概率論與數(shù)理統(tǒng)計費為銀7.ppt

第七章 參數(shù)估計,點估計 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 區(qū)間估計 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計,7.1 點估計 7.1.1 參數(shù)估計的概念,定義 設(shè)X1， ， Xn是總體X的一個樣本，其分布函數(shù)為F(x; ), 。其中為未知參數(shù), 為參數(shù)空間, 若統(tǒng)計量g(X1， ， Xn)可作為的一個估計,則稱其為的一個估計量，記為,注：F(x;)也可用分布律或密度函數(shù)代替.,若x1， ， xn是樣本的一個觀測值,由于g(x1， ， xn) 是實數(shù)域上的一個點， 現(xiàn)用它來估計， 故稱這種估計為點估計。 點估計的經(jīng)典方法是矩估計法與極大似然估計法。,7.1.2 矩估計法（簡稱“矩法”）,關(guān)鍵點： 1.用樣本矩作為總體同階矩的估計，即,2.約定：若 是未知參數(shù)的矩估計，則g()的矩估計為g( ),例1：設(shè)X1， ， Xn為取自總體B(m,p),的樣本，其中m已知，0p1未知，求p的矩估計。,例2：設(shè)X1， ， Xn為取自參數(shù)為的指數(shù)分布總體的樣本，求的矩估計。,例4：設(shè)X1， ， Xn為取自 總體的樣本，求參數(shù) 的矩估計。,7.1.3 極大似然估計法,1、極大似然思想 有兩個射手，一人的命中率為0.9,另一人的命中率為0.1,現(xiàn)在他們中的一個向目標(biāo)射擊了一發(fā)，結(jié)果命中了，估計是誰射擊的？,一般說，事件A發(fā)生的概率與參數(shù)有關(guān)，取值不同，則P(A)也不同。因而應(yīng)記事件A發(fā)生的概率為P(A|).若A發(fā)生了，則認(rèn)為此時的值應(yīng)是在中使P(A|) 達(dá)到最大的那一個。這就是極大似然思想,1.設(shè)總體X為離散型隨機變量，它的分布律為,現(xiàn)有樣本觀察值x1,x2,xn,其中xk取值于ak, k=1,2 問：根據(jù)極大似然思想，如何用x1,x2,xn估計q?,例6.設(shè)X1， ， Xn為取自參數(shù)為的泊松分布總體的樣本，求的極大似然估計,2.設(shè)總體X為連續(xù)型隨機變量，概率密度f(x;q) 現(xiàn)有樣本觀察值x1,x2,xn, 問：根據(jù)極大似然思想，如何用x1,x2,xn估計q?,3、似然函數(shù)與極大似然估計,為該總體的似然函數(shù)。,定義：若有,使得,則稱 為的極大似然估計.記為,4、求極大似然估計的步驟,(1) 做似然函數(shù),(2) 做對數(shù)似然函數(shù),(3) 列似然方程,若該方程有解，則其解就是,注1：若概率函數(shù)中含有多個未知參數(shù)，則可解方程組,例7：設(shè)X1， ， Xn為取自 總體的樣 本，求參數(shù) 的極大似然估計。 結(jié)果與矩估計相同,注2：極大似然估計具有下述性質(zhì)： 若 是未知參數(shù)的極大似然估計，g()是的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則g()的極大似然估計為g( ),例8：設(shè)X1， ， Xn為取自參數(shù)為的指數(shù)分布 總體的樣本，a0為一給定實數(shù)。 求p=PXa的極大似然估計,注3：由似然方程解不出的似然估計時，可由定義通過分析直接推求。事實上 滿足,例9：設(shè)X1， ， Xn為取自 U(0,) 總體的樣本，0未知，求參數(shù) 的極大似然估計。,7.2 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 7.2.1 無偏性,易見,考察的矩估計和極大似然估計的無偏性,例,7.2. 有效性,例:設(shè) 分別為取自總體X的容量為n1,n2的兩個樣本的樣本均值，求證：對任意實數(shù)a0,b0,a+b=1 統(tǒng)計量 都是E（X）的無偏估計，并求a,b使所得統(tǒng)計量最有效,7.2.、一致性,例.設(shè) 已知0p1,求p的極大似然估計，并討論所求估計量的一致性。,7.3 區(qū)間估計 7.3.1、概念,定義： 設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x；)含有未知參數(shù)，對于給定值（0 1),若由樣本X1, , Xn確定的兩個統(tǒng)計量 使,則稱隨機區(qū)間 為的置信度為1的置信區(qū)間,注：F(x;)也可換成概率密度或分布律。,7.4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計,1、2已知,/2,/2,1-,可取,(1-),1-,的置信度為1的置信區(qū)間為,注：的1置性區(qū)間不唯一。,都是的1置性區(qū)間.但=1/2時區(qū)間長最短.,求正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的解題步驟： (1)根據(jù)實際問題構(gòu)造樣本的函數(shù)，要求僅含待估參數(shù)且分布已知； (2)令該函數(shù)落在由分位點確定的區(qū)間里的概率為給定的置信度1，要求區(qū)間按幾何對稱或概率對稱； (3)解不等式得隨機的置信區(qū)間； (4)由觀測值及值查表計算得所求置信區(qū)間。,(1)解:,已知時,的置信度為1的置信區(qū)間為,這里,2、2未知,m的1-a置信區(qū)間為,1-,即得,(2)解:,未知時,的置信度為1的置信區(qū)間為,這里,7.4.2 單正態(tài)總體方差的置