高等數(shù)學(xué)B1答案(含綜合練習(xí)).doc

1 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（B B） （1 1）作業(yè)答案）作業(yè)答案 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（B B） （1 1）作業(yè)）作業(yè) 1 1 初等數(shù)學(xué)知識(shí) 一、名詞解釋： 鄰域設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足不等式的實(shí)數(shù)的和a0 axx 全體，稱為點(diǎn)的鄰域。a 絕對(duì)值數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離稱為數(shù)的絕對(duì)值。記aa 為。a 區(qū)間數(shù)軸上的一段實(shí)數(shù)。分為開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮 區(qū)間。 數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和長度單位的直線。 實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。 二、填空題 1絕對(duì)值的性質(zhì)有、0abaab )0( b b a b a aaa 、。babababa 2開區(qū)間的表示有、。),(ba 3閉區(qū)間的表示有、。ba， 4無窮大的記號(hào)為。 5表示全體實(shí)數(shù)，或記為。)(，x 6表示小于的實(shí)數(shù)，或記為。)(b，bbx 7表示大于的實(shí)數(shù)，或記為。)(，aa xa 8去心鄰域是指的全體。用數(shù)軸表示即為 9.MANZU )()(aaaa， 9滿足不等式的數(shù)用區(qū)間可表示為。1 1 2 x x 2 1 1( ， 三、回答題 2 1答：（1）發(fā)展符號(hào)意識(shí)，實(shí)現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)的運(yùn)算到抽象符號(hào)運(yùn)算的轉(zhuǎn) 變。 （2）培養(yǎng)嚴(yán)密的思維能力，實(shí)現(xiàn)從具體描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變。 （3）培養(yǎng)抽象思維能力，實(shí)現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。 （4）樹立發(fā)展變化意識(shí)，實(shí)現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。 2答：包括整數(shù)與分?jǐn)?shù)。 3答：不對(duì)，可能有無理數(shù)。 4答：等價(jià)于。51 ( ， 5答：。) 2 3 2 1 ( ， 四、計(jì)算題 1解：。12 02 01 02 01 0)2)(1( xx x x x x xx或或 。), 2() 1 ,(解集為 2解： 05 01 05 01 0)5)(1(056 2 x x x x xxxx或 。15xx或)5 1，解集為（ 3解：為方程的解。520)5)(2(0103 21 2 xxxxxx， 函函 數(shù)（數(shù)（P3P3） 一、名詞解釋 函數(shù)設(shè) x 與 y 是兩個(gè)變量，若當(dāng) x 在可以取值的范圍 D 內(nèi)任意取一個(gè) 數(shù)值時(shí)，變量 y 通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量 y 是變 量 x 的函數(shù)。其中 D 叫做函數(shù)的定義域，f 稱為對(duì)應(yīng)法則，集合 G=y|y=f(x),x 叫做函數(shù)的值域。D 奇函數(shù)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)于任意的，恒)(xfy x 有 為奇函數(shù)。，則稱函數(shù))()(xfxf)(xfy 偶函數(shù)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)于任意的，恒)(xfy x 有 ，則稱函數(shù)為偶函數(shù)。)()(xfxf)(xfy 定義域自變量的取值范圍，記作。Dx 值域所有函數(shù)值組成的集合，記作 G=y|y=f(x),x。D 初等數(shù)學(xué)包括幾何與代數(shù)，基本上是常量的數(shù)學(xué)。 三角函數(shù)：稱 為三角函數(shù)。xyxyxyxyxyxycscseccottancossin， 3 指數(shù)函數(shù)稱函數(shù)為指數(shù)函數(shù)。) 10(aaay x ， 復(fù)合函數(shù)設(shè)若的值域包含在的定，)()(xuufy)(xu)(ufy 義域中，則通過構(gòu)成的函數(shù)，記作，稱其為復(fù)合函數(shù)，稱為yux)(xfyu 中間變量。 對(duì)數(shù)函數(shù)稱函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)。) 10(logaaxy a ，且 反函數(shù)若函數(shù)的值域?yàn)?，若，都有一個(gè)確定的且滿)(xfy GGy 足的值與之對(duì)應(yīng)。