高中數(shù)學(xué)第二章平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案（無(wú)答案）新人教A版.docx

23.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示23.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.3.正確理解向量坐標(biāo)的概念，要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)來(lái)知識(shí)點(diǎn)一平面向量的正交分解思考如果向量a與b的夾角是90，則稱向量a與b垂直，記作ab.互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？答案互相垂直的兩個(gè)向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底梳理把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示思考1如圖，向量i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30，且|a|4，以向量i，j為基底，如何表示向量a?答案a2i2j.思考2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，給定點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(1,1)，則A點(diǎn)位置確定了嗎？給定向量a的坐標(biāo)為a(1,1)，則向量a的位置確定了嗎？答案對(duì)于A點(diǎn)，若給定坐標(biāo)為A(1,1)，則A點(diǎn)位置確定對(duì)于向量a，給定a的坐標(biāo)為a(1,1)，此時(shí)給出了a的方向和大小，但因向量的位置由起點(diǎn)和終點(diǎn)確定，且向量可以任意平移，因此a的位置不確定思考3設(shè)向量(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若將向量平移到，則的坐標(biāo)是多少？A點(diǎn)坐標(biāo)是多少？答案向量的坐標(biāo)為(1,1)，A點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)梳理(1)平面向量的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得axiyj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)在直角坐標(biāo)平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量a(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào)意義不同點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同知識(shí)點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考設(shè)i，j是分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ax1iy1j，bx2iy2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量ab，ab，a(R)如何分別用基底i，j表示？答案ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.梳理設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，數(shù)學(xué)公式文字語(yǔ)言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法ab(x1x2，y1y2)兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差向量數(shù)乘a(x1，y1)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，y2y1)，即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)1相等向量的坐標(biāo)相等()2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則向量(x1x2，y1y2)()提示(x2x1，y2y1)3與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為：i(1,0)，j(0,1)()類型一平面向量的坐標(biāo)表示例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四邊形OABC為平行四邊形(1)求向量a，b的坐標(biāo)；(2)求向量的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)B的坐標(biāo)考點(diǎn)平向向量的正交分解及坐標(biāo)表示題點(diǎn)利用平面向量的正交分解求向量的坐標(biāo)解(1)作AMx軸于點(diǎn)M，則OMOAcos4542，AMOAsin4542.A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).反思與感悟在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點(diǎn)的坐標(biāo)定義求坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)考點(diǎn)平向向量的正交分解及坐標(biāo)表示題點(diǎn)利用平面向量的正交分解求向量的坐標(biāo)解設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，則a1|a|cos452.a2|a|sin452，b1|b|cos1203，b2|b|sin1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).反思與感悟向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量等于()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，即x4，y2，故C(4，2)，則(7，4)，故選A.類型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例3已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若(R)，試求為何值時(shí)：(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上；(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)(2,3)(x2，y3)，(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)，且與不共線，則(1)若點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上，則5547，.(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，則1.反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來(lái)，建立方程(組)求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用(2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值跟蹤訓(xùn)練3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)解當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，設(shè)D(x，y)，由(1,2)，(3x,4y)，且，得D(2,2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，設(shè)D(x，y)，由(1,2)，(x3，y4)，且，得D(4,6)當(dāng)平行四邊形為ACBD時(shí)，設(shè)D(x，y)，由(5,3)，(1x,3y)，且，得D(6,0)，故D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)或(4,6)或(6,0).1已知a(1,1)，b(1，1)，則ab等于()A(1,2) B(1，2)C(1，2) D(1,2)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析ab(1,1)(1，1)(1,2)2已知向量(3，2)，(5，1)，則向量的坐標(biāo)是()A.B.C(8,1) D(8,1)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析(8,1)，.3已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.B.C(3,2) D(1,3)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)答案A解析設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(4,3)，(x，y2)，由2，得，D.4已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，則mn_.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)答案7解析由于pmanb，即(9,4)(2m，3m)(n,2n)(2mn，3m2n)，所以2mn9且3m2n4，解得m2，n5，所以mn7.5已知點(diǎn)A(2,1)，B(2,3)，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)答案(0,2)解析設(shè)C(x，y)，則(x2，y1)(4,2)(2,1)，x0，y2.1向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)向量的坐標(biāo)表示，溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化2要區(qū)分向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)由于向量的起點(diǎn)可以任意選取，如果一個(gè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)向量的坐標(biāo)；若向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，則(xBxA，yByA)3向量和、差的坐標(biāo)就是它們對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差，數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與原來(lái)向量坐標(biāo)的積.一、選擇題1已知M(2,3)，N(3,1)，則的坐標(biāo)是()A(2，1) B(1,2) C(2,1) D(1，2)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案B解析(2,3)(3,1)(1,2)2已知ab(1,2)，ab(4，10)，則a等于()A(2，2) B(2,2)C(2,2) D(2，2)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案D3若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c等于()A3abB3abCa3bDa3b考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)用坐標(biāo)形式下的基底表示向量答案A解析設(shè)cxayb，則解得c3ab.4已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，3)，則與向量同向的單位向量是()A.B.C.D.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案A解析因?yàn)榕c同向的單位向量為，(7，3)(4,1)(3，4)，|5，所以.5如果將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120得到，則的坐標(biāo)是()A.B.C(1，) D.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案D解析因?yàn)樗谥本€的傾斜角為30，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120得到所在直線的傾斜角為150，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由此可知B點(diǎn)坐標(biāo)為，故的坐標(biāo)是，故選D.6已知M(2,7)，N(10，2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(14,16) B(22，11)C(6,1) D(2,4)考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)答案D7若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐標(biāo)為(2,2)，則a在另一組基底m(1,1)，n(1,2)下的坐標(biāo)為()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案D解析a在基底p，q下的坐標(biāo)為(2,2)，a2p2q2(1，1)2(2,1)(2,4)令axmyn(xy，x2y)，解得a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)二、填空題8已知平面上三點(diǎn)A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，則的坐標(biāo)是_考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案(3,6)9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，3，2，則的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案(9，18)解析3(1,8)(3,24)，2(6,3)(12,6)，(12,6)(3,24)(9，18)10.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則的值為_(kāi)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)答案4解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根據(jù)cab得(1，3)(1,1)(6,2)，有61，23，解得2且，故4.11已知A(2,3)，B(1,4)，且(sin，cos)，則_.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)答案或解析因?yàn)?1,1)(sin，cos)，所以sin且cos，所以，或，所以或.三、解答題12已知點(diǎn)A(1,2)，B(2,8)及，求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)解設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由題意可得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，(x11，y12)(3,6)(1,2)，(1x2,2y2)(3，6)(1,2)，則有和解得和C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(2,0)，(2，4)13已知a(2,1)，b(1,3)，c(1,2)，求p2a3bc，并用基底a，b表示p.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)用坐標(biāo)形式下的基底表示向量解p2a3bc2(2,1)3(1,3)(1,2)(4,2)(3,9)(1,2)(2,13)設(shè)pxaybx(2,1)y(1,3)(2xy，x3y)，a與b不共線，則有解得pab.四、探究與拓展14已知點(diǎn)A(3，4)與B(1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，|2|.當(dāng)P在線段AB上時(shí)，2.(x3，y4)2(1x,2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)P在線段AB延