(好資料)曾謹(jǐn)嚴(yán)量子力學(xué)習(xí)題第七章

第七章：粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1證明在磁場(chǎng)中，帶電粒子的速度算符的各分量，滿足下述的對(duì)易關(guān)系： （1） （2） （3）證明根據(jù)正則方程組： ，同理 是正則動(dòng)量，不等于機(jī)械動(dòng)量，將所得結(jié)果代入（1）的等號(hào)左方： = （4）正則動(dòng)量與梯度算符相對(duì)應(yīng)，即 ，因此 又僅與點(diǎn)的座標(biāo)有關(guān) （因）其余二式依輪換對(duì)稱寫出。2利用上述對(duì)易式，求出均勻磁場(chǎng)中，帶電粒子能量的本征值（取磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸方向）（解）設(shè)磁場(chǎng)沿Z軸方向，矢勢(shì)的一種可能情形是在本題的情形，哈密頓算符是：（前題）速度算符間的對(duì)易式是：根據(jù)（），分別和，對(duì)易，因此與對(duì)易，而：與有共同的本征函數(shù)，的本征值是本征值之和。 但，這和有心力勢(shì)場(chǎng)一樣是完全集合，（6）式是一個(gè)平面諧振子（二維）的能量算符和一個(gè)角動(dòng)量分量算符之和，按7.2和前一章的第（15）題，（6）式中的本征值是 （7）又這個(gè)能量算符的本征值是可以連續(xù)取值的，它和沿z軸作自由運(yùn)動(dòng)的粒子的動(dòng)能算符一樣，因而有： 但取間任何值，E是連續(xù)譜。（3）證明在規(guī)范變換下 （1） （2） （機(jī)械動(dòng)量的平均值）都不變 （3）（證明）如課本證明，要規(guī)范變換下，若將體系的波函數(shù)作以下變換（P243。17式） （4）則薛定諤方程形式不變，將（4）代入（1）式等號(hào)右方，設(shè)變換后兒率密度：又設(shè)變換后兒率流密度是，將（4）代入（2）式右方，同時(shí)又代入 （5）注意到算符的對(duì)易關(guān)系推廣到三維： （6）令則有： （7） (8)將（7）(8)代入（5）式等號(hào)右方第一項(xiàng)第二項(xiàng)，（5）式成為： （9）在證明第3式時(shí)，設(shè)變換后的 是 。寫出右方平均值的顯式，用（4）的波數(shù)變換，和的矢勢(shì)的變換式：前式第一個(gè)積分可重復(fù)用（7）式，得：命題得證4若采用柱座標(biāo)系，求解均勻磁場(chǎng)中帶電粒子的能量本征值。（解）設(shè)粒子的柱座標(biāo)是，取矢勢(shì)的柱座標(biāo)的分量度為 柱座標(biāo)的梯度算符證明為以下形式 （1）式中的是一點(diǎn)上沿等勢(shì)面作出的單位矢量，但和直角坐標(biāo)的單位矢量不同，方向隨著點(diǎn)變化，而且它們對(duì)的導(dǎo)數(shù)也 不是零，能證明： ， 參看附圖計(jì)算哈氏算符：（要計(jì)及單位矢導(dǎo)數(shù)）（少圖） (2) 觀察（2）知道 =0， =0 ,但 =，=，因此，有共同本征函數(shù)，?。?，）完全集合表示態(tài)，而波函數(shù)可含有，的本征函數(shù)作為其因式= （3）但m=0, k=任何值。將（3）代入的本征方程式： (4)在消去與和z有關(guān)系的公因式后得 （5）令 作自變量變換，則有： 代入（5）得 （6）式中 （7）其次求（6）的關(guān)于奇點(diǎn)上的近似解 時(shí)，（6）成為：漸近解時(shí)，（6）成為：漸近解，所以方程式（6）的特解可假設(shè)為：（8） 將（8）代入（6）后得關(guān)于的微分方程： （9） 這屬于合流超幾級(jí)數(shù)，后者的一般形式是： （10） 后者的解是合流超幾級(jí)數(shù)；它表示為： （11）由于對(duì)比系數(shù)知道（9）的解是 （12）但從收斂的性質(zhì)說(shuō)，合流超幾何級(jí)數(shù)的鄰項(xiàng)比是（取極限），這和已知函數(shù)鄰項(xiàng)比極限相同。 不適宜作為波函數(shù)，因此，若取（12）作為滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的解，級(jí)數(shù)需要中斷，若（12）作為多項(xiàng)式最高冪n，則項(xiàng)的系數(shù)為零， 要求 +n=0即 （13） 從（7）知道，這條件是： 解出E，得到 （14）此式第一項(xiàng)與有關(guān)是沿縱方向（z軸）運(yùn)動(dòng)的能量，無(wú)磁場(chǎng)亦存在后項(xiàng)是磁場(chǎng)引起的。# 5設(shè)帶電粒子相互的均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求其能譜及波函數(shù)（取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸，電場(chǎng)方向?yàn)閤軸方向） 解 為使能量本征方程能夠求得，可以這樣選擇矢勢(shì)，使 設(shè)電場(chǎng)的大小是,選擇標(biāo)勢(shì)，使場(chǎng)沿著x軸， 哈密頓算符是：（1） 中不出現(xiàn)y和z，因此 可以依照本章中7。2均勻磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)的解法，先求能量本征函數(shù)，由于，守恒，波函數(shù)包括這兩個(gè)算符的本征函數(shù)作為其構(gòu)成因子： （2）代入能量本征方程式：整理，并約去同因式后，得到X（x）的本征方程 （3）或者簡(jiǎn)寫作式中 ，方程式（3）明顯的是一個(gè)沿x方向振動(dòng)的諧振子的？定諤態(tài) 方程式，它的固有頻率是，振動(dòng)中心在一點(diǎn)上，同時(shí)具有能量本征值： 其中是有關(guān)于y、z方向的分能量，按一維諧振子理論，它的能級(jí)是 (4)它的本征函數(shù)寫作 （5）這外個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的總能量E是： （6）#6設(shè)帶電粒子在均勻磁場(chǎng)及三維各向同性諧振子場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求能譜公式。解 本題采用柱面座標(biāo)時(shí)，可以像第4題那樣，將本征函數(shù)表示成合流超幾何級(jí)數(shù)，因而決定能量本征值，解法也類似。 粒子座標(biāo)為 令 此外應(yīng)將諧振子的彈性力場(chǎng)寫成柱面形成： 根據(jù)本章習(xí)題4中合 算符公式（2）再添上前述附加項(xiàng)： （1）哈氏算符的兩面部分與有關(guān)，第二部分與z有關(guān)，這二者是對(duì)易，因此能量本征值也分二部分，可以分別計(jì)算，也可有分離變量法將本征函數(shù)分為二部分： （2）得到： （ 3）（3）式左方的哈氏算符可以和對(duì)易，因此可以和這個(gè)算符的本征函數(shù)有共同因式可設(shè) 但將（4）代入（3）得：整理后寫成： (5)這個(gè)方程式和第4題的方程式（5）是相似的，其中，本題方程式（5）的相當(dāng)于第4題（5）式的得，此外（5）式多出一項(xiàng) 這是諧振紫彈性力場(chǎng)勢(shì)能，第四題的徑向方程式是： 通過(guò)交換，得到合流超幾何方程式（從略