則由此得到一個(gè)定義在上的以為自變量、為)(xfy xGyx 因變量的新函數(shù)，稱它為的反函數(shù)，記作。)(xfy )( 1 yfx 冪函數(shù)稱函數(shù)（為實(shí)數(shù)）為冪函數(shù)。 xy 常函數(shù)稱函數(shù)為常函數(shù)。)( 為常數(shù)ccy 常量在某一變化過程中，始終保持不變的量。 變量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量。 二、填空題 1函數(shù)概念最早是由萊布尼茲引進(jìn)的。有了函數(shù)概念，人們就可以從數(shù)量 上描述運(yùn)動(dòng)。 2在歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是狄里克雷，并給出了一個(gè)不能畫 出圖形的函數(shù)。這就是著名的狄里克雷函數(shù)，其表達(dá)式是。 是有理數(shù)， 是無理數(shù)， x x xf 1 0 )( 3函數(shù)的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。 4函數(shù)表達(dá)了因變量與自變量之間的一種對(duì)應(yīng)規(guī)則。 5單值函數(shù)是當(dāng)自變量在定義域中取定了一數(shù)值時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 唯一的函數(shù)。 6奇函數(shù)的圖像特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像特點(diǎn)是關(guān)于 y 軸對(duì)稱。 7單調(diào)函數(shù)的圖像特點(diǎn)是總是上升或總是下降。 8反函數(shù)的圖像特點(diǎn)是關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱。 三、回答題 1答：設(shè)函數(shù)在集合上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，對(duì)所)(xfy DM 有的，恒有，則稱函數(shù)為有界函數(shù)。DxMxf)()(xfy 2答：（1）當(dāng)一個(gè)函數(shù)在區(qū)間有界時(shí)，正數(shù)的取法)(xfy 內(nèi)， )(baM 不是唯一的。 （2）有界性是依賴于區(qū)間的。 4 3答：，則稱函數(shù))()()( 212121 xfxfxxbaxx，則，且， 在區(qū)間單調(diào)增加。否則，稱為單調(diào)減少。)(xfy 內(nèi)， )(ba 4答：若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其值域是，則函數(shù))(xfy 內(nèi)， )(ba)(dc， 存在反函數(shù)其定義域是，值域是。)(xfy ，)( 1 xfy )(dc，)(ba， 四、作圖題 （1） 解：是拋物線。 2 xy （2） 解：是立方拋物線。 3 xy （3） 解：是正弦曲線。xysin （4） 解：是余弦曲線。xycos （5） 解：是正切曲線。xytan （6） 解：是半拋物線。 2 1 xy （7） 解：是自然對(duì)數(shù)函數(shù)。xyln （8） 解：是指數(shù)函數(shù)(a1)。 x y2 （9） 解：是對(duì)數(shù)函數(shù)(a1)。xy 2 log （10）解：是對(duì)數(shù)函數(shù)（a1)。 x ey 第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖 第（4）題圖 第（5）題圖 第（6）題圖 第（7）題圖 第（8）題圖 第（9）題圖 5 第（10）題圖 第（11）題圖 第（12）題圖 五、計(jì)算題 （1）解：。 4 ) 2 ( 2 22 ll rs （2）解：設(shè)長為，寬為，則，xy 10 20 10 6022 y x y yx 面積。 2 2001020cms （3）解：，所以定義域?yàn)椤?01xx)1( ， （4）解：， ， 5log)2( 2 f 4 5 log) 2 1 ( 2 f ) 12(log)( 22 2 bababaf 。) 1(log)( 4 2 2 xxf （5）解：由解得，交換和，得到的反函數(shù) 2 x x y y y x 1 2 xy 2 x x y ，由，故定義域?yàn)椤?x x y 1 2 101xx)1 () 1(， （6）解：復(fù)合函數(shù)為3121) 11( 2 xxxy 六、討論題 答：（1）復(fù)合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運(yùn)算； （2）并不是任何兩個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)； （3）復(fù)合函數(shù)可以是由多個(gè)（大于兩個(gè)）函數(shù)復(fù)合而成； （4）中，后者的值域正好是前者的定義域；)()(xuufy， （5）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的各簡單函數(shù)，除了最后一個(gè)外，都是基本初等函數(shù)。 極 限（P9） 一、名詞解釋 極 限一個(gè)數(shù)列或函數(shù)其變化趨勢的終極狀態(tài)。 無窮小量極限為零的變量或者常數(shù) 0。 