連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析.ppt

1,第四章 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析,西南林學(xué)院 計科系 魯瑩 主講,2,時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)之和； yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和（對于周期信號）或積分（對于非周期信號）。 用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率， 故稱為頻域分析 。,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,3,從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析。 首先討論傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開，進(jìn)而引出傅里葉變換。 周期信號-傅里葉級數(shù)和傅里葉變換 非周期信號傅里葉變換,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4,發(fā)展歷史,1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在 研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并 證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了 傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。 進(jìn)入20世紀(jì)以后，濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。 “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,5,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號分解為正交函數(shù) 4.2 傅里葉級數(shù) 4.3 周期信號的頻譜 4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換 4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 4.6 周期信號的傅里葉變換 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析 4.8 取樣定理,6,4.1 信號分解為正交函數(shù),一、矢量正交與正交分解,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其內(nèi)積為0。即,信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。,4.1 信號分解為正交函數(shù),7,4.1 信號分解為正交函數(shù),由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為正交矢量集,如三維空間中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所組成的集合就是一個正交矢量集。,例如對于一個三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。,8,4.1 信號分解為正交函數(shù),二、信號正交與正交函數(shù)集,1. 定義：,定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2. 正交函數(shù)集：,若n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。,9,4.1 信號分解為正交函數(shù),3. 完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,( i =1，2，n),10,4.1 信號分解為正交函數(shù),三、信號的正交分解,設(shè)有n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為,11,4.1 信號分解為正交函數(shù),為使上式最小,展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為0，寫為,即,所以系數(shù),12,4.1 信號分解為正交函數(shù),代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）,在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有,上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。,函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和,13,對周期信號而言，在滿足狄里赫利(Dirichlet)條件的情況下，所展開的無窮級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)。 展開的無窮級數(shù)為三角函數(shù)，稱為：三角形傅里葉級數(shù)。 展開的無窮級數(shù)為指數(shù)形式，稱為：指數(shù)形傅里葉級數(shù)。,狄里赫利(Dirichlet)條件,條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個。 條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。 條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。,4.2 傅里葉級數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),14,4.2 傅里葉級數(shù),一、傅里葉級數(shù)的三角形式,設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級數(shù),系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù),可見， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,15,4.2 傅里葉級數(shù),式中，A0 = a0,上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。,可見An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為,16,4.2 傅里葉級數(shù),二、波形的對稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo),bn =0，展開為余弦級數(shù)。,2 .f(t)為奇函數(shù)對稱于原點(diǎn),an =0，展開為正弦級數(shù)。,實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,17,4.2 傅里葉級數(shù),3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時 其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0,18,三、周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。,F,F,4.2 傅里葉級數(shù),19,解:,4.2 傅里葉級數(shù),20,4.2 傅里葉級數(shù),21,4.2 傅里葉級數(shù),22,4.2 傅里葉級數(shù),23,4.2 傅里葉級數(shù),24,周期信號的傅里葉級數(shù)的項數(shù)愈多，即諧波分量愈多，合成波形越接近原始波形，波形的邊緣愈陡峭。 頻率較低的諧波振幅較大，是組成原始波形的主體；頻率較高的諧波振幅較小，主要影響波形的細(xì)節(jié)。,4.2 傅里葉級數(shù),25,波形變化愈劇烈，高頻分量愈豐富； 波形變化愈緩慢，低頻分量愈豐富。 在間斷點(diǎn)附近，隨著合成波形所含諧波分量的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小。即時所含諧波次數(shù)趨于時，間斷點(diǎn)附近仍有9%的偏差。這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。,4.2 傅里葉級數(shù),26,解:,4.2 傅里葉級數(shù),27,4.2 傅里葉級數(shù),28,解:,4.2 傅里葉級數(shù),29,4.2 傅里葉級數(shù),30,4.2 傅里葉級數(shù),31,解:,4.2 傅里葉級數(shù),32,4.2 傅里葉級數(shù),33,三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2,4.2 傅里葉級數(shù),34,4.2 傅里葉級數(shù),上式中第三項的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫為,令,所以,35,4.2 傅里葉級數(shù),令復(fù)數(shù),稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 F0 = A0為直流分量。,36,4.2 傅里葉級數(shù),四、周期信號的功率Parseval等式 （帕賽瓦爾定理）,周期信號一般是功率信號，其平均功率為,周期信號的平均功率等于傅里葉級數(shù)展開各諧波分量有效值的平方和，即時域和頻域的能量守恒。,37,4.3 周期信號的頻譜,4.3 周期信號的頻譜及特點(diǎn),一、信號頻譜的概念,信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和n的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Fn|和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。 若Fn為實(shí)數(shù)，幅度譜和相位譜可畫在一幅圖上 。正值代表的相位為0，負(fù)值代表的相位為 。,38,4.3 周期信號的頻譜,例：周期信號 f(t) = 試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。,解 首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即,顯然1是該信號的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12 根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P=,39,4.3 周期信號的頻譜,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量；,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；,畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,40,4.3 周期信號的頻譜,二、周期信號頻譜的特點(diǎn),舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）,41,4.3 周期信號的頻譜, n = 0 ,1，2，,Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖。,零點(diǎn)為,42,特點(diǎn)： (1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性，兩譜線間為 。譜線位置是基頻的整數(shù)倍； (2)一般具有收斂性。總趨勢減小。 (3)周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，可分解為無限多個頻率分量。但分量幅度隨頻率增高而減小。信號能量主要集中在第一個零點(diǎn) 內(nèi)。 通常把 這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，用符號B表示。,4.3 周期信號的頻譜,43,4.3 周期信號的頻譜,44,4.3 周期信號的頻譜,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系,(a) T一定，變小，信號帶寬變寬，頻帶所含分量增多。 (b) 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。,45,4.4 傅里葉變換,4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換,一、傅里葉變換,非周期信號f(t)可看成是周期T時的周期信號。 前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令,(單位頻率上的頻譜）,稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。,46,4.4 傅里葉變換,考慮到：T，無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時， ,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,根據(jù)傅里葉級數(shù),47,4.4 傅里葉變換,也可簡記為,F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j),F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分,48,4.4 傅里葉變換,二、常用函數(shù)的傅里葉變換,單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et(t)， 0實(shí)數(shù),2. 雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0,49,4.4 傅里葉變換,3. 門函數(shù)(矩形脈沖),4. 沖激函數(shù)(t)、(t),50,4.4 傅里葉變換,5. 常數(shù)1,有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,51,4.4 傅里葉變換,構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一種求法： (t)1代入反變換定義式，有,將t，t-,再根據(jù)傅里葉變換定義式，得,52,6. 