關系。 答：拋棄具體意義，只關心微分方程的形狀，研究如何解方程，等這些工 作做熟練了，反過來又可以用它解決實際問題。 5建模思想和步驟是什么？ 答：建模思想就是將各種各樣的實際問題化為數(shù)學問題，通過建立數(shù)學模 型，最終使實際問題得到解決。 21 步驟：（1）明確實際問題，并熟悉問題的背景； （2）形成數(shù)學模型； （3）求解數(shù)學問題； （4）研究算法，并盡量使用計算機； （5）回到實際中去，解釋結果。 二、計算題 1求下列微分方程的解。 （1）解：，代入初始條件得， Cxxdxxy3)32( 2 1C 滿足初始條件的特解為13 2 xxy （2）解： CxCxdxxdxxy 2 3 1 2 1 2 1 3 8 1 2 1 1 444 代入初始條件得， 滿足初始條件的特解為 3 8 C 3 8 3 8 2 3 xy （3）解：，代入初始條件得， Cexdedxey xxx333 2)3( 3 6 62C 滿足初始條件的特解為22 3 x ey 2解：由題意：， 2 1 1 3 2 2 x y x xy C x xdx x xy 1 ) 1 3( 3 2 2 代入初始條件得，4C4 1 )( 3 x xxf 3解：由題意：， 100000 1000 2 . 0200 x y xy Cxxdxxy 2 1 . 0200)2 . 0200( 代入初始條件得，所求的函數(shù)關系是0C 2 200xxy 4解：由題意：，分離變量： 21600 0 0 0 R t R R t R kR dt dR kdt R dR 22 兩邊積分： ， kdt R dR CktRlnln kt CeR 代入初始條件得：，這時：， 0 0 R t R 0 RC kt eRR 0 代入初始條件得： 21600 0 R t R k eR R 1600 0 0 2 2 1 1600 k e ，代入得2ln1600k 1600 2ln k kt eRR 0 ，化簡得：， t eRR 1600 2ln 0 1600 02 t RR 所以鐳的量 R 與時間 t 的函數(shù)關系為 1600 02 t RR 23 高等數(shù)學（高等數(shù)學（B B） （1 1）綜合練習）綜合練習 一、名詞解釋 1函數(shù)設 x 與 y 是兩個變量，若當 x 在可以取值的范圍 D 內任意取一 個數(shù)值時，變量 y 通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應，則稱變量 y 是 變量 x 的函數(shù)。其中 D 叫做函數(shù)的定義域，f 稱為對應法則，集合 G=y|y=f(x), x叫做函數(shù)的值域。D 2. 奇函數(shù)若函數(shù)的定義域關于原點對稱，若對于任意的，)(xfy x 恒有為奇函數(shù)。，則稱函數(shù))()(xfxf)(xfy 3連續(xù)設函數(shù)在及其一個鄰域內有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。在（a,b）內)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 連續(xù)是指函數(shù)在（a,b）內的每個點處均連續(xù)。)(xfy 4定積分設函數(shù)在區(qū)間內插入上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ba， 個分點：，把區(qū)間分成個小區(qū)間1nbxxxxxa nn 1210 ba，n ，其長度為，其中0，1，2，3，在每個小 1ii xx， iii xxx 1 i1-n 區(qū)間上任取一點：，并作乘積，再求出部分和 1ii xx， i 1 iii xx ii xf)( ，令，若（為常數(shù)） ，則稱為函數(shù) 1 0 )( n i iin xfSmax 10 i ni x SSn 0 lim SS 的定積分，記作上，在區(qū)間)(ba