連 續(xù)設(shè)函數(shù)在及其一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式)(xfy 0 xx 6 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx 數(shù)列極限對(duì)數(shù)列來說，若時(shí)，則稱數(shù)列的極 n xnaxn n x 限為記作。, aaxn n lim 函數(shù)極限設(shè)函數(shù)在的附近有定義，當(dāng)時(shí)，)(xfy 0 xx 0 xx ，則稱函數(shù)在時(shí)的極限為 A ，記作Axf)()(xfy 0 xx Axf xx )(lim 0 無窮大量若，則稱為該極限過程下的無窮大量。)(limxf)(xf 二、填空題 1從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分的基本問題： 求面積，體積，弧長，瞬時(shí)速度以及曲線在一點(diǎn)的切線問題。 2極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。 3在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的莊子天下篇 中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” ，就是極限的樸素思想。 4公元 3 世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就用圓內(nèi)接正多邊形周長去逼 近圓周長這一極限思想來近似地計(jì)算圓周率的。 5極限概念產(chǎn)生于求面積求切線兩個(gè)實(shí)際問題。 三、回答題 1簡述連續(xù)性概念。 答：設(shè)函數(shù)在及其一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。在（a,b）內(nèi))()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 連續(xù)是指函數(shù)在（a,b）內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)。)(xfy 2間斷點(diǎn)分成幾類？ 答： 限中至少有一個(gè)不存在第二類間斷點(diǎn)：左右極 的左右極限均存在第一類間斷點(diǎn)：在該點(diǎn) 間斷點(diǎn) 3什么是單側(cè)連續(xù)？ 答：設(shè)函數(shù)在及其右鄰域內(nèi)有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在右連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。)()(lim 0 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx 7 4什么是連續(xù)函數(shù)？ 答：若函數(shù)在（a,b）內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，)(xfy 右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱函數(shù)在a,b上連續(xù)。)(xfy 5簡述復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。 答：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，)(zfy 0 zz )(xz 0 xx 而，并設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，則復(fù)合函數(shù))( 00 xz)(xfy 0 xx 在點(diǎn)處連續(xù)。)(xfy 0 xx 四、論述題 極限思想的辯證意義是什么？ 答：極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)，是一個(gè)無限逼 近的過程，是一個(gè)客觀上存在但又永遠(yuǎn)達(dá)不到的數(shù)。在解決實(shí)際問題時(shí)， “無限” 的過程標(biāo)志著可以得到精確的答案，他是為解決實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的，反 過來又成為解決實(shí)際問題的有力工具。 五、計(jì)算題 （1）解： 3 4 1 3 2 4 lim 13 24 lim 2 2 2 2 n n n n nn （2）解： 4 1 4 1 2 2sin 1 lim 2sin 2 lim 00 x x x x xx （3）解：0 1 1 lim)1(lim nn nn nn （4）解： e e xx x x x x 1 ) 1 1(lim) 1 1 (lim 11 六、討論 解： )(lim 0 xf x 1)1 (lim 0 x x )(lim 0 xf x 00lim 0 x ， 函數(shù)在 x=0 處極限不存在。 )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 8 高等數(shù)學(xué)（B） （1）作業(yè) 2 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 一、名詞解釋 導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，)(xfy 0 xx 若存在，則稱此極限值為函數(shù)在 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 )(xfy 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。