高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案含解析新人教A版選修1.docx

2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的問題知識點一雙曲線的定義思考若取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，那么曲線上的點應(yīng)滿足怎樣的幾何條件？答案如圖，曲線上的點滿足條件：|MF1|MF2|常數(shù)(小于|F1F2|)；如果改變一下筆尖位置，使|MF2|MF1|常數(shù)(小于|F1F2|)，可得到另一條曲線梳理(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距(2)關(guān)于“小于|F1F2|”：若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)；若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡不存在(3)若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動點的軌跡只有雙曲線的一支(4)若常數(shù)為零，其余條件不變，則點的軌跡是線段F1F2的中垂線知識點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？答案雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c與b大小不確定梳理(1)雙曲線兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形焦點坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系式a2b2c2(2)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上(3)雙曲線的焦點位置不確定時可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2By21(AB0，b0且ab.()3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是ab.()類型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程命題角度1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識例1方程1表示雙曲線，則m的取值范圍是()A(2，1) B(2，)C(，1) D(，2)(1，)考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點已知方程判斷曲線的類型答案A解析由題意可知，(2m)(m1)0，2m1.反思與感悟?qū)㈦p曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線的方程為1，則當(dāng)mn1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在y軸上的雙曲線D焦點在x軸上的雙曲線考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點已知方程判斷曲線的類型答案C解析原方程化為1，k1，k210，k10.方程所表示的曲線為焦點在y軸上的雙曲線命題角度2求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a4，經(jīng)過點A；(2)經(jīng)過點(3,0)，(6，3)考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b0)，把A點的坐標(biāo)代入，得b20)，把A點的坐標(biāo)代入，得b29，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，雙曲線經(jīng)過點(3,0)，(6，3)，解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟求雙曲線方程的方法(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程類似，也是“先定型，后定量”，利用待定系數(shù)法求解(2)當(dāng)焦點位置不確定時，應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論(3)當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過兩點，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，把雙曲線方程設(shè)成mx2ny21(mn0)的形式求解跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)c，經(jīng)過點(5,2)，焦點在x軸上(2)與橢圓1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標(biāo)為4.考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)焦點在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中00，b0)，則解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.類型二雙曲線的定義及應(yīng)用命題角度1雙曲線中的焦點三角形例3(1)如圖，已知雙曲線的方程為1(a0，b0)，點A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2，|AB|m，F(xiàn)1為雙曲線的左焦點，則ABF1的周長為_考點雙曲線的定義題點雙曲線的焦點三角形答案4a2m解析由雙曲線的定義，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周長為|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)設(shè)P為雙曲線x21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|PF2|32，則PF1F2的面積為_考點雙曲線的定義題點雙曲線的焦點三角形答案12解析由已知得2a2，又由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2，因為|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF2為直角三角形|PF1|PF2|6412.引申探究本例(2)中，若將“|PF1|PF2|32”改為“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面積解由雙曲線方程為x21，可知a1，b2，c.因為|PF1|PF2|24，則cosF1PF20，所以PF1F2為直角三角形所以|PF1|PF2|12.反思與感悟求雙曲線中焦點三角形面積的方法(1)方法一：根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；通過配方，利用整體的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP為P點的縱坐標(biāo))求得面積特別提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點有關(guān)的問題，一是要注意定義條件|PF1|PF2|2a的變形使用，特別是與|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|之間的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練3已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2y21的左、右焦點，點P在C上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|等于()A1B4C6D8考點雙曲線的定義題點雙曲線的焦點三角形答案B解析設(shè)|PF1|m，|PF2|n，由余弦定理得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即|PF1|PF2|4.