概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6講.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第6講,本文件可從網(wǎng)址 上下載 (單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄),全概率定理和貝葉斯定理,例 市上供應(yīng)燈泡中, 甲廠產(chǎn)品(A)占70%, 乙廠(A )占30%, 甲,乙廠的產(chǎn)品合格率分別為95%, 80%, B表示產(chǎn)品合格, 求總合格率P(B),解 由于B=AB +AB為二互斥事件之和,還可以進(jìn)一步計(jì)算, 如果買到一合格品, 此合格品是甲廠生產(chǎn)的概率P(A|B):,例4 10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽, 3人參加抽簽(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后,設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽, 求乙抽到難簽的概率P(B),解 利用B=AB +AB, 且 AB 與AB 互斥, 得,從形式上看事件B是比較復(fù)雜的,僅僅使用加法法則或乘法法則無(wú)法計(jì)算其概率. 于是先將復(fù)雜的事件B分解為較簡(jiǎn)單的事件AB與AB; 再將加法法則與乘法法則結(jié)合起來(lái), 計(jì)算出需要求的概率. 把這個(gè)想法一般化, 得到全概率定理, 又稱全概率公式.,全概率定理 如果事件A1,A2,構(gòu)成一個(gè)完備事件組, 并且都具有正概率, 則對(duì)任意一事件B有,證 由于A1,A2,兩兩互不相容, 因此, A1B,A2B,也兩兩互不相容. 且,全概率定理的圖形理解,如圖所示, 事件B的面積為B與各個(gè)事件Ai相交的面積之和.,用全概率定理來(lái)解題的思路, 從試驗(yàn)的角度考慮問(wèn)題, 一定是將試驗(yàn)分為兩步做, 將第一步試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果分為一些完備事件組A1, A2,An, 然后在這每一事件下計(jì)算或給出某個(gè)事件B發(fā)生的條件概率, 最后用全概率公式綜合,全概率定理解題的思路,例 12個(gè)乒乓球都是新球, 每次比賽時(shí)取出3個(gè)用完后放回, 求第3次比賽時(shí)取到的3個(gè)球都是新球的概率,解 假設(shè)A0,A1,A2,A3為第一次取到0個(gè),1個(gè),2個(gè),3個(gè)新球, 當(dāng)然, 因?yàn)橐婚_(kāi)始都是新球, 因此第一次只能取到3個(gè)新球, 即A3為必然事件, 而A0,A1,A2都是不可能事件. 再假設(shè)B0,B1,B2,B3為第二次取到0個(gè),1個(gè),2個(gè)3個(gè)新球, 當(dāng)?shù)诙稳∏虻臅r(shí)候, 12個(gè)乒乓球中必然有3個(gè)舊球, 而B(niǎo)0,B1,B2,B3構(gòu)成完備事件組,并能夠求出它們的概率, 再假設(shè)C3為最后取到3個(gè)新球,則針對(duì)C3使用全概率公式.,再假設(shè)B0,B1,B2,B3為第二次取到0個(gè),1個(gè),2個(gè)3個(gè)新球, 當(dāng)?shù)诙稳∏虻臅r(shí)候, 12個(gè)乒乓球中必然有3個(gè)舊球, 而B(niǎo)0,B1,B2,B3構(gòu)成完備事件組,并能夠求出它們的概率, 再假設(shè)C3為最后取到3個(gè)新球,則針對(duì)C3使用全概率公式.,則有:,綜合就是,貝葉斯定理 若A1,A2,構(gòu)成一個(gè)完備事件組, 并且它們都具有正概率,則對(duì)于任何一個(gè)概率不為零的事件B, 有,證 由條件概率的定義得,貝葉斯定理解題的題型與全概率定理的題型完全一樣, 只是要求的是一個(gè)條件概率, 是在信息論中的重要公式, 即在二次試驗(yàn)后, 觀察者只能看到最后的結(jié)果事件B, 卻要根據(jù)B來(lái)推斷第一步試驗(yàn)的哪個(gè)事件發(fā)生了的條件概率,貝葉斯定理解題的思路,全概率公式和貝葉斯公式可以用表格計(jì)算:,例 假定某工廠甲乙丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一種螺釘, 產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%. 如果各車間的次品率依次為4%, 2%, 5%. 現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品, 試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率,解 設(shè)事件B表示“產(chǎn)品為次品“, A1,A2,A3分別表示“產(chǎn)品為甲,乙,丙車間生產(chǎn)的“, 顯然, A1,A2,A3構(gòu)成一完備事件組. 依題意, 有 P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20% P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%,則由貝葉斯公式得,在使用全概率公式和貝葉斯公式的題型中, 關(guān)鍵的一步是要使用一完備事件組, 而最常用的完備事件組,是一事件A與它的逆A構(gòu)成的完備事件組, 這時(shí)的全概率與貝葉斯公式為, (應(yīng)在考試前專門將它們記住).,例 假設(shè)在某特定人群中某種疾病的發(fā)病率為p. 對(duì)此疾病有一種血檢方法. 