連續(xù)函數(shù)的運算及性質.ppt

,第八節(jié),一、最值定理與有界性,二、介值定理,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,第二章,注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設,則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例如,無最大值和最小值,也無最大值和最小值,又如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,推論(有界性定理).,由定理 1 可知有,證: 設,上有界 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,說明：定理1的條件不滿足,結論不一定有,如,證:,例1. 證明: 若,令,則給定,當,時,有,又,根據(jù)有界性定理, 使,取,則,在,內連續(xù),存在, 則,必在,內有界.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理2. ( 零點定理 ),至少有一點,且,使,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,( 證明略 ),二、介值定理,2)定理提供了判斷 根的存在性的,新方法.,說明,例1. 證明方程,一個根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點定理, 至少存在一點,使,即,說明:,內必有方程的根 ;,取,的中點,內必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內至少有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則,則,例2.,至少有一個不超過 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點定理 ,原命題得證 .,內至少存在一點,在開區(qū)間,顯然,正根 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證明：,例3 設,證,若記,由于,因此, 若,則問題得證.,若,則由零點存在定理,即,定理3. ( 介值定理 ),設,且,則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點,證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零點定理知, 至少有一點,使,即,使,至少有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,（1）開區(qū)間內的連續(xù)函數(shù),（2）閉區(qū)間上的不連續(xù)函數(shù) (仍用此例)。,上嚴格單調，,則介值定理中的 唯一；,說明,3),則f(x)可以取到它最大值M,與最小值 m 之間的一切值. (推論),根據(jù)最值定理 ,例4,證,根據(jù)最值定理推論,于是,上連續(xù) , 且恒為正 ,例5. 設,在,對任意的,必存在一點,證:,使,令, 則,使,故由零點定理知 , 存在,即,當,時,取,或, 則有,證明:,小結 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,在,上達到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當,時,使,必存在,上有界;,在,在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證明至少存在,使,提示: 令,則,易證,1. 設,一點,2. 設,且,則在(a , b)內至少有一點c，,使得,提示: 設,易證,利用零點定理即可得證.,3. 任給一張面積