25.物體的動(dòng)態(tài)平衡問題解題技巧.doc

物體的動(dòng)態(tài)平衡問題解題技巧湖北省恩施高中 陳恩譜一、總論1、動(dòng)態(tài)平衡問題的產(chǎn)生三個(gè)平衡力中一個(gè)力已知恒定，另外兩個(gè)力的大小或者方向不斷變化，但物體仍然平衡，典型關(guān)鍵詞緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)、緩慢移動(dòng)2、動(dòng)態(tài)平衡問題的解法解析法、圖解法解析法畫好受力分析圖后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，將待求力寫成三角函數(shù)形式，然后由角度變化分析判斷力的變化規(guī)律；圖解法畫好受力分析圖后，將三個(gè)力按順序首尾相接形成力的閉合三角形，然后根據(jù)不同類型的不同作圖方法，作出相應(yīng)的動(dòng)態(tài)三角形，從動(dòng)態(tài)三角形邊長變化規(guī)律看出力的變化規(guī)律。3、動(dòng)態(tài)平衡問題的分類動(dòng)態(tài)三角形、相似三角形、圓與三角形（2類）、其他特殊類型二、例析1、第一類型：一個(gè)力大小方向均確定，一個(gè)力方向確定大小不確定，另一個(gè)力大小方向均不確定動(dòng)態(tài)三角形【例1】如圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對球的壓力大小為FN1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镕N2。以木板與墻連接點(diǎn)所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計(jì)摩擦，在此過程中AFN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大BFN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小CFN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小DFN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大FN1FN2mg解法一：解析法畫受力分析圖，正交分解列方程，解出FN1、FN2隨夾角變化的函數(shù)，然后由函數(shù)討論；【解析】小球受力如圖，由平衡條件，有聯(lián)立，解得：，木板在順時(shí)針放平過程中，角一直在增大，可知FN1、FN2都一直在減小。選B。解法二：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”，不變的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向變化規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)FN2，即可看出結(jié)果。FN2mgFN1【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個(gè)力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F(xiàn)N1的方向始終水平向右，而FN2的方向逐漸變得豎直。則由右圖可知FN1、FN2都一直在減小?！就卣埂克降孛嫔嫌幸荒鞠?，木箱與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(01)?，F(xiàn)對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)F的方向與水平地面的夾角為，如圖所示，在從0逐漸增大到90的過程中，木箱的速度保持不變，則AF先減小后增大 BF一直增大CF一直減小 DF先增大后減小解法一：解析法畫受力分析圖，正交分解列方程，解出F隨夾角變化的函數(shù)，然后由函數(shù)討論；FNFmgFf【解析】木箱受力如圖，由平衡條件，有其中聯(lián)立，解得：由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，其中FNFmgFfF合當(dāng)時(shí)，F(xiàn)最小，則從0逐漸增大到90的過程中，F(xiàn)先減小后增大。選A。解法二：圖解法可將彈力和滑動(dòng)摩擦力合成為一個(gè)力，這個(gè)力的方向是確定的，然后按“動(dòng)態(tài)三角形法”的思路分析。FF合mg【解析】小球受力如圖，將支持力FN和滑動(dòng)摩擦力Ff合成為一個(gè)力F合，由可知，。由平衡條件可知，將三個(gè)力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F(xiàn)合的方向始終與豎直方向成角。則由右圖可知，當(dāng)從0逐漸增大到90的過程中，F(xiàn)先減小后增大。2、第二類型：一個(gè)力大小方向均確定，另外兩個(gè)力大小方向均不確定，但是三個(gè)力均與一個(gè)幾何三角形的三邊平行相似三角形【例2】半徑為的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面的距離為，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由到的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至屠K對小球的拉力的大小變化的情況是A、變大，變小B、變小，變大C、變小，先變小后變大D、不變，變小解法一：解析法（略）FNmgFfOO解法二：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后觀察這個(gè)力的三角形，發(fā)現(xiàn)這個(gè)力的三角形與某個(gè)幾何三角形相似，可知兩個(gè)三角形對應(yīng)邊長比邊長，三邊比值相等，再看幾何三角形邊長變化規(guī)律，即可得到力的大小變化規(guī)律。