如果一個(gè)人得了這種病, 則此血檢結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為, 而如果一個(gè)人沒(méi)這種病化驗(yàn)卻呈陽(yáng)性的概率為. 求出當(dāng)化驗(yàn)為陽(yáng)性時(shí),此人得了這種病的概率和沒(méi)得這種病的概率.,解 設(shè)A為事件“待檢者患病“, B為事件“試驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性“, 則,1987年理工科碩士入學(xué)考試題,有兩個(gè)箱子, 第一個(gè)箱子有3個(gè)白球2個(gè)紅球, 第二個(gè)箱子有4個(gè)白球4個(gè)紅球. 現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里, 再?gòu)牡?個(gè)箱子中取1個(gè)球, 此球是白球的概率為_(kāi), 已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球, 則從第1個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為_(kāi).,解 假設(shè)事件A為從第1個(gè)箱子取出的是白球, B為從第2個(gè)箱子取出的是白球, 第一步試驗(yàn)中的 A 與A 構(gòu)成完備事件組, 則,1999年MBA試題,甲盒內(nèi)有紅球4只, 黑球2只, 白球2只; 乙盒內(nèi)有紅球5只, 黑球3只; 丙盒內(nèi)有黑球2只, 白球2只, 從這3只盒的任意一只中取出1只球, 它是紅球的概率是( ) (A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225,解 假設(shè)A1,A2,A3為取到甲,乙,丙盒的事件, 這是第一步試驗(yàn)的各事件, 構(gòu)成完備事件組. 假設(shè)B為最后取出的是紅球的事件.,則,例6 經(jīng)分析利率下調(diào)的概率為60%, 利率不變的概率為40%. 如利率下調(diào), 股價(jià)上漲的概率為80%, 而在利率不變的情況下, 股價(jià)上漲的概率為40%. 求股價(jià)上漲的概率.,解 記A為事件“利率下調(diào)“, 則A為“利率不變, 記B為事件“股價(jià)上漲“. 據(jù)題設(shè)知 P(A)=60%, P(A )=40%, P(B|A)=80%, P( B|A)=40%. 于是 P(B)=P(AB)+P(AB ) =P(A)P(B|A)+P(A )P( B |A ) =0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱, 乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱, 甲廠每箱裝100個(gè), 廢品率為0.06, 乙廠每箱裝120個(gè), 廢品率為0.05, 求: (1) 任取一箱, 從中任取一個(gè)為廢品的概率; (2) 若將所有產(chǎn)品開(kāi)箱混放, 求任取一個(gè)為廢品的概率.,解 記事件A,B分別為甲, 乙兩廠的產(chǎn)品, C為廢品, 則 (1),(2),例8 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí), 產(chǎn)品的合格率為98%, 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí), 其合格率為55%. 每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí), 機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%. 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí), 機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少?,解 設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格“, B為事件“機(jī)器調(diào)整良好“. 已知 P(A|B)=0.98, P(A|B)=0.55, P(B)=0.95, P(B)=0.05, 所需求的概率為P(B|A). 則,這就是說(shuō), 當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí), 此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97. 這里, 概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 即為先驗(yàn)概率. 而在得到信息(即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品為合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即為后驗(yàn)概率. 有了后驗(yàn)概率我們就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解.,例9 設(shè)某批產(chǎn)品中, 甲, 乙, 丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%, 35%, 20%, 各廠的產(chǎn)品的次品率分別為%4, 2%, 5%, 現(xiàn)從中任取一件 (1) 求取到的是次品的概率; (2) 經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品, 求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.,解 記A1,A2,A3為抽到甲乙丙各廠的產(chǎn)品, B為抽到的是次品. P(A1)=0