命題角度2由雙曲線定義求軌跡方程例4已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_考點雙曲線的定義題點雙曲線定義的應(yīng)用答案x21(x1)解析如圖，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B，根據(jù)兩圓外切的條件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|, 因為|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，這表明動點M與兩定點C2，C1的距離的差是常數(shù)2且26|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a1，c3，則b28，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為x21 (x1)反思與感悟定義法求雙曲線方程的注意點(1)注意條件中是到定點距離之差，還是差的絕對值(2)當(dāng)差的絕對值為常數(shù)時要注意常數(shù)與兩定點間距離的大小問題(3)求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標(biāo)是否都在所給的曲線上跟蹤訓(xùn)練4已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1(x) B.1C.1D.1考點雙曲線的定義題點雙曲線定義的應(yīng)用答案A解析設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，所以|C1C2|8，所以2|C1C2|，根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1(4,0)，C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支，因為a，c4，所以b2c2a214，所以點M的軌跡方程是1(x).1已知F1(3,3)，F(xiàn)2(3,3)，動點P滿足|PF1|PF2|4，則P點的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C不存在D一條射線考點雙曲線的定義題點雙曲線定義的應(yīng)用答案B解析因為|PF1|PF2|4，且4|F1F2|，由雙曲線定義知，P點的軌跡是雙曲線的一支2若kR，方程1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是()A3k2Bk3Ck2Dk2考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點已知方程判斷曲線的類型答案A解析由題意知，k30且k20，3k0,0a20，b0)，則有a2b2c28.因為過(3，)點，所以1，解得a23，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.1雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.3用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要先判斷焦點所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a，b，c的方程組如果焦點不確定要分類討論采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.一、選擇題1已知雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標(biāo)為()A.B.C.D(，0)考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點由雙曲線方程求參數(shù)答案C解析將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，所以a21，b2，所以c，故右焦點坐標(biāo)為.2在方程mx2my2n中，若mn0，則方程表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在x軸上的雙曲線C焦點在y軸上的橢圓D焦點在y軸上的雙曲線考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點已知方程判斷曲線的類型答案D解析將方程化為1，由mn0，所以方程表示的曲線是焦點在y軸上的雙曲線3雙曲線1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點P到F1的距離為12，則P到F2的距離為()A17B22C2或22D7或17考點雙曲線的定義題點雙曲線定義的應(yīng)用答案C解析由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|10，又|PF1|12，則P到F2的距離為2或22，經(jīng)檢驗，均符合題意故選C.4過點(1,1)，且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y21B.x21Cx21D.y21或x21考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案D解析，b22a2.當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為1，代入(1,1)點，得a2.此時雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.同理求得焦點在y軸上時，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.5雙曲線8kx2ky28的一個焦點坐標(biāo)為(0,3)，則k的值是()A1B1C.D考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點由雙曲線方程求參數(shù)答案B解析原方程可化為1，由焦點坐標(biāo)是(0,3)可知c3，且焦點在y軸上，k0，b0)，則a2b25.線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2)，點P的坐標(biāo)為(，4)，將其代入雙曲線的方程，得1.由解得a21，b24，雙曲線的方程為x21.二、填空題9若點P到點(0，3)與到點(0,3)的距離之差為2，則點P的軌跡方程為_考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案y21(y1)解析由題意結(jié)合雙曲線的定義，可知點P的軌跡為雙曲線上支，且c3,2a2，a1，b2918，故點P的軌跡方程為y21(y1)10雙曲線1(0m5)的焦距為_考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點由雙曲線方程求參數(shù)答案16解析在雙曲線1(0m5)中，a264m2，b2m2.a2b264，可得c8,2c16.11經(jīng)過點P(3,2)和Q(6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_考點雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案1解析設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，因為PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|112.三、解答題13.如圖，已知定圓F1：x2y210x240，定圓F2：x2y210x90，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的曲線方程考點雙曲線的定義題點由雙曲線的定義確定軌跡方程解圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5,0)，半徑r11.圓F2：(x5)2y242，圓心F2(5,0)，半徑r24.設(shè)動圓M的半徑為R，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3.點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線(左支)，且a，c5.b2.雙曲線方程為1.四、探究與拓展14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點A(6,0)和C(6,0)，若頂點B在雙曲線1的左支上，則_.考點雙曲線的定義題點雙曲線定義的應(yīng)用答案解析設(shè)A，B，C的對邊分別為a，b，c.由雙曲線定義，得ac10，由正弦定理，得.15已知雙曲線過