2009年高考試題——數(shù)學(xué)理（廣東卷）Word版

絕密啟用前 試卷類型：B2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽宇筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題組號對應(yīng)的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。 5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的巳知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（enn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有A個 個個 無窮個設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對虛數(shù)單位， 若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點，則 已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時， 5給定下列四個命題：若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中，為真命題的是和 和 .和 和6一質(zhì)點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知成角，且的大小分別為和，則的大小為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 72010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有36種 12種 18種 48種8已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是A在時刻，甲車在乙車前面 B時刻后，甲車在乙車后面C在時刻，兩車的位置相同D時刻后，乙車在甲車前面二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（題）隨機(jī)抽取某產(chǎn)品件，測得其長度分別為，則圖3所示的程序框圖輸出的 ，s表示的樣本的數(shù)字特征是 （注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“”“：=”）若平面向量滿足，平行于軸，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為 12已知離散型隨機(jī)變量的分布列如右表若，則 ， （二）選做題（13 15題，考生只能從中選做兩題）13（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若直線與直線（為參數(shù)）垂直，則 14（不等式選講選做題）不等式的實數(shù)解為 15(幾何證明選講選做題）如圖4，點是圓上的點， 且，則圓的面積等于 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟，16(本小題滿分12分）已知向量互相垂直，其中（1）求的值；（2）若，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17（本小題滿分12分）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API（為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級如下表:對某城市一年（365天）的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖5 （1）求直方圖中的值； （2）計算一年屮空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；（3）求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示已知）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18（本小題滿分分）如圖，已知正方體的棱長為，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點設(shè)點分別是點，在平面內(nèi)的正投影（）求以為頂點，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（）證明：直線；（）求異面直線所成角的正統(tǒng)值19（本小題滿分分）已知曲線與直線交于兩點和，且記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合（）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若曲線與點有公共點，試求的最小值20（本小題滿分分）已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值設(shè)（）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；（）如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21（本小題滿分分）已知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（）求數(shù)列的通項公式；（）證明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、 選擇題1-8 B .C. B. C D. D A A.二。、填空題（一）必做題9.【解析】；平均數(shù)11.【解析】或，則或11.【解析】，則所求橢圓方程為.12.【解析】由題知，解得，.(二)選做題13.【解析】，得.14.【解析】且15.【解析】解法一：連結(jié)、，則，則；解法二：，則.三、解答題16. 解：（1）與互相垂直，則，即，代入得，又，.（2），則，.17. 解：（1）由圖可知，解得；（2）；（3）該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為.18. 解：（1）依題作點、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標(biāo)原點，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設(shè)異面直線所成角為，則.19. 解：（1）聯(lián)立與得，則中點，設(shè)線段的中點坐標(biāo)為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方程為（）.xAxBD（2）曲線，即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑由圖可知，當(dāng)時，曲線與點有公共點；當(dāng)時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.20. 解：（1）依題可設(shè) ()，則； 又的圖像與直線平行 ， ， 設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值當(dāng)時， 解得 當(dāng)時， 解得 （2）由()，得 當(dāng)時，方程有一解，函數(shù)有一零點；當(dāng)時，方程有二解，若，函數(shù)有兩個零點，即；若，函數(shù)有兩個零點，即；當(dāng)時，方程有一解, , 函數(shù)有一零點 綜上，當(dāng)時, 函數(shù)有一零點；當(dāng)()，或