記為，等。 0 xx 00 0) ( xxdx dy xx yxf ， 平均變化率稱為平均變化率。 x xfxxf x y )()( 00 瞬時(shí)變化率稱為瞬時(shí)變化率。 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 導(dǎo)函數(shù)對(duì)于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點(diǎn) x 都有導(dǎo)數(shù)值，這樣由這些導(dǎo)數(shù)值 構(gòu)成的函數(shù)稱為的導(dǎo)函數(shù)。)(xfy 高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)。 駐點(diǎn)使得的點(diǎn)。0)( x f 極值設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的鄰域內(nèi))(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極大值點(diǎn)，稱為極大值。同理可定義)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。 二、填空題 1導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時(shí)速度。 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點(diǎn)處切線的些率。 3導(dǎo)數(shù)的第三種解釋是變化率。 4導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循極限運(yùn)算的法則。 5可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的，但是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。 三、回答題 1什么是費(fèi)馬定理？ 答：設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，)(xfy 0 xx )( 0 xu 0 x 如果對(duì)任意的，有（或） ，那么。)( 0 xux)()( 0 xfxf)()( 0 xfxf0)( 0 x f 2什么是羅爾定理？ 9 答：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并)(xfy 且滿足，那么至少存在一點(diǎn)，使得。)()(bfaf)(ba，0)(f 3什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)成的? 答：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那)(xfy 么至少存在一點(diǎn)，使得。)(ba，)()()(abfafbf 輔助函數(shù)為：。)( )()( )()(ax ab afbf xfx 4函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 答：函數(shù)的性質(zhì)有：有界性，奇偶性，周期性，單調(diào)性。 5導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？ 答：導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值大小反映曲線的陡峭程度，導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，則曲線越 陡峭，否則，曲線越平緩。 6什么是極大值（或極小值）? 答：設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的鄰域內(nèi))(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極大值點(diǎn)，稱為極大值。)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的鄰域內(nèi))(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極小值點(diǎn)，稱為極小值。)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 7請(qǐng)舉例說明費(fèi)馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。 答：例如：直線 y=c(c 為常數(shù))，在任意一點(diǎn)都滿足費(fèi)馬定理的條件，且導(dǎo) 數(shù)值都是 0，但是在任意一點(diǎn)處都不是極值點(diǎn)。 8最大值與極大值是一回事嗎？ 答：不是一回事。連續(xù)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上可能有多個(gè)極大值和極小值， 但是最大值和最小值卻各有一個(gè)。 9求最大值或最小值通常要經(jīng)過哪幾個(gè)步驟？ 