FNmgFf【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個(gè)力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)力與的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形相似。則有。其中，mg、R、h均不變，L逐漸減小，則由上式可知，不變，變小。3、第三類型：一個(gè)力大小方向均確定，一個(gè)力大小確定但方向不確定，另一個(gè)力大小方向均不確定圓與三角形【例3】在共點(diǎn)力的合成實(shí)驗(yàn)中，如圖，用A，B兩只彈簧秤把橡皮條上的節(jié)點(diǎn)拉到某一位置O，這時(shí)兩繩套AO，BO的夾角小于90，現(xiàn)在保持彈簧秤A的示數(shù)不變而改變其拉力方向使角變小，那么要使結(jié)點(diǎn)仍在位置O，就應(yīng)該調(diào)整彈簧秤B的拉力的大小及角，則下列調(diào)整方法中可行的是BAO A、增大B的拉力，增大角 B、增大B的拉力，角不變 C、增大B的拉力，減小角 D、B的拉力大小不變，增大角解法一：解析法（略）FFBFA解法二：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”保持長度不變FA將FA繞橡皮條拉力F端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)形成一個(gè)圓弧，F(xiàn)B的一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在圓弧上滑動(dòng)，即可看出結(jié)果。FFBFA【解析】如右圖，由于兩繩套AO、BO的夾角小于90，在力的三角形中，F(xiàn)A、FB的頂角為鈍角，當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)A、FB的頂角逐漸減小為直角然后為銳角。由圖可知，這個(gè)過程中FB一直增大，但角先減小，再增大。故選ABC。4、第四類型：一個(gè)力大小方向均確定，另兩個(gè)力大小方向均不確定，但是另兩個(gè)力的方向夾角保持不變圓與三角形（正弦定理）【例4】如圖所示裝置，兩根細(xì)繩拴住一球，保持兩細(xì)繩間的夾角=120不變，若把整個(gè)裝置順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過90，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，CA繩的拉力FT1，CB繩的拉力FT2的大小變化情況是 A、FT1先變小后變大 B、FT1先變大后變小 C、FT2一直變小 D、FT2最終變?yōu)榱憬夥ㄒ唬航馕龇?讓整個(gè)裝置順時(shí)針轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，畫受力分析圖，水平豎直分解，由平衡條件列方程，解出FT1、FT2隨變化的關(guān)系式，然后根據(jù)的變化求解。FT2mgFT1【解析】整個(gè)裝置順時(shí)針轉(zhuǎn)過一個(gè)角度后，小球受力如圖所示，設(shè)AC繩與豎直方向夾角為，則由平衡條件，有聯(lián)立，解得，從90逐漸減小為0，則由上式可知：FT1先變大后變小，F(xiàn)T2一直變小。mgFT1FT2FT2mgFT1解法二：解析法2畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，在這個(gè)三角形中，小球重力不變，F(xiàn)T1、FT2的夾角(180)保持不變，設(shè)另外兩個(gè)夾角分別為、，寫出這個(gè)三角形的正弦定理方程，即可根據(jù)、的變化規(guī)律得到FT1、FT2的變化規(guī)律?！窘馕觥咳鐖D，由正弦定理有整個(gè)裝置順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)90過程的中角和mg保持不變，角從30增大，角從90減小，易知FT1先變大后變小，F(xiàn)T2一直變小。mgFT1FT2解法三：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，由于這個(gè)三角形中重力不變，另兩個(gè)力的夾角(180)保持不變，這類似于圓周角與對應(yīng)弦長的關(guān)系，因此，作初始三角形的外接圓（任意兩邊的中垂線交點(diǎn)即外接圓圓心），然后讓另兩個(gè)力的交點(diǎn)在圓周上按FT1、FT2的方向變化規(guī)律滑動(dòng)，即可看出結(jié)果?！窘馕觥咳缬覉D，力的三角形的外接圓正好是以初態(tài)時(shí)的FT2為直徑的圓周，易知FT1先變大到最大為圓周直徑，然后變小，F(xiàn)T2一直變小。答案為：BCDACMNBG5、其他類型【例5】如圖所示用鋼筋彎成的支架，水平虛線MN的上端是半圓形，MN的下端筆直豎立一不可伸長的輕繩通過動(dòng)滑輪懸掛一重物G現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點(diǎn)，另一端從C點(diǎn)處沿支架緩慢地向最高點(diǎn)B靠近（C點(diǎn)與A點(diǎn)等高），則繩中拉力A先變大后不變B先不變后變大C先不變后變小D保持不變解法一：解析法分兩個(gè)階段畫受力分析圖，繩端在CN段、NB段，在CN段，正交分解列方程易算得左右兩側(cè)繩與水平方向夾角相同，再由幾何關(guān)系易知這個(gè)夾角保持不變，則易看出結(jié)果；在NB段，左右兩側(cè)繩與水平方向夾角也相同，但這個(gè)夾角逐漸增大，由方程易看出結(jié)果。（解析略）FT=GF1F2FT=GF1F2解法二：圖解法畫滑輪受力分析圖，構(gòu)建力的三角形，如前所述分析夾角變化規(guī)律，可知這是一個(gè)等腰三角形，其中豎直向下的拉力大小恒定，則易由圖看出力的變化規(guī)律?！窘馕觥咳缬覉D，滑輪受力如圖所示，將三個(gè)力按順序首尾相接，形成一個(gè)等腰三角形。由實(shí)際過程可知，這個(gè)力的三角形的頂角先保持不變，然后增大，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小。