符號函數(shù),4.4 傅里葉變換,7. 階躍函數(shù)(t),53,4.4 傅里葉變換,歸納記憶：,1. F 變換對,2. 常用函數(shù) F 變換對：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),54,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),一、線性(Linear Property),If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) then,Proof: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,55,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F(j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),-,56,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),二、對稱性質(zhì)(Symmetrical Property),If f (t) F(j) then,Proof:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, F(j t) 2f () end,F( jt ) 2f (),57,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example, F(j) = ?,Ans:,if =1,* if,F(j) = ?,58,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),三、時移性質(zhì)(Timeshifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,59,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F(j) = ?,Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,60,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),四、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ?,Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3),61,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,f(t) = cos0t F(j) = ?,Ans:,F(j) = (+0)+ (-0),For example 3,Given that f(t) F(j),The modulated signal f(t) cos0t ?,62,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),五、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a t ) ,That is ,f (a t ) ,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j),63,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 1,Given that f (t)F( j), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,64,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,f(t) = F(j) = ?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that,65,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),六、卷積性質(zhì)(Convolution Property),Convolution in time domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),Convolution in frequency domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),66,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Proof:,F f1(t)*f2(t) =,Using timeshifting,So that,F f1(t)*f2(t) =,= F1(j)F2(j),67,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Ans:,Using symmetry,68,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),七、時域的微分和積分 (Differentiation and Integration in time domain),If f (t) F(j) then,Proof:,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) ,69,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,70,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,Given that f (t) F1(j) Proof,f (t) F1(j) + f(-)+ f()(),Proof,So,Summary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,71,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 3,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,Notice:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),72,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),八、頻域的微分和積分 (Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)(j),where,For example 1,Determine f (t) = t(t) F (j)=?,Ans:,73,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Notice: t(t) =(t) * (t) ,Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,74,九、帕斯瓦爾關(guān)系(自學(xué)) (Parsevals Relation for Aperiodic Signals),Proof,|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜 (能量密度譜）Js,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),75,For example,Determine the energy of,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),76,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),十、奇偶性(Parity)(自學(xué)),If f(t) is real, then,= R() + jX(),So that,R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX(),77,4.6 周期信號的傅里葉變換,4.6 周期信號傅里葉變換,一、正、余弦的傅里葉變換,12() 由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ),78,4.6 周期信號傅里葉變換,二、一般周期信號的傅里葉變換,例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=,解：,(1),79,4.6 周期信號傅里葉變換,例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。,解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) = () F0(j),F(j) =,本題 f0(t) = g2(t),(2),(2)式與上頁(1)式比較，得,這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。,80,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。,對周期信號：,對非周期信號：,其基本信號為 ej t,一、基本信號ej t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),說明：頻域分析中，信號的定義域?yàn)?，)，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。,81,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率的基本信號ej t時，其響應(yīng),而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。,y(t) = H(j ) ej t,H(j )反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。,y(t) = h(t)* ej t,82,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),ej t,H(j ) ej t,F(j ) ej t d ,F(j )H(j ) ej t d ,齊次性,可加性,f(t),y(t) =F 1F(j )H(j ) ,Y(j ) = F(j )H(j ),83,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即,H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，()是的奇函數(shù)。,頻域分析法步驟：,傅里葉變換法,84,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。,周期信號,若,則可推導(dǎo)出,85,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) ,H(j)=H(j)ej(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t),86,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,解法二：用三角傅里葉級數(shù),f(t)的基波角頻率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),87,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,三、頻率響應(yīng)H(j)的求法,1. H(j) = F h(t),2. H(j) = Y(j)/F(j) 由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。 由電路直接求出。,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j),88,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (e-t e-2t )(t),例2：如圖電路，R=1，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。,解：畫電路頻域模型,h(t)= e-t (t),89,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。,1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為 Y(j)=Ke jtdF(j),90,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是： (a)對h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)對H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td,上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。,(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：,91,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),92,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,2、理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：,(1)沖激響應(yīng),h(t)= -1g 2 c()e-jtd =,可見，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。,93,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,(2)階躍響應(yīng),g(t)=h(t)*(t)=,經(jīng)推導(dǎo)，可得,稱為正弦積分,特點(diǎn)：有明顯失真，只要c，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。,gmax=0.5+Si()/=1.0895,94,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,3、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時域特性而言，一個物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t0時必須為0，即 h(t)=0 ,t0 即 響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來說，佩利（Paley