答：（1）找出駐點(diǎn)和那些連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)來，并計(jì)算出這些點(diǎn)的函數(shù)值； （2）計(jì)算出比區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值； （3）將以上個(gè)函數(shù)值進(jìn)行比較，可得到最大值與最小值。 （4）如果是應(yīng)用問題，則需先分析題意，設(shè)變量，列出函數(shù)關(guān)系，在求出 唯一駐點(diǎn)，它就是答案。 四、計(jì)算題 1解：6)6(lim 3)3( lim )3()3( limlim 0 22 000 x x x x fxf x y xxxx 2解：。 xx xy 2 14 4 2 3 10 3解：xxxxycossin2 2 4解： nx y ln 1 5解： 332233 sin)cos(cos33)sin)(cos(cosxxxxxxy 6解： xx x ytan)sin( cos 1 7解：當(dāng)時(shí)，0x x xy 1 )(ln 當(dāng)時(shí)， 綜上所述，0x xx xy 11 )ln( x x 1 )(ln 8解： 3 1 3 2 ) 3 2 ln() 3 2 ( xey xx 9解： 2 1 2 x x y 22 2 22 2 )1 ( 22 )1 ( 22)1 (2 x x x xxx y 10解：) 2 1sin(cosxxy ) 2 2sin(sinxxy ) 2 3sin(cosxxy ) 2 sin( )( xny n 五、應(yīng)用題 1解： 33 3 4 3 4 tVtRRV， ， 當(dāng)時(shí)， ， 22 43 3 4 ttV10R10t400V 答：體積 V 增加的速率為 400cm/s. 2. 解：設(shè)一邊長為 x,則另一邊長為 1-x, 矩形面積 S=x(1-x)=, , 令，解得。 2 xx xS210S 2 1 x 答：從中間截?cái)?，可得到最大矩形的面積。 11 2解：設(shè)寬為米，則長為米，圍墻長度為。x x 512 x xL 512 2 ，令， 2 2 2 5122512 2 x x x L 0L 即，解得x05122 2 x16x 舍掉，512/x16x 答：當(dāng)寬為 16 米，長為 32 米時(shí)，才能使材料最省。 微 分（P17） 一、名詞解釋 微分設(shè)函數(shù)處xxfyxxfxxfy在點(diǎn)為函數(shù)處可導(dǎo)，則稱在點(diǎn))()()( 的微分，記作xxfdydy)(，即 函數(shù)的一階微分形式的不變性無論是自變量也好，還是中間變量也u 好， 總是成立的。duufdy) ( 微分的線性化 由知，其中)(lim 0 0 xf x y x )()( 0 高階的無窮小是比 xxxfy 為線性主部，也就是微分。xxf)( 0 二、填空題 1微分有雙重意義，一是表示微小的量，二是表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的 運(yùn)算。 2微分學(xué)包括兩個(gè)系統(tǒng)：概念系統(tǒng)與算法系統(tǒng)。 3導(dǎo)數(shù)是逐點(diǎn)定義的，它研究的是函數(shù)在一點(diǎn)附近的性質(zhì)。 4微分中值定理建立了函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)的聯(lián)系，建立了微積分 理論聯(lián)系實(shí)際的橋梁。 三、回答題 1微分學(xué)基本問題是什么？ 答：求非均勻變化量的變化率問題。 2微分學(xué)的基本運(yùn)算是什么？ 答：求導(dǎo)運(yùn)算和求微分的運(yùn)算。 3微分的線性化有什么應(yīng)用？ 答：可進(jìn)行近似計(jì)算等。 四、計(jì)算題 1（1）解：dx x dy xx x y 334 11 4 40 ， 12 （2）解：dx x dy xx y xxx xx 4 4ln1 4 4ln1 4 4ln44 2 ， （3）解：xdxdyxxxy2sin2sincossin2， （4）解：， xxxycossindxxxxdy)cos(sin 2解：cm)804.38( 3 4 33 V 3解：設(shè)03 . 0 1)( 0 3 xxxxf，取 則，xxfxfxxf)()()( 000 01 . 1 01 . 0 103 . 0 13 1 1) 1 () 1 (03 . 1 3 2 33 x xxff 五、證明題 證明：令，xxxexf x ，取0)( 0 則，xx x eexffxfxfxfe xx 1 0 )0()0()0()()( 0 ，證畢。xe x 1 13 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（B B） （1 1）作業(yè)）作業(yè) 3 3 不定積分不定積分 一、名詞解釋 原函數(shù)如果函數(shù)定義在同一區(qū)間，并且處處有：)()(xFxf與)(ba， ，則稱是的一個(gè)原函數(shù)。dxxfxdFxfxF)()()()(或)(xF)(xf 不定積分若是的一個(gè)原函數(shù)，則稱為的不定)(xF)(xfCxF)()(xf 積分。記作.CxFdxxf )()( 不定積分幾何意義表示形狀完全一樣只是位置不同的一族曲線。 二、填空題 1在數(shù)學(xué)中必須考慮的運(yùn)算有兩類：正運(yùn)算與逆運(yùn)算。 2對(duì)應(yīng)于加法運(yùn)算的逆運(yùn)算是減法，對(duì)應(yīng)于乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算是除法，對(duì) 應(yīng)于正整數(shù)次乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算是開方，對(duì)應(yīng)于微分運(yùn)算的逆運(yùn)算是積分。 