選C。三、練習(xí)1、如圖1所示，一光滑水球靜置在光滑半球面上，被豎直放置的光滑擋板擋住，現(xiàn)水平向右緩慢地移動(dòng)擋板，則在小球運(yùn)動(dòng)的過程中(該過程小球未脫離球面且球面始終靜止)，擋板對小球的推力F、半球面對小球的支持力FN的變化情況是（ ）AF增大，F(xiàn)N減小BF增大，F(xiàn)N增大CF減小，F(xiàn)N減小DF減小，F(xiàn)N增大mgFNFNmgFF【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個(gè)力按順序首尾相接，可形成如上圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F(xiàn)的方向始終水平向左，而FN的方向逐漸變得水平。則由上圖可知F、FN都一直在增大。 故B正確2、如圖2所示是一個(gè)簡易起吊設(shè)施的示意圖，AC是質(zhì)量不計(jì)的撐桿，A端與豎直墻用鉸鏈連接，一滑輪固定在A點(diǎn)正上方，C端吊一重物?，F(xiàn)施加一拉力F緩慢將重物P向上拉，在AC桿達(dá)到豎直前（ ）ABC繩中的拉力FT越來越大BBC繩中的拉力FT越來越小CAC桿中的支撐力FN越來越大DAC桿中的支撐力FN越來越小FT1=GFNFTFT1=G【解析】C點(diǎn)受力如圖，由平衡條件可知，將三個(gè)力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)力與的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形相似。則有。其中，G、AC、AB均不變，BC逐漸減小，則由上式可知，不變，變小。B正確3、質(zhì)量為M、傾角為的斜面體在水平地面上，質(zhì)量為m的小木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在斜面上，現(xiàn)用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木塊，拉力在斜面所在的平面內(nèi)繞小木塊旋轉(zhuǎn)一周的過程中，斜面體和木塊始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，下列說法中正確的是（ ）FmgsinFfA小木塊受到斜面的最大摩擦力為B小木塊受到斜面的最大摩擦力為F-mgsinC斜面體受到地面的最大摩擦力為FD斜面體受到地面的最大摩擦力為FcosmgsinFf【解析】對小木塊受力分析可得斜面上的受力如圖所示，由于小木塊始終靜止則重力沿斜面向下的分量mgsin始終不變，其與F和Ff構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形，當(dāng)F方向變化時(shí)可知當(dāng)F與mgsin方向相反時(shí)Ff最大，其值為F+mgsin。對于C，D選項(xiàng)一斜面和小木塊為整體進(jìn)行研究，當(dāng)力F水平向左時(shí)摩擦力最大值為F。故C正確。4、如圖所示，圓弧形貨架擺著四個(gè)完全相同的光滑小球，O為圓心對圓弧面的壓力最小的是mgFN1FN2mgFN1FN2Aa球 Bb球 Cc球 Dd球【解析】小球受力分析如圖所示，其中小球重力相同，F(xiàn)N1方向始終指向圓心，F(xiàn)N2方向始終垂直于FN1，這三個(gè)力構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形如乙圖所示，從a位置到d位置FN1與豎直方向夾角在變小，做出里的動(dòng)態(tài)三角形，易得a球?qū)A弧面的壓力最小。A正確。5、目前，我市每個(gè)社區(qū)均已配備了公共體育健身器材如圖所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點(diǎn)由于長期使用，導(dǎo)致兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，如圖中虛線所示，但兩懸掛點(diǎn)仍等高座椅靜止時(shí)用F表示所受合力的大小，F(xiàn)1表示單根輕繩對座椅拉力的大小，與傾斜前相比（ ）AF不變，F(xiàn)1變小 BF不變，F(xiàn)1變大 CF變小，F(xiàn)1變小 DF變大，F(xiàn)1變大GF1F1GF1F1 【解析】座椅受力如圖所示，將三個(gè)力按順序首尾相接，形成一個(gè)封閉的三角形如圖。兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，則這個(gè)力的三角形的頂角變小，從圖中可以得到則繩中張力F1逐漸減小，由于座椅仍靜止所受合力F始終為零。選A。6、如圖所示，在傾角為的固定粗糙斜面上，一個(gè)質(zhì)量為m的物體被水平力F推著靜止于斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，且tan ，求力F的取值范圍。FNmgFfF合FFF合mg【解析】物體受力如圖所示，將靜摩擦力Ff和彈力FN合成為一個(gè)力F合，則F合的方向允許在FN兩側(cè)最大偏角為的范圍內(nèi)，其中。將這三個(gè)力按順序首尾相接，形成如圖所示三角形，圖中虛線即為F合的方向允許的變化范圍。由圖可知：即：mgFF合ma+FNmgFF合ma7、如圖所示，在傾角為的固定粗糙斜面上，一個(gè)質(zhì)量為m的物體在拉力F的作用下沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，為使物體加速度大小為a，試求力F的最小值及其對應(yīng)的方向。FFaF合Ffmg【解析】物體受力如圖，將支持力FN和滑動(dòng)摩擦力Ff合成為一個(gè)力F合，由可知，。將三個(gè)力按順序首尾相接，與三者的合力形成如圖所示四邊形，其中mg、ma不變，F(xiàn)合的方向不變。當(dāng)F取不同方向時(shí)，F(xiàn)的大小也不同，當(dāng)F與F合垂直時(shí)，F(xiàn)取最小值。由幾何關(guān)系，得：，解得：8、如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離