概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.ppt

1.2 概率,從直觀上來看，事件A的概率是描繪事件A發(fā)生的可能性大小的量,P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？,* 拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ * 擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？ * 向目標射擊，命中目標的概率有多大？,某人向目標射擊，A 表示事件“命中目標”，P(A)=？,頻率:(P7) 事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A). 即 fn(A) nA/n.,一、頻率與概率,頻率與概率到底有怎樣的關(guān)系呢？,歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時， fn(A) 逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率,頻率的性質(zhì) (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn()=0 (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B).,頻率是個經(jīng)驗值，具有偶然性，近似地反映了事件發(fā)生可能性的大??；概率是個理論值，僅有唯一值，精確地反映出事件發(fā)生可能性的大小。,二、 概率的公理化定義與性質(zhì),注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義,若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù) P(A)，若滿足條件： (1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。,1.概率的定義(P11),(1) 狹義可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj (ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1)P(A2)+ +P(An);,(3) 事件差 ：A、B是兩個事件，則 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若事件AB，則 P(A)P(B),2.概率的性質(zhì) ( P11-12),(4) 廣義加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，An的情形 (5) 互補性：P(A)1 P(A); (6) 可分性：對任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,例：某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.,解:設(shè)A,B,C分別表示選擇訂了甲,乙,丙報的人,例 設(shè)事件A，B的概率分別為0.3和0.5，在下列情況下，求 （1）A,B互斥 （2）A B （3）P（AB）= 0.125,解： （1）A，B互斥 B ，,（2）A B,（3）,隨機事件,上節(jié)內(nèi)容回顧: 隨機事件,隨機現(xiàn)象,樣本點,隨機試驗,樣本空間,基本事件,復(fù)合事件,必然事件,不可能事件,隨機事件 的表示,上節(jié)內(nèi)容回顧: 隨機事件,包含與相等,并 交 差,互斥,對立,運算律,對偶律,概率,上節(jié)內(nèi)容回顧: 概率,定義,公理化 定義,頻率形式 定義,性質(zhì)公式,加法公式,古典概型,計算,(1) 狹義可加性：若 AB ,則 P( AB) P(A)P(B);,(3) 事件差 ：A、B是兩個事件，P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若 AB，則 P(A)P(B),上節(jié)內(nèi)容回顧:概率的性質(zhì)公式,(4) 廣義加法公式： P(AB)P(A)P(B)P(AB) (5) 互補性： P(A)1 P(A); (6) 可分性： P(A)P(AB)P(AB ) .,古典概型：(P9) 若某實驗E滿足： 1.有限性：樣本空間e1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,二、古典概型,記 事件A中所含樣本點個數(shù)N(A) ， 樣本空間中樣本點總數(shù)N() ， 則,P(A)具有如下性質(zhì)(P8),(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，則 P( AB ) P(A) P(B),古典概型事件概率的計算公式(P9):,例:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率 相等,則至少有一個男孩的概率是多少?,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,解:設(shè)A至少有一個男孩, H某個孩子是男孩,古典概型的幾類基本問題,乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步， 第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成 這件事共有n1n2種方法。（可推廣到若干步）,復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念,加法公式：設(shè)完成一件事有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。 （可推廣到若干途徑）,這兩個公式的思想貫穿著整個概率問題的求解,可重復(fù)排列：從含有n 個元素的集合中隨機 抽取k 次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回， 將記錄結(jié)果排成一列,n,n,n,n,共有nk 種不同排列方式,無重復(fù)排列：從含有n 個元素的集合中隨機抽 取k 次，每次取一個，取后不放回，將所取元 素排成一列,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)種排列方式,n,n-1,n-2,n-k+1,組合：從含有n 個元素的集合中隨機抽取k 個， 共有,種不同取法,1、抽球問題 例1:設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白球的概率。 解: 設(shè) A“取到一紅一白球”,答: 取到一紅一白球的概率為3/5,一般地，設(shè)盒中有N 個球，其中有M 個白球，現(xiàn)從中任抽n 個球，則這n 個球中恰有k個白球的概率是,在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。,例 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，任取200個，問 （1）恰有90個次品的概率 （2）至少有2個次品的概率,解: 設(shè) A“200個產(chǎn)品中恰有90個次品” ， B“200個產(chǎn)品中至少有2個次品”,2、分球入盒問題 例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解: 設(shè)A每盒恰有一球, B空一盒,一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：,某班級有n 個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？,例 兩封信隨機的投入四個郵筒，求 （1）前兩個郵筒沒有信的概率 （2）第二個郵筒恰好投入一封信的概率,解: 設(shè) A“前兩個郵筒沒有信” ， B“第二個郵筒恰好投入一封信”,例 一學(xué)生宿舍有6名學(xué)生，問 （1）6人生日都在星期天的概率 （2）6人生日都不在星期天的概率 （3）6人生日不都在星期天的概率,解: 設(shè) A“6人生日都在星期天” ，B“6人生日都不在星期天” C“6人生日不都在星期天”,3、分組問題 例3 : 30名學(xué)生中有3名運動員，將這30 名學(xué)生平均分 成3組，求: （1）每組有1名運動員的概率； （2）3名運動員集中在一個組的概率。 解:設(shè)A每組有1名運動員; B3名運動員集中在一組,4、 隨機取數(shù)問題,例4：從1到200這200個自然數(shù)中任取一個, (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率,解: N()=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分別為