3關(guān)于逆運(yùn)算我們至少有兩條經(jīng)驗(yàn)：一是逆運(yùn)算一般說比正運(yùn)算困難，二 是逆運(yùn)算常常引出新結(jié)果。如減法引出負(fù)數(shù)，除法引出有理數(shù)，正數(shù)開方引出 無理數(shù)，負(fù)數(shù)開方引出虛數(shù)。 三、回答題 1什么叫函數(shù) f(x)在區(qū)間（a,b）的原函數(shù)？有多少個(gè)？它們彼此之間有 什么關(guān)系？ 答：若，則稱是的一個(gè)原函數(shù)，有無窮多個(gè)，彼此)()(xfxF)(xF)(xf 之間相差一個(gè)常數(shù)。 2什么叫函數(shù) f(x)在區(qū)間（a,b）的不定積分？ 答：函數(shù) f(x)的原函數(shù)的全體，稱為函數(shù) f(x)的不定積分。 3兩個(gè)函數(shù)的不定積分相等是什么意思？ 答：這兩個(gè)函數(shù)相等。 4說明數(shù)學(xué)運(yùn)算中存在的正運(yùn)算與逆運(yùn)算。 答：減法是加法的逆運(yùn)算；除法是乘法的逆運(yùn)算；開方是乘方的逆運(yùn)算； 不定積分是微分的逆運(yùn)算；等等。 5說明原函數(shù)和不定積分的關(guān)系。 答：原函數(shù)的全體就是不定積分。 四、計(jì)算題 1求下列函數(shù)的原函數(shù) （1）解：因?yàn)椋?所以該函數(shù)的原函數(shù)為 Cxdx55Cxxf 5)( 14 （2）解： CxxfCxxdx 22 )(2該函數(shù)的原函數(shù)為， （3）解：， Cexdedxe xxx222 2)2( 2 1 44 Cexf x 2 2)(該函數(shù)的原函數(shù)為 （4）解： Cxxdxxdxx 3 4 1 3 1 3 1 3 2 9 1 3 1 1 666 Cxxf 3 4 2 9 )(該函數(shù)的原函數(shù)為 （5）解：， CxCxdxx 6155 6 1 66 Cxxf 6 )(該函數(shù)的原函數(shù)為 （6）解： CxxfCxdx2)(22該函數(shù)的原函數(shù)為， （7）解： CxxfCxdx x )( 2 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， （8）解： CxxfCxxdxcos)(cossin該函數(shù)的原函數(shù)為， （9）解： CxxfCxdxx 556 5 1 )( 5 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， （10）解： CfCd 443 4 1 )( 4 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， 2求下列各不定積分 （1）解：Cxdxx 54 5 1 （2）解： CxCxdxxdxxx 2 5 1 2 3 2 3 5 2 1 2 3 1 （3）解：Cxdx x x x 4ln 4 ln)4 1 ( （4）解： Cxxdxxxdxtan) 1(sectan 22 （5）解：Cedxe xx 15 （6）解： Cxxd x dx x 1ln) 1( 1 1 1 1 （7）解： Cxxxddxxx 2 sin 2 1 sinsincossin （8）解 )1 ( 1 1 2 1 arctan 1 1 arctanarctan 2 22 xd x xxdx x xxxxdx =Cxxx)1ln( 2 1 arctan 2 16 定定 積積 分（分（P26） 一、名詞解釋 定積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)插入上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ba， 個(gè)分點(diǎn)：，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間1nbxxxxxa nn 1210 ba，n ，其長度為，其中0，1，2，3，在每個(gè)小 1ii xx， iii xxx 1 i1-n 區(qū)間上任取一點(diǎn)：，并作乘積，再求出部分和 1ii xx， i 1 iii xx ii xf)( ，令，若（為常數(shù)） ，則稱為函數(shù) 1 0 )( n i iin xfSmax 10 i ni x SSn 0 lim SS 的定積分，記作上，在區(qū)間)(baxfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 )(lim)( 定積分幾何意義若函數(shù)，則定積分表示由曲線0)(xfy b a dxxf)( 、直線軸所圍的曲邊梯形的面積。)(xfy xbxax以及、 定積分中值定理設(shè)函數(shù) 則在上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ，使得。上至少存在一點(diǎn)， ba b a baabfdxxf)()(，其中 微積分基本定理設(shè)函數(shù)則上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy b a dxxf)( =，這里)()()(aFbF a b xF)()(xfxF 牛頓萊布尼茲公式即微積分基本定理中的公式。 二、填空題 1定積分是對(duì)連續(xù)變化過程總效果的度量，求曲邊形區(qū)域的面積是定積分 概念的最直接的起源。 2積分學(xué)的基本問題是非均勻變化量的求積問題。