概率論與數(shù)理統(tǒng)計4-2.ppt

第4.2節(jié) 中心極限定理,二、基本定理,三、典型例題,四、小結,一、動畫演示,一、基本定理,定理4.6（林德貝格-列維中心極限定理）,定理4.6表明:,從而知當n充分大時， 近似服從正態(tài)分布,近似服從正態(tài)分布,證明,根據(jù)第三章第二節(jié)例題可知,德莫佛,拉普拉斯,定理4.8(德莫佛拉普拉斯定理),根據(jù)定理4.6得,定理4.8表明:,正態(tài)分布是二項分布的極限分布, 當n充分大時, 可以利用該定理來計算二項分布的概率.,下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近.,中心極限定理的意義,在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.,中心極限定理是概率論中最著名的結果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實.,二、典型例題,解,由定理4.6, 隨機變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),例1,其中,一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3 的概率為1/3, 若船舶遭受了90000次波浪沖擊, 問其中有2950030500次縱搖角大于 3 的概率是多少？,解,將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗,并假設各次試驗是獨立的,在90000次波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為X,則X是一個隨機變量,例2,所求概率為,分布律為,直接計算很麻煩，利用德莫佛拉普拉斯定理,三、小結,三個中心極限定理,林德貝格-列維中心極限定理,李雅普諾夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心極限定理表明, 在相當一般的條件下, 當獨立隨機變量的個數(shù)增加時, 其和的分布趨于正態(tài)分布.,李雅普諾夫資料,Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,Born: 6 June 1857 in Yaroslavl, Russia Died: 3 Nov 1918 in Odessa, Russia,德莫佛資料,Abraham de Moivre,Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England,拉普拉斯資料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 March 1827 in Paris, France,某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元. 設老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率.,解,設 X 為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛拉普拉斯定理知,例3,保險公司虧本的概率,對于一個學生而言, 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量. 設一個學生無家長、1名家長、 2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15. 若學校共有400名學生, 設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立, 且服從同一分布. (1) 求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率; (2) 求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.,解,例4,根據(jù)定理4.6,由德莫佛拉普拉斯定理知,證,例5,根據(jù)定理4.6,李雅普諾夫,定理4.7*(