它的數(shù)學(xué)模型是 ，它的物理原形是求變速運(yùn)動(dòng)的路程，它的幾何原形是求曲邊 1 0 0 )(lim n i ii xf 梯形的面積。 3微分學(xué)的基本問題是求非均勻變化量的變化率問題，它的數(shù)學(xué)模型是 ，它的物理原形是求瞬時(shí)速度，它的幾何原形是求切線斜率，它的基本 x y x 0 lim 運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算和求微分的運(yùn)算。 17 4微分學(xué)研究的是函數(shù)的局部性態(tài)，無論是微分概念，還是微商概念，都 是逐點(diǎn)給出的。數(shù)學(xué)家研究函數(shù)的局部性質(zhì)，其目的在于以局部定整體。 5積分學(xué)包括不定積分和定積分兩大部分，不定積分的目的是提供積分方 法。 三、回答題 1定積分有哪些應(yīng)用？ 答：物理學(xué)應(yīng)用，幾何學(xué)應(yīng)用等。例如，路程問題，曲邊梯形面積問題等。 2定積分的性質(zhì)有哪些？ 答：由以下 9 條： （1）； b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( （2）； b a b a dxxfkdxxkf)()( （3）； b a a b dxxfdxxf)()( （4）； a a dxxf0)( （5）； b a c a b c dxxfdxxfdxxf)()()( （6）； b a abdx （7）若在； b a b a dxxgdxxfxgxfba)()()()(，則上， （8）設(shè),上的最大值和最小值，在分別是函數(shù)，)(baxfymM 則：； b a abMdxxfabm)()()( （9）設(shè)函數(shù) 則在，上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy 上至少存在一點(diǎn)， ba 使得。 b a baabfdxxf)()(，其中 3簡述積分區(qū)間上限為變量時(shí)定積分定理。 答：設(shè)函數(shù)則上上有定義且連續(xù)，在閉區(qū)間)(batfy x a badttf)(，在 可導(dǎo)，且。 x a xfdttf)()( 4建立定積分步驟有哪些？ 18 答：分為 4 步： （1）分割；（2）作積；（3）作和；（4）取極限 ii xf)( 1 0 )( n i ii xf ， 1 0 0 )(lim n i ii xf 其中。max 10 i ni x 四、計(jì)算題 1利用定積分性質(zhì)，比較下列積分值大小。 （1）解：， 32 10xxx時(shí)，當(dāng) 1 0 1 0 32 dxxdxx （2）解：， 23 21 xxx時(shí)，當(dāng) 2 1 2 1 23 dxxdxx （3）解：， xxx 2 lnln21 時(shí)，當(dāng) 2 1 2 1 2 lnlnxdxxdx 2求函數(shù)的平均值。上，在區(qū)間41 332 2 xxy 解：平均值 A=. 4 1 232 2 49 1 4 )3 2 3 3 2 ( 3 1 )332( 14 1 xxxdxxx 3設(shè) 4 sin 0 xdx dy tdty x ，求 解：， 。xdtt dx dy x sin)sin( 0 2 2 4 sin 4 x x xdx dy 4設(shè)，求。 2 1 1 1 x dx A y dx dy 解：=。 dx dy A x dx A x 1 2 ) 1 1 ( 2 1 5計(jì)算下列定積分 （1） 解：20 1 3 4 1 4 3 1 3 xdxx （2） 解： 4 1 2 3 2 3 2 3 3 14 )14( 3 2 1 4 3 2 xdxx （3） 解：2)1(1 2 cossin 2 xxdx 19 （4） 解： 0 1 0 1 10 1 1 )( 1 0 )( e eeexdedxe xxx （5） 解： 2 1 3 dx x x 2 1 3 33 dx x x 2 1 ) 3 3 1 (dx x 12ln3)2ln1(ln31 1 2 3ln3 1 2 xx （6） 解： 4 1 4 1 4 1 4 1 2 32 1 6 1 32 1 6 1 ) 32 1 32 1 ( 6 1 94 1 dt t dt t dt tt dt t 11ln 12 1 5ln 6 1 5 11 ln 12 1 5ln 12 1 1 4 32ln 12 1 1 4 32ln 12 1 tt 6解：如下圖, 體積 V= 4 0 4 0 22 32 0 4 2 1 44)(axaaxdxdxxf 第 6 題圖 第 7 題圖 第 8 題圖 第 9 題圖 7解：如上圖， 體積 3 2 0 2 ) 12 1 2 1 () 4 1 () 2 1 ( 2 0 2 0 32 2 2 xxxdx x xdx x V 8解：如上圖， ， 9 3 1 132 2 2 1 1 2 y x y x xy xy 或 面積 3 1 322 3 32 1 3 ) 3 1 3()32(xxxdxxxS 9解：如上圖，面積 4 2 24 2 4 eeedxeS xx 20 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（B B） （1 1）作業(yè)）作業(yè) 4 4 微積分簡史微積分簡史 注意：以下六題自己從書中相應(yīng)位置的內(nèi)容去概括，要抓住重點(diǎn)，言簡意 賅，寫滿所留的空地。 1論述微分學(xué)的早期史。 答：見書 P216217 2簡述費(fèi)馬對(duì)微分學(xué)的貢獻(xiàn)。 答：見書 P217218 3簡述巴羅對(duì)微分學(xué)的貢獻(xiàn)。 答：見書 P218220 4論述積分學(xué)的早期史。 答：見書 P206210 5論述微積分對(duì)人類歷史的貢獻(xiàn)。 答：見書“一、前言一、前言”一開始的部分（前兩段） 。 6牛頓和萊布尼茲對(duì)微積分的發(fā)現(xiàn)做出了什么貢獻(xiàn)？ 答：見書 P222225。 微分方程(P33) 一、回答題 1微分方程的定義。 答：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。 2何為微分方程的通解、特解、初始條件？ 答：滿足微分方程的所有函數(shù)，叫做微分方程的通解；滿足微分方程的一 個(gè)解或者部分解，稱為微分方程的特解。微分方程最初所滿足的條件，叫做初 始條件。 3何為變量可分離的微分方程？ 答：把形如的微分方程，稱為微分方程。)()(ygxf dx dy 4微分方程與建模有和關(guān)系。 答：拋棄具體意義，只關(guān)心微分方程的形狀，研究如何解方程，等這些工 作做熟練了，反過來又可以用它解決實(shí)際問題。 5建模思想和步驟是什么？ 答：建模思想就是將各種各樣的實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模 型，最終使實(shí)際問題得到解決。 21 步驟：（1）明確實(shí)際問題，并熟悉問題的背景； （2）形成數(shù)學(xué)模型； （3）求解數(shù)學(xué)問題； （4）研究算法，并盡量使用計(jì)算機(jī)； （5）回到實(shí)際中去，解釋結(jié)果。 二、計(jì)算題 1求下列微分方程的解。 （1）解：，代入初始條件得， Cxxdxxy3)32( 2 1C 滿足初始條件的特解為13 2 xxy （2）解： CxCxdxxdxxy 2 3 1 2 1 2 1 3 8 1 2 1 1 444 代入初始條件得， 滿足初始條件的特解為 3 8 C 3 8 3 8 2 3 xy （3）解：，代入初始條件得， Cexdedxey xxx333 2)3( 3 6 62C 滿足初始條件的特解為22 3 x ey 2解：由題意：， 2 1 1 3 2 2 x y x xy C x xdx x xy 1 ) 1 3( 3 2 2 代入初始條件得，4C4 1 )( 3 x xxf 3解：由題意：， 100000 1000 2 . 0200 x y xy Cxxdxxy 2 1 . 0200)2 . 0200( 代入初始條件得，所求的函數(shù)關(guān)系是0C 2 200xxy 4解：由題意：，分離變量： 21600 0 0 0 R t R R t R kR dt dR kdt R dR 22 兩邊積分： ， kdt R dR CktRlnln kt CeR 代入初始條件得：，這時(shí)：， 0 0 R t R 0 RC kt eRR 0 代入初始條件得： 21600 0 R t R k eR R 1600 0 0 2 2 1 1600 k e ，代入得2ln1600k 1600 2ln k kt eRR 0 ，化簡得：， t eRR 1600 2ln 0 1600 02 t RR 所以鐳的量 R 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系為 1600 02 t RR 23 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（B B） （1 1）綜合練習(xí)）綜合練習(xí) 一、名詞解釋 1函數(shù)設(shè) x 與 y 是兩個(gè)變量，若當(dāng) x 在可以取值的范圍 D 內(nèi)任意取一 個(gè)數(shù)值時(shí)，變量 y 通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量 y 是 變量 x 的函數(shù)。其中 D 叫做函數(shù)的定義域，f 稱為對(duì)應(yīng)法則，集合 G=y|y=f(x), x叫做函數(shù)的值域。D 2. 奇函數(shù)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)于任意的，)(xfy x 恒有為奇函數(shù)。，則稱函數(shù))()(xfxf)(xfy 3連續(xù)設(shè)函數(shù)在及其一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。在（a,b）內(nèi))()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 連續(xù)是指函數(shù)在（a,b）內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)。)(xfy 4定積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)插入上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ba， 個(gè)分點(diǎn)：，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間1nbxxxxxa nn 1210 ba，n ，其長度為，其中0，1，2，3，在每個(gè)小 1ii xx， iii xxx 1 i1-n 區(qū)間上任取一點(diǎn)：，并作乘積，再求出部分和 1ii xx， i 1 iii xx ii xf)( ，令，若（為常數(shù)） ，則稱為函數(shù) 1 0 )( n i iin xfSmax 10 i ni x SSn 0 lim SS 的定積分，記作上，